《1.5 全稱量詞與存在量詞》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)《1.5全稱量詞與存在量詞》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本課是高中數(shù)學(xué)第一章第5節(jié)，學(xué)生對(duì)于命題的理解還是停留在初中所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，理解起來(lái)可能不是很好理解。否定詞是學(xué)生容易忽略的，應(yīng)提醒學(xué)生。以學(xué)生探究為主學(xué)習(xí)全稱量詞命題的否定與存在量詞命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的本節(jié)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，在否定的過(guò)程中應(yīng)注意全稱量詞與存在量詞之間的相互轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)是在意義上理解命題的否定?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見(jiàn)的全稱量詞和存在量詞．B.了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性．C.會(huì)寫全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。D.使學(xué)生體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、轉(zhuǎn)化的能力．1.數(shù)學(xué)抽象：全稱量詞與存在量詞的含義；2.邏輯推理：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假；3..直觀想象：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。【教學(xué)重難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；2.教學(xué)難點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假。【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、情景引入，溫故知新情景1：德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“任意取一個(gè)奇數(shù)，可以把它寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和，比如77,77=53+17+7”,同年歐拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且認(rèn)為：每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，雖然通過(guò)大量檢驗(yàn)這個(gè)命題是正確的，但是不需要證明．這就是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)才證明了“1+2”即：凡是比某一個(gè)正整數(shù)大的任何偶數(shù)，都能表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，或者表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)質(zhì)數(shù)．從陳景潤(rùn)的“1+2”到“1+1”似乎僅一步之遙，但它是一個(gè)迄今為止仍然沒(méi)有得到正面證明也沒(méi)有被推翻的命題．要想正面證明就需要證明“任意一個(gè)”“每一個(gè)”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個(gè)”反例．情景2：我們學(xué)校為了迎接10月28號(hào)的秋季田徑運(yùn)動(dòng)會(huì),正在排練由1000名學(xué)生參加的開(kāi)幕式團(tuán)體操表演.這1000名學(xué)生符合下列條件：（1）所有學(xué)生都來(lái)自高二年級(jí)；（2）至少有30名學(xué)生來(lái)自高二.一班；（3）每一個(gè)學(xué)生都有固定表演路線.結(jié)合圖片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一個(gè)”等短語(yǔ)，在邏輯上稱為量詞.二、探索新知探究一全稱量詞命題的含義1.思考:下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)x>3(2)2x+1是整數(shù)(3)對(duì)所有的xR,x>3(4)對(duì)任意一個(gè)xZ,2x+1是整數(shù)【答案】（1）不是(2)不是(3)是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用量詞“所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)”對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定.2、歸納新知（1）全稱量詞及表示:定義：短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”、“對(duì)一切”、“對(duì)每一個(gè)”、“任給”、“所有的”在邏輯中通常叫全稱量詞。表示：用符號(hào)“”表示。（2）全稱量詞命題及表示:定義：含有全稱量詞的命題，叫全稱量詞命題。表示：全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有含變量x的語(yǔ)句p(x）成立”表示為:。讀作:“對(duì)任意x屬于Ｍ，有p(x)成立”。例如:命題(1)對(duì)任意的nZ,2n+1是奇數(shù);(2)所有的正方形都是矩形。都是存在量詞命題。3.練習(xí)：用量詞“”表達(dá)下列命題:(1)實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)形式;(2)凸多邊形的外角和等于2；（3）任一個(gè)實(shí)數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)?！窘馕觥浚?）x能寫成小數(shù)形式;x{x|x是凸n邊形},x的外角和等于;(3)x·(-1)=-x.例1.判斷下列全稱量詞命題的真假(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2),|x|+1≥1(3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù)【解析】（1）∵2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù),∴全稱命題(1)是假命題;(2)∵,|x|≥0,從而|x|+1≥1,∴全稱命題(2)是真命題;（3）∵是無(wú)理數(shù),但是有理數(shù)，,∴全稱命題(3)是假命題;4、思考：如何判斷全稱量詞命題的真假？【解析】若判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;若判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使得P(x)不成立即可。探究二存在量詞命題的含義1.思考：下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一個(gè)x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一個(gè)x∈Z,x能被2和3整除.【解析】(1)不是（2）不是（3）是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句.2.存在量詞命題的定義（1）存在量詞及表示:定義：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某個(gè)”、“有的”在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號(hào)“?”表示。（2）存在量詞命題及表示：定義：含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.