新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)4-5-2用二分法求方程的近似解

第四章A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．用二分法求如圖所示函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是(C)A．x1 B．x2C．x3 D．x4[解析]用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)在函數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值的符號(hào)不同，故選C．2．函數(shù)f(x)＝x＋lgx－3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(3,2)＋lgeq\f(3,2)－3＝lgeq\f(3,2)－eq\f(3,2)<0，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(5,2)＋lgeq\f(5,2)－3＝lgeq\f(5,2)－eq\f(1,2)<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\f(7,2)＋lgeq\f(7,2)－3＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(7,2)>0，又f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，故選C．3．(2021·錦州高一檢測(cè))函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1在區(qū)間(－1，1)和區(qū)間(1，2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．－3<a<1 B．eq\f(3,4)<a<1C．－3<a<eq\f(3,4) D．a(chǎn)<－3或a>eq\f(3,4)[解析]∵函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1在(－1，1)和(1，2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）f（1）<0,f（1）f（2）<0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋3）（a－1）<0,（a－1）（4a－3）<0))解得eq\f(3,4)<a<1.故選B．4．函數(shù)y＝x2＋2px＋1的零點(diǎn)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則p的取值范圍是(A)A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1][解析]記f(x)＝x2＋2px＋1，則函數(shù)f(x)的圖象開口向上，當(dāng)f(x)的零點(diǎn)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1時(shí)，即f(x)與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在點(diǎn)(1，0)的左方，另一個(gè)在點(diǎn)(1，0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.∴p<－1.∴p的取值范圍為(－∞，－1)．二、填空題5．根據(jù)下表，能夠判斷f(x)＝g(x)有實(shí)數(shù)解的區(qū)間是(2).x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892(1)(－1，0)；(2)(0，1)；(3)(1，2)；(4)(2，3)．[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，F(xiàn)(－1)＝－0.147<0，F(xiàn)(0)＝－0.44<0，F(xiàn)(1)＝0.542>0，F(xiàn)(2)＝0.739>0，F(xiàn)(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有實(shí)數(shù)解的區(qū)間是(2)．6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．[解析]當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝eq\r(2)(舍)或x＝－eq\r(2)，即在區(qū)間(－∞，0)上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函數(shù)y＝lnx與y＝6－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(圖略)，則兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.三、解答題7．已知方程2x＋2x＝5.(1)判斷該方程解的個(gè)數(shù)以及所在區(qū)間；(2)用二分法求出方程的近似解(精確度0.1)．參考數(shù)值：x1.251.281251.31251.3751.52x2.3782.4302.4842.5942.828[解析](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝2x＋2x－5至多有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)閒(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)內(nèi)．(2)用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)(1，2)1.5f(1.5)>0(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25，1.3125)1.28125f(1.28125)<0因?yàn)閨1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.3125－1.25|＝0.0625<0.1，所以函數(shù)的零點(diǎn)近似值為1.3125，即方程2x＋2x＝5的近似解可取為1.3125.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，經(jīng)過若干次運(yùn)算后函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，當(dāng)|a－b|<ε(ε為精確度)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的近似值x0＝eq\f(a＋b,2)與其實(shí)零點(diǎn)的誤差最大不超過(B)A．eq\f(ε,4) B．eq\f(ε,2)C．ε D．2ε[解析]真實(shí)零點(diǎn)離近似值x0最遠(yuǎn)即靠近a或b，而b－eq\f(a＋b,2)＝eq\f(a＋b,2)－a＝eq\f(b－a,2)<eq\f(ε,2)，因此誤差最大不超過eq\f(ε,2)，故選B．2．(多選題)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)(a>0)上有唯一的零點(diǎn)，在用二分法尋找零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0，eq\f(a,2))，(0，eq\f(a,4))，(0，eq\f(a,8))，則下列說法不正確的是(ACD)A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，eq\f(a,16))內(nèi)一定有零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))內(nèi)有零點(diǎn)，或零點(diǎn)是eq\f(a,16)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(eq\f(a,16)，a)內(nèi)無零點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))內(nèi)有零點(diǎn)[解析]根據(jù)二分法原理，依次“二分”區(qū)間后，零點(diǎn)應(yīng)存在于更小的區(qū)間，因此，零點(diǎn)應(yīng)在(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))中或零點(diǎn)是eq\f(a,16).故選ACD．二、填空題3．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次應(yīng)計(jì)算f(x1)，則x1＝0.25．[解析]∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴f(x)在(0，0.5)內(nèi)必有零點(diǎn)，利用二分法，則第二次應(yīng)計(jì)算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25)，∴x1＝0.25.4．在26枚嶄新的金幣中，有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn))，現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣．[解析]將26枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那13枚金幣里面；從這13枚金幣中拿出1枚，然后將剩下的12枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則假幣一定是拿出那一枚，若不平衡，則假幣一定在質(zhì)量小的那6枚金幣里面；將這6枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面；從這3枚金幣中任拿出2枚，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一枚是假幣，若不平衡，則質(zhì)量小的那一枚是假幣．綜上可知，最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣．三、解答題5．已知函數(shù)y＝|3x－1|，試問k為何值時(shí)，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？[解析]作