數(shù)列通項(xiàng)與遞推公式綜合應(yīng)用文理-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題練習(xí)（全國通用）（解析版）

考點(diǎn)6-3數(shù)列通項(xiàng)與遞推公式綜合應(yīng)用

饞練基礎(chǔ)

1.(2022?全國?高考真題(理))嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆

環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛4｝：4=1+',

四

h=ι+_!_4=ι+-------?—

2a+工，flr'+——「，…，依此類推，其中4eN?(%=l,2,).則()

'a,?+一

%

A.bx<b5B.&C.?<b2D.b4<b1

【答案】D

【分析】

根據(jù)4∈N'(%=1,2,…)，再利用數(shù)歹∣J｛2｝與4的關(guān)系判斷也“｝中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)?∈N僅=1,2,),

1,—1>-----1----

所以a∣<a∣+—,al1,得到4>。2，

?1

同理I%a,+1，可得為〈么，bl>b3

2%

1111

->---------?—，a?+--------「<a?+-------?—

又因?yàn)椤癮2÷Pa2+—a2+j^，

θf?H-----3a?H-----

a4a4

故人2<&,%>%：

以此類推，可得4>4>仇>4>…，?7>?8,故A錯(cuò)誤；

—，故B錯(cuò)誤；

11

黑>i

2

^2÷r,得仇<也，故C錯(cuò)誤；

%+…—

&

11

/÷----------j—>%+-------------j-

%+-------J-%+…-------「，得〃4<偽，故D正確.

CtyιH-----CCfy+---

%aI

故選：D.

2.(2020?北京?高考真題)在等差數(shù)列｛%｝中，4=-9,α5=-l.記7；=《外…4(〃=1，2,…)，則數(shù)列｛[｝

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】B

【分析】

首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小

項(xiàng).

【詳解】

由題意可知，等差數(shù)列的公差4=與二m=q^=2,

5—15—1

則其通項(xiàng)公式為：a”=4+(〃—l)d=—9+(〃—l)χ2=2"-11,

注意至∣J"∣<%<為<“4<“5<O<%=1<%<，

且由《<0可知Z<0(i≥6,i∈N),

由?=4>1(欄7,他7)可知數(shù)列｛7；｝不存在最小項(xiàng)，

1i-l

-

由于q=-9,G2=^7,Cij=-5,&=-3,<?=—L4=]，

故數(shù)列｛,｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng):4=63,4=63x15=945.

故數(shù)列｛北｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

故選：B.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若數(shù)列｛%｝滿足為τ=3%+2,則稱｛αz,｝為“夢想數(shù)列”,3知正項(xiàng)數(shù)列也-1｝

為''夢想數(shù)列"，且仇=2,則”=()

,1

A.%=2x3"B.bll=2×3'

,,

C.?,,=2×3+lD.bn=2×y-'+?

【答案】B

【分析】

將a-I作為整體代入，即可求解.

【詳解】

依題意,(?+l-l)=3(?n-l)+2,.?.?+1=3?,

即｛"｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，bll=2×y-'.

故選：B.

4.(2022?北京?高考真題)已知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和$,,滿足凡-5“=9(〃=1,2,).給出下列

四個(gè)結(jié)論:

□｛?｝的第2項(xiàng)小于3；□｛a,,｝為等比數(shù)列;

□｛%｝為遞減數(shù)列；□｛%｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】□□□

【分析】

99

推導(dǎo)出風(fēng)=-------,求出％、%的值，可判斷；利用反證法可判斷利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷

anan-?

【詳解】

由題意可知，V"∈N*,?！?gt;0,

當(dāng)〃=1時(shí)，〃：=9,可得4=3；

9999(

當(dāng)M≥2時(shí)，由S〃=一可得SM，兩式作差可得〃〃=-----;

anan6

999

a

所以，---=----n,則----4=3,整理可得團(tuán)+3a,-9=0,

?-ι4a2

因?yàn)?>0,解得生=雪口<3,1對(duì)；

假設(shè)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,則W=4%，即停81

S=而

\2./

所以，S；=E&，可得M(l+<7)2=42(l+q+q2),解得g=0,不合乎題意,

故數(shù)列｛《,｝不是等比數(shù)列，錯(cuò)；

當(dāng)“≥2時(shí)，%=2-2=2‰aJ>o,可得““<4,1，所以，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，對(duì)；

an%anan-?

假設(shè)對(duì)任意的〃eN*,ɑ,^?,則STOl)(X,≥100000x+=I(X)0,

991

所以，《00000=^一≤77M<訴，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，對(duì).

?ioooooIUUoIUU

故答案為：□□□.

5.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知S”是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，6Z4=2,

azj2

n=1一一~(≥),則S2o22=.

【答案】IOlI

【分析】

根據(jù)遞推式計(jì)算可知數(shù)列｛4｝具有周期性，即可解出.

【詳解】

因?yàn)?=2,4=1-1一(〃≥2),所以為=T,6=:,q=2嗎=1%=-1,因此數(shù)列｛?｝具有周期性，7=3,

an-?22

3Mo32022

aιnιl

?+cι2+a3=—,故S2022=—×?=IOll.