表示：存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x).讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.3.練習(xí)：下列命題是不是存在量詞命題？（1）有的平行四邊形是菱形;（2）有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)【答案】都是存在量詞命題。4.練習(xí)：設(shè)q(x):x2=x,使用不同的表達(dá)方法寫出存在量詞命題“?x∈R,q(x)”【解析】存在實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；至少有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)有些實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)某個(gè)x∈R,使x2=x成立。例2下列語(yǔ)句是不是全稱量詞命題或存在量詞命題。(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取倒數(shù)；(2)所有不等式的解集A,都是A?R；(3)有的四邊形不是平行四邊形?！窘馕觥浚?）存在量詞命題（2）全稱量詞命題（3）存在量詞命題例3判斷下列存在量詞命題的真假(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.【解析】(1)由于，,因此使x2+2x+3=0的實(shí)數(shù)x不存在.所以,存在量詞命題(1)是假命題.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是互相平行的,因此不存在兩個(gè)相交的直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題(2)是假命題。（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題。5.思考：如何判斷存在量詞命題的真假【答案】要判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.探究三全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1.定義：一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。牛刀小試：說(shuō)出下列命題的否定。（1）56是7的倍數(shù)；（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；【解析】（1）否定：56不是7的倍數(shù)；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。2.思考：（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；?！窘馕觥?2)存在一個(gè)素?cái)?shù)表示奇數(shù)；。從形式看，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題?！窘Y(jié)論】含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結(jié)論：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。（2）p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上【解析】（1）否定：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).（2）否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上；（3）否定：的個(gè)位數(shù)字等于3.3.思考：（2）某些平行四邊形是菱形；?！敬鸢浮糠穸?（1）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù);（2）每一個(gè)平行四邊形都不是菱形;（3）從命題形式看,這三個(gè)存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.【結(jié)論】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。（3）有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).【解析】（2）該命題的否定：所有三角形都不是等邊三角形（3）該命題的否定：任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)例6寫出下列命題的否定，并判斷真假；（1）任意兩個(gè)等邊三角形都相似；【解析】（1）該命題的否定：存在兩個(gè)對(duì)邊三角形，它們不相似。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個(gè)等邊三角形都相似。因此這是一個(gè)假命題。（2）該命題的否定：.所以這是一個(gè)假命題。通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解全稱量詞、存在量詞。讓學(xué)生了解量詞對(duì)實(shí)際生活和數(shù)學(xué)的作用，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式思考并解決問(wèn)題的能力。通過(guò)思考，理解全稱量詞、全稱量詞命題的含義，教會(huì)學(xué)生解決和研究問(wèn)題。通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固全稱量詞的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固全稱量詞命題的含義，學(xué)會(huì)判斷全稱量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)思考，總結(jié)方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的能力。通過(guò)思考，理解存在量詞、存在量詞命題的含義，教會(huì)學(xué)生解決和研究問(wèn)題。通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)例題，使學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)別全稱量詞命題及存在量詞命題，提高學(xué)生的抽象概括能力。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，學(xué)會(huì)判斷存在量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)思考，總結(jié)判斷命題真假的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的能力。介紹新定義，為進(jìn)一步講解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定打基礎(chǔ)。通過(guò)思考，總結(jié)寫全稱量詞命題否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。去體驗(yàn)知識(shí)方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。通過(guò)例題進(jìn)一步理解怎么寫全稱量詞命題的否定。通過(guò)思考，總結(jié)寫存在量詞命題的否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。去體驗(yàn)知識(shí)方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固怎么寫全稱量詞命題的否定，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是()①存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使－2xeq\o\al(2,0)＋x0－4＝0；②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除．A．0B．1C．2D．3【解析】①方程－2x2＋x－4＝0無(wú)實(shí)根；②2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)；③正確．故選B.【答案】B2．設(shè)命題p：?n∈N，n2＞2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2＞2nB．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2nD．?n∈N，n2＝2n【解析】因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，?p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.【答案】C3．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定．(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除；(2)?x∈Z，x2與3的和不等于0；(3)有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°；(4)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角；(5)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線．【解】(1)是存在量詞命題，否定為：每一個(gè)奇數(shù)都能被3整除．(2)是全稱量詞命題，否定為：?x0∈Z，xeq\o\al(2,0)與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為60°.(4)是全稱量詞命題，否定為：存在一個(gè)三角形至多有一個(gè)銳角．(5)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線”，否定為：存在一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不是圓的切線．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、小結(jié)1、（1）全稱量詞、全稱量詞命題；（2）存在量詞、存在量詞命題。2、全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。五、作業(yè)習(xí)題1.53，4題通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固全稱量詞、全稱量詞命題、存在量詞、存在量詞命題的概念，命題的否定，提高語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)課是在初中所講命題的基礎(chǔ)上講解，學(xué)生對(duì)命題的了解較少。學(xué)生對(duì)命題的否定的學(xué)習(xí)有較大的困難，學(xué)生會(huì)簡(jiǎn)單地認(rèn)為，命題的否定就是否定結(jié)論。應(yīng)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)全稱量詞命題、存在量詞命題的否定，要先變量詞，然后結(jié)論否定?！?.5全稱量詞與存在量詞》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見(jiàn)的全稱量詞和存在量詞；2.了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性；3.會(huì)寫全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；4.使學(xué)生體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、轉(zhuǎn)化的能力．【重點(diǎn)難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；2.教學(xué)難點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假?！局R(shí)梳理】一、全稱量詞命題、存在量詞命題的基本概念1．全稱量詞、全稱量詞命題的概念（1）全稱量詞及表示:定義：短語(yǔ)“”、、、、在邏輯中通常叫全稱量詞。表示：用符號(hào)表示。（2）全稱量詞命題及表示:定義：含有的命題，叫全稱量詞命題。表示：全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有含變量x的語(yǔ)句p(x）成立”表示為:。讀作:“對(duì)任意x屬于Ｍ，有p(x)成立”。2.存在量詞、存在量詞命題的定義（1）存在量詞及表示:定義：短語(yǔ)、、、、在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號(hào)表示。（2）存在量詞命題及表示：定義：含有的命題,叫做存在量詞命題.表示：存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為.讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.命題的否定全稱量詞命題的否定是命題，存在量詞命題的否定是命題?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】探究一、全稱量詞命題的含義1.思考:下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)x>3(2)2x+1是整數(shù)(3)對(duì)所有的xR,x>3(4)對(duì)任意一個(gè)xZ,2x+1是整數(shù)2、歸納新知（1）全稱量詞及表示:定義：短語(yǔ)“”、、、、在邏輯中通常叫全稱量詞。表示：用符號(hào)表示。（2）全稱量詞命題及表示:定義：含有的命題，叫全稱量詞命題。表示：全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有含變量x的語(yǔ)句p(x）成立”表示為:。讀作:“對(duì)任意x屬于Ｍ，有p(x)成立”。練習(xí)：用量詞“”表達(dá)下列命題:(1)實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)形式;(2)凸多邊形的外角和等于2；（3）任一個(gè)實(shí)數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)。例1.判斷下列全稱量詞命題的真假(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2),|x|+1≥1(3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù)4、思考：如何判斷全稱量詞命題的真假？探究二存在量詞命題的含義1.思考：下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一個(gè)x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一個(gè)x∈Z,x能被2和3整除.2.存在量詞、存在量詞命題的定義（1）存在量詞及表示:定義：短語(yǔ)、、、、在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號(hào)表示。（2）存在量詞命題及表示：定義：含有的命題,叫做存在量詞命題.表示：存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為.讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.3.練習(xí)：下列命題是不是存在量詞命題？（1）有的平行四邊形是菱形;（2）有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)4.練習(xí)：設(shè)q(x):x2=x,使用不同的表達(dá)方法寫出存在量詞命題“?x∈R,q(x)”例2下列語(yǔ)句是不是全稱量詞命題或存在量詞命題。(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取倒數(shù)；(2)所有不等式的解集A,都是A?R；(3)有的四邊形不是平行四邊形。例3判斷下列存在量詞命題的真假(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.5.思考：如何判斷存在量詞命題的真假探究三全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1.定義：一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。牛刀小試：說(shuō)出下列命題的否定。