故答案為：IOlL

2維練能力

6.（2022?江西?高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,,T?,Sn=?-an,?,=3,

當(dāng)〃≥2時(shí)，2=-黃，若對(duì)于任意,不等式（~S,J（r-7；,）<0恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍為（）

31「3]「]一

A.1,—B.[L2]C.-,2D.5,3

【答案】B

【分析】

先分別求出S“=1-3，￡,=2+擊，判斷出S“隨著"增大而增大，。隨著"增大而減小，且g≤S,<l,

2<q≤3,即可得到實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【詳解】

由S“=1-%；，可得S,+i=l-α.+∣1，所以'一匚得",,+∣=f<+∣+α”，即α,+∣=gα”.因?yàn)?=1-4,所以q=g,

故｛%｝是首項(xiàng)為公比為T的等比數(shù)列，所以4=/，故S

當(dāng)"≥2時(shí)，<=3-2悖+（■++*）=2+苴，當(dāng)”=1時(shí)，工=3也符合方=2+擊，故（=2+擊?

顯然S,,隨著〃增大而增大，I隨著〃增大而減小，且g≤S,<l,2<Tιι≤3,

故要使得-S,J（f-Z,）<0恒成立，則1<r≤2.

故選：B

7.（2021?河南?睢縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=1,函數(shù)

/(x)=χ4+α,,+∣cos2x-(2?+l)有唯一零點(diǎn)，則通項(xiàng)。“=()

A.3"TB.2"^,C.2"-1D.3"-2

【答案】C

【分析】

由奇偶性定義可判斷出F（X）為偶函數(shù)，由此可確定唯一零點(diǎn)為X=0,從而得到遞推關(guān)系式；利用遞推關(guān)系

式可證得數(shù)列｛??+1｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到??.

【詳解】

44

/(-?)=(-x)+?+ιcos(-2x)-(2απ+l)=x+an+lCOS2x-(2α,,+l)=∕(x),

???∕(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

???∕(χ)的零點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，又〃力有唯一零點(diǎn)，??j(χ)的零點(diǎn)為X=0,

即/(0)=α,,+∣-(24+1)=0,.?.an+l=2aπ+l,即。向+1=2(q+1),

又q+l=2,.?.數(shù)列｛4,,+l｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

.?.4,+l=2",貝IJq,=2"-l.

故選：C.

8.(2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)(文))已知S,,為數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和，若”,*∣=24-2,邑=10,則｛4｝

的通項(xiàng)公式為()

n22

A.an=3"-4B.an=2+2C.an=n+nD.an=3n-?

【答案】B

【分析】

先由題設(shè)求出生,再通過構(gòu)造得"9=2,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

an-2-

【詳解】

令〃=IUJ得%=2α∣-2,又邑=q+見=10,解得4=4,又-2=2α,,-4=2(a“-2),

則0,-2=2,答［=2,即｛4-2｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則4-2=2?2",a,l=2"+2.

故選：B.

9.

+2u+

(2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列｛α,,｝滿足：q=∣,(2"-l)?+1=(2'-2)a?(?eN,),則｛4｝的通項(xiàng)公

式為.

2n

［合案］an-

【分析】

2n—1

先由條件得3a=2?kχ,再結(jié)合累乘法求得｛4,,｝的通項(xiàng)公式即可.

a,,2-I

【詳解】

2

由(2-÷-l)0n+1=(2--2)an得，*==2.暮，

UnZ-1Z-1

wz71

.ci6i.6z2a`C2"I—12~-12?—12—1?n-i______?______

則一二?屆…T=2?m2R?2?—…a.仃=(2-?-1)(2-1)>

a?3?2,,^122"

即T=(2"f(2"J),又GW，所以""=(2"-92,川-1).

T

故答案為：冊

=(2,,-l)(2,,+1-lJ,

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝滿足4=2,。e-2=勺+2〃6€匠），則數(shù)列酷的前2022

項(xiàng)的和為.

2022

【答案】

2023

【分析】

利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前2022項(xiàng)的和即可.

【詳解】

由題意可知，滿足q=2,?！?]-4=2〃+2,

當(dāng)〃≥2時(shí)，a〃一%=2(π-l)+2=2∕?,

?'?a2~a?=4,〃3-〃2=6,。4一〃3=8，,%—〃〃_[=2〃,以上各式累加得,

cιn=q+(%—4)+(/-%)+(%-《)++(4,—a,1)=2+4+6+8++2〃.

(2+2〃)〃

=--------=〃(〃+】),

2

?1111

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2,也滿足上式，4="("+l),則一=z1=---------.

ann(n+?)nn+1

—OllIIllIlIn

的前〃項(xiàng)和為S"=∏++^=1-ΓrΓ+XQd1Q=UT

2022

2023

2022

故答案為:

2023

3維練素養(yǎng)IH

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)“SeR,數(shù)列｛4｝中，al=a,antl=a^l+b,“wN’,則

A.當(dāng)b=—,α∣o>10B.當(dāng)A=Z,aκj>10

C.當(dāng)b=-2,qo>lθD.當(dāng)匕=-4,"∣o>lO

【答案】A

若數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，4o=4=",則只需使“≤1O,選項(xiàng)的結(jié)論就會(huì)不成立.將每個(gè)選項(xiàng)的人的取值代入方

≡x2-x÷?=O,看其是否有小于等于10的解?選項(xiàng)B、C、D均有小于10的解，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.而

選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項(xiàng)正確.