（1）56是7的倍數(shù)；（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；2.思考：（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；。（2）p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上3.思考：（2）某些平行四邊形是菱形；。（3）有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).例6寫出下列命題的否定，并判斷真假；（1）任意兩個(gè)等邊三角形都相似；【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是()①存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使－2xeq\o\al(2,0)＋x0－4＝0；②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除．A．0B．1C．2D．32．設(shè)命題p：?n∈N，n2＞2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n3．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定．(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除；(2)?x∈Z，x2與3的和不等于0；(3)有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°；(4)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角；(5)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線．參考答案：探究一1.（1）不是(2)不是(3)是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用量詞“所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)”對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定.3.練習(xí)（1）x能寫成小數(shù)形式;x{x|x是凸n邊形},x的外角和等于;(3)x·(-1)=-x.例1（1）∵2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù),∴全稱命題(1)是假命題;(2)∵,|x|≥0,從而|x|+1≥1,∴全稱命題(2)是真命題;（3）∵是無(wú)理數(shù),但是有理數(shù)，,∴全稱命題(3)是假命題;4.若判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;若判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使得P(x)不成立即可。探究二1.(1)不是（2）不是（3）是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句.3.都是存在量詞命題。4.存在實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；至少有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)有些實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)某個(gè)x∈R,使x2=x成立。例2（1）存在量詞命題（2）全稱量詞命題（3）存在量詞命題例3(1)由于，,因此使x2+2x+3=0的實(shí)數(shù)x不存在.所以,存在量詞命題(1)是假命題.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是互相平行的,因此不存在兩個(gè)相交的直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題(2)是假命題。（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題。5.要判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.探究三牛刀小試（1）否定：56不是7的倍數(shù)；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。2.(2)存在一個(gè)素?cái)?shù)表示奇數(shù)；。從形式看，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題例4.（1）否定：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).（2）否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上；（3）否定：的個(gè)位數(shù)字等于3.3.否定:（1）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù);（2）每一個(gè)平行四邊形都不是菱形;（3）從命題形式看,這三個(gè)存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.例5（2）該命題的否定：所有三角形都不是等邊三角形（3）該命題的否定：任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)例6（1）該命題的否定：存在兩個(gè)對(duì)邊三角形，它們不相似。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個(gè)等邊三角形都相似。因此這是一個(gè)假命題。（2）該命題的否定：.所以這是一個(gè)假命題。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.【解析】①方程－2x2＋x－4＝0無(wú)實(shí)根；②2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)；③正確．故選B.【答案】B2.【解析】因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，?p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.【答案】C3.(1)是存在量詞命題，否定為：每一個(gè)奇數(shù)都能被3整除．(2)是全稱量詞命題，否定為：?x0∈Z，xeq\o\al(2,0)與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為60°.(4)是全稱量詞命題，否定為：存在一個(gè)三角形至多有一個(gè)銳角．(5)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線”，否定為：存在一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不是圓的切線．《1.5全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)一基礎(chǔ)鞏固1.下列命題中是存在量詞命題的是()A.所有的奇函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱B.正四棱柱都是平行六面體C.空間中不相交的兩條直線相互平行D.存在大于等于9的實(shí)數(shù)2.“關(guān)于x的不等式f(x)>0有解”等價(jià)于()A.?x0∈R,f(x0)>0B.?x0∈R,f(x0)≤0C.?x∈R,f(x)>0D.?x∈R,f(x)≤03.下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()①平行四邊形的對(duì)角線互相平分;②梯形有兩邊平行;③存在一個(gè)菱形,它的四條邊不相等.A.0 B.1 C.2 D.34.命題“?x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.?x∈R,均有x+1<0B.?x∈R,均有x+1≥0C.?x∈R,使得x+1≥0D.?x∈R,使得x+1=05.已知命題p:?x>3,x>m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m≤3 B.m≥3 C.m<3 D.m>36.命題:“對(duì)任意k>0,方程x2+x-k=0有實(shí)根”的否定是.