【詳解】

若數(shù)列｛a,J為常數(shù)列，則4=4=*由*=a；+b,可設(shè)方程χ2-χ+人=0

2

選項(xiàng)A：6=；時(shí)，?+1=^+px-x+^=0,Δ=l-2=-l<0,故此時(shí)｛4｝不為常數(shù)列，

?an+?=an+~=an+(~~^)2≥9且。?'??≥(λ∕2)7?≥4?[2,則%≥16>10,

2222

故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：6=?,?+l=?+7.√-x+l=0,則該方程的解為X=：,

即當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛q｝為常數(shù)列，ɑ,,??,則q°=J<10,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

選項(xiàng)C：。=-2時(shí)，??+,=a^-2,Y-χ-2=0該方程的解為X=-I或2,

即當(dāng)a=T或2時(shí)，數(shù)列｛q｝為常數(shù)列，為=-1或2,同樣不滿足4>10,則選項(xiàng)C也錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：b=T時(shí)，％+1="：-4,χ2.χ-4=0該方程的解為χ=L?"Z,

2

同理可知，此時(shí)的常數(shù)列｛q｝也不能使%>10,

則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

12.(2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列｛q｝,他,｝滿足4+3〃,+32%+...+3"%=5，(〃€“)，bn=--an,

3n

若也.｝的前”項(xiàng)和為S,,,則下列選項(xiàng)正確的是()

A./^2018>52017B.S20l8>∕n2018+l

C.//?2018<S[期—1D.S<70∣8—1<ln2018

【答案】D

【分析】

由已知數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，目得到q+3/+32%+.“+3”241=?1(ZJ≥2),與原遞推式作差可得數(shù)列｛q｝

的通項(xiàng)公式，代入"=hq,得到也｝的通項(xiàng)公式，從而得出S,,,然后構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立，從而得

n

到答案.

【詳解】

由q+3α7+3-％+…+3”1=~,

得4=g,

4÷3%+3~%+…+3"~a“_]—~-^~(〃≥2),

,

得：3"-aπ=j,即4="("≥2).

q=；成立，

設(shè)g(x)=ln(x+l)-x,x∈(O,l),則g<χ)=—!-----1=——<0.

x+1x+1

g(x)在((M)上單調(diào)遞減，則g(x)<g(0)=0,即In(χ+l)<χ.

?1.fl八1"+11

令X=一,則rlI1n—+1=In-----<—.

n?n)nn

In-+In—+In-++In<1+?+?÷+?,故ln(〃+D<5〃.

123n23n

設(shè)為(X)=Inx+。-LX∈(L+00),則/(x)=1-----y>0.

二?力（力在（L+00）上單調(diào)遞增,

Λ(x)>Λ(l)=0,即InX>1-,，x∈(l,+∞).

X

?1..11?1"+I1

令X=[H—,則]n—F1l=In------>------.

n?n)nn+?

11

In—FIn—FIn—F÷In------>—I-----F+-+-----,

123n23nH+1

故In(∕7÷l)>Sw+,-l.

SX)18-1<In2018.

故選D.

13.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝滿足對(duì)任意的〃eN*,總存在機(jī)eN*,使得S,=金，則“■可能

等于（）

2022

A.2022nB.202277C.2022/D.------

n

【答案】B

【分析】

A選項(xiàng)，利用等比數(shù)列求和公式列出方程，令"=2時(shí)，得到2022"i=2023,切不存在，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，

利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解得到方程1011"("+1)=2022M,取加=嗎D即可，C選項(xiàng)，利用平方和

公式得到M"+∣)(2"+l)=病,當(dāng)〃=2時(shí)，病=5,，〃不存在；D選項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，1+!=’，〃’不存在.

62m

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)?！?2022"時(shí)，則｛%｝是等比數(shù)列，因?yàn)镾,,=寄

所以2022(2022"7)=2022%當(dāng)〃=2時(shí)，2022ω-'=2023,"，不存在，A錯(cuò)誤；

2021

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)%=2022〃時(shí)，｛%｝是等差數(shù)列，因?yàn)镾,,=%，則5“=2022X當(dāng)W=]0]["5+ι)=2022m,

取初=網(wǎng)竺11即可，B正確：

2

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)為=2022/時(shí)，S11=al,,,則S,,=2022χ科+2?+…+/)=2022χ*∣f"+0=2022加,

當(dāng)〃=2時(shí)，/"=5,加不存在，C錯(cuò)誤；

2022(111A202211

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)q=絲時(shí)，S〃=—?jiǎng)t20221+彳+彳+?-+—=——,當(dāng)〃=2時(shí)，1+：=L加不存