7.下列存在量詞命題是真命題是.(填序號(hào))

①有些不相似的三角形面積相等;②存在實(shí)數(shù)x0,使x02+x8.寫出下列命題的否定并判斷真假:(1)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除;(2)某些梯形的對(duì)角線互相平分;(3)被8整除的數(shù)能被4整除.能力提升9.命題“?x∈R,?n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式是()A.?x∈R,?n0∈N*,使得n0<2x+1B.?x∈R,?n0∈N*,使得n0<2x+1C.?x0∈R,?n∈N*,使得n<2x0+1D.?x0∈R,?n∈N*,使得n<2x0+110.已知下列四個(gè)命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,使x02≤x0;④?x0∈N*A.1 B.2 C.3 D.411.若命題“?x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.素養(yǎng)達(dá)成13.已知命題p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命題q:?x0∈R,ax02-2ax1.5全稱量詞與存在量詞答案解析基礎(chǔ)鞏固1.下列命題中是存在量詞命題的是()A.所有的奇函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱B.正四棱柱都是平行六面體C.空間中不相交的兩條直線相互平行D.存在大于等于9的實(shí)數(shù)【答案】D【解析】A,B,C選項(xiàng)中的命題都是全稱量詞命題,D選項(xiàng)中的命題是存在量詞命題.2.“關(guān)于x的不等式f(x)>0有解”等價(jià)于()A.?x0∈R,f(x0)>0B.?x0∈R,f(x0)≤0C.?x∈R,f(x)>0D.?x∈R,f(x)≤0【答案】A【解析】該命題是存在量詞命題,等價(jià)于“?x0∈R,f(x0)>0”.3.下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()①平行四邊形的對(duì)角線互相平分;②梯形有兩邊平行;③存在一個(gè)菱形,它的四條邊不相等.A.0B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】①②都是全稱量詞命題,③為存在量詞命題，故選C.4.命題“?x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.?x∈R,均有x+1<0B.?x∈R,均有x+1≥0C.?x∈R,使得x+1≥0D.?x∈R,使得x+1=0【答案】B【解析】命題“?x∈R,使得x+1<0”的否定是?x∈R,均有x+1≥0，故選B.5.已知命題p:?x>3,x>m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m≤3 B.m≥3 C.m<3 D.m>3【答案】A【解析】對(duì)任意x>3,x>m恒成立,即大于3的數(shù)恒大于m,所以m≤3.6.命題:“對(duì)任意k>0,方程x2+x-k=0有實(shí)根”的否定是.

【答案】存在k0>0,使得方程x2+x-k0=0無(wú)實(shí)根【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,故原命題的否定是“存在k0>0,使得方程x2+x-k0=0無(wú)實(shí)根”.7.下列存在量詞命題是真命題是.(填序號(hào))

①有些不相似的三角形面積相等;②存在實(shí)數(shù)x0,使x02+x【答案】①③④【解析】①是真命題,只要找出等底等高的兩個(gè)三角形,面積就相等,但不一定相似;②中對(duì)任意x∈R,x2+x+1=x+122+34>0,所以不存在實(shí)數(shù)x08.寫出下列命題的否定并判斷真假:(1)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除;(2)某些梯形的對(duì)角線互相平分;(3)被8整除的數(shù)能被4整除.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)命題的否定是:存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除,是假命題.(2)命題的否定:任意梯形的對(duì)角線都不互相平分,是真命題.(3)命題的否定:存在一個(gè)數(shù)能被8整除,但不能被4整除,是假命題.能力提升9.命題“?x∈R,?n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式是()A.?x∈R,?n0∈N*,使得n0<2x+1B.?x∈R,?n0∈N*,使得n0<2x+1C.?x0∈R,?n∈N*,使得n<2x0+1D.?x0∈R,?n∈N*,使得n<2x0+1【答案】D【解析】由題意可知,全稱量詞命題“?x∈R,?n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式為存在量詞命題“?x0∈R,?n∈N*,使得n<2x0+1”,故選D.10.已知下列四個(gè)命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,使x02≤x0;④?x0∈N*A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】②中，當(dāng)x=-1時(shí)，2x+1<0,所以②為假命題，其它為真命題。11.若命題“?x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-22≤a≤22【解析】由題意可知,2x2-3ax+9≥0對(duì)一切x∈R恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-22≤a≤22.12.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析【解析】不等式2x>m(x2+1)對(duì)任意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.(1)當(dāng)m=0時(shí),不等式化為-2x<0,顯然不恒成立,不合題意.(2)當(dāng)m≠0時(shí),要使mx2-2x+m<0恒成立,則m綜上可知,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<-1.素養(yǎng)達(dá)成13.已知命題p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命題q:?x0∈R,ax02-2ax【答案】見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槊}p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命題,所以命題p:?x0∈R,x02+(a-1)x則Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因?yàn)槊}q:?x0∈R,ax02-2ax0-3>0不成立,所以命題q:?x∈R,ax當(dāng)a=0時(shí),-3<0成立;當(dāng)a<0時(shí),必須Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.綜上所述,-3≤a<-1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,-1).《1.5全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)二一、選擇題1．已知命題p:?x∈R,x≥1,則命題?p為()A．?x∈R,x≤1B．?x0∈R,x0<1C．?x∈R,x≤-1D．?x0∈R,x0<-12．在下列給出的四個(gè)命題中，為真命題的是()A．?a∈R，?b∈Q，aC．?n∈Z，?m∈Z，n>3．命題“存在”的否定是（）A．不存在B．存在C．對(duì)任意的D．對(duì)任意的4．下列全稱量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①末位是或的整數(shù)，可以被整除；②鈍角都相等；③三棱錐的底面是三角形.A．B．C．D．5．下列存在量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①②至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素?cái)?shù)③A．0 B．1 C．2 D．36．命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面積不一定都相等B．不全等三角形的面積不一定都相等C．存在兩個(gè)不全等三角形的面積相等D．存在兩個(gè)全等三角形的面積不相等二、填空題7．下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥．其中所有真命題的序號(hào)是．8．用符號(hào)“”或“”表示命題：實(shí)數(shù)的平方大于或等于為_(kāi)________.9．命題“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是．10．下列存在量詞命題中，是真命題的是．①?x∈R，x≤0；②至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是質(zhì)數(shù)；③?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理數(shù)．三、解答題11．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：（1）：；（2）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.12．已知p:?x∈R,mx2（Ⅰ）寫出命題p的否定?p；命題q的否定?q；（Ⅱ）若?p或?q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1.5全稱量詞與存在量詞答案解析一、選擇題1．已知命題p:?x∈R,x≥1,則命題?p為()A．?x∈R,x≤1B．?x0∈R,x0<1C．?x∈R,x≤-1