2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第六章 第4節(jié)　余弦定理和正弦定理 作業(yè)

第4節(jié)余弦定理和正弦定理

課時作業(yè)靈活分層，高效提能________________________

［選題明細(xì)表］

知識點、方法題號

利用正弦、余弦定理解三角形1,2,4,9,10,11

判斷三角形的形狀5,6

與面積有關(guān)的解三角形問題3,7,8,12

綜合13,14,15

FAl基礎(chǔ)鞏固練

1.已知在AABC中,A*B=-,a=l,則b等于（D）

64

A.2B.1C.√3D.√2

解析：由正弦定理號=-?nb=駕=√Σ

sιn4SlnBSinA

2.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=√7,a=l,B號,

則C等于（B）

A.√5B.2C.√3D.3

解析：由余弦定理b'=a2+c2-2accosB,

得7=1+C2+C,解得c=2或-3（舍去）.

3.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AABC的面積為貯乎

則C等于（C）

A.≡B.≡C.-D.-

2346

解析:根據(jù)題意及三角形的面積公式知;absinC=史等，

24

所以Sin-—=cosC,

2ab

所以在AABC中，C』.

4

4.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bs知2A=asinB,

且c=2b,則W等于（D）

b

A.2B.3C.√2D.√3

解析：由正弦定理及bsin2A=asinB,

得2sinBsinAcosA=sinAsinB,

又sinA≠0,

sinB≠0,則cosA=∣.

又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c'-2bccos人++4卜'-4￡><]=313[得

^=√3.

b

5.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若pcosA,則AABC

b

為（A）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等邊三角形

解析：由XCoSA,得"∣<cosA.

又B∈（0,冗），所以SinB>0,

所以sinC<sinBcosA,

即sin（A+B）<sinBcosA,

所以sinAcosB<0.

因為在三角形中SinA>0,所以COSB<0,

即B為鈍角，所以AABC為鈍角三角形.

6.（多選題）對于AABC,有如下判斷,其中正確的是（ABD）

A.若COSA=cosB,則AABC為等腰三角形

B.若AABC為銳角三角形，有A+B>≡則sinA>cosB

C.若a=8,c=10,B=60o,則符合條件的AABC有兩個

D.若sin2A+sin2B<sin2C,則AABC是鈍角三角形

解析:對于A,若COSA=CosB,則A=B,所以AABC為等腰三角形，故A

正確；

對于B,若A+B>p

則》A>∕>0,

所以sinA>cosB,故B正確；

對于C,由余弦定理可得b=J82+102-2×8×10×∣=√84,

只有一解,故C錯誤；

對于D,若Sin“A+sirf'BVsinC則根據(jù)正弦定理得a2+b2<c2,cosC=

貯學(xué)W<0,所以C為鈍角，所以AABC是鈍角三角形,故D正確.

7.（2021?全國乙卷）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積

為8,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

解析：由題意得S?ΛBc=?csinB=-ac=√3,則ac=4,

24

所以a2+c2=3ac=3×4=12,

所以b2=a?+c2-2accosB=12-2×4×?,

則b=2√2.

答案：2夜

8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”

里有一個題目：問有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里，中斜一十四

里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙

田的三邊長分別為13里，14里，15里,求三角形沙田的面積.則該沙田

的面積為平方里.

解析:由題意畫出AABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里，在AABC中,

222222

nAB+BC-AC13+14-155匚匚r∣.n

由余弦定理得，COSB=----------------=--------------=—,所以sinB=

2AB?BC2×13×1413

VOT嚕則該沙田的面積S?B.BCsinB=∣×13×14×∣∣=

84(平方里).

答案：84

9.(2022?全國甲卷)已知AABC中，點D在邊BC上，ZADB=120°,

AD=2,CD=2BD.當(dāng)空取得最小值時,BD=

AB------------------------------

解析：設(shè)BD=k(k>0),則CD=2k.根據(jù)題意作出大致圖形,如圖.在aABD

中,由余弓玄定理得AB2=AD2+BD2-2AD?BDcosZADB=22+k2-2×2k*(-?)=

k?2k+4.

在AACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC=22+(2k)-

2×2×2k.?k÷4,

心一M4k+4一4必+2灰+4)Fb12一4」(F012(∕c+l),12

則2222=4---------.

ABk+2k+4k+2k+4k+2k+4(k+l)^+3k+1+,

因為k+l+I》2W（當(dāng)且僅當(dāng)k+l=*,即k=√5-l時,等號成立），所

k+1∕c+l

以第?24-痣=4-2舊=（KT）'所以當(dāng)取得最小值V^T時，

ABΔ2√3AB

BD=k=√3-l.

答案:√5τ

綜合運用練

10.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2-√3bc=a2,

bc=√?i2,貝IJ角C的大小是(A)

A.，或詈B.

C.-D.≡

36

解析：由b2+c^-√3bc=a2,

得bj+c2_a2=V3bc,

因為0<A<耳，所以A=≡

6

由bc=√^a?及正弦定理，

得SinBsinC=V3sin2A=?√3X

44

即4sin(C+A)sinC=4sin(C+^)sinC=√3,

整理得√Icos2C=sin2C,

則tan2C=√3,又0〈2C〈m，

即2C3或當(dāng)即Cq或竽

11.（多選題）在aABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,C為鈍角,

且c-b=2bcosA,則F列結(jié)論正確的是（ABD）

A.a2=b（b+c）B.A=2B

11

C.O<cosA<iD.0<sinB<i

22

解析：因為c-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b.。,因此

2bc

c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A正確；因為c-b=2bcosA,所以

由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=

2sinBcosA,

所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是

鈍角，所以A-B=B,即A=2B,故B正確；由于A=2B,且C>90°,所以0°<

A<60o,0°<B(30°,因此"cosA<l,O<sin故C錯誤,D正確.

12.(2022?山東濱州二模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則ZkABC的面積的

最大值為.

解析:因為SinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，

所以2sinB=sinA+sinC,

由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,

所以2b=4,即b=2,

所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,

即ac(l+cosB)=6,

X22=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,BP2≥ac(l-cosB),當(dāng)且僅當(dāng)

a=c時，等號成立，

所以2X62ac(l-cosB)?ac(l+cosB)=(acsinB)2,

因為SinB>0,所以acsinB≤2√3,

所以SziABcWacsinB≤√3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立，

所以AABC的面積的最大值為√3.

答案:B

13.在①(a-c)(SinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+

bcosA;③AABC的面積為:c(asinA+bsinB-csinC)這三個條件中任

選一個,補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.已知aABC的內(nèi)角A,B.C

所對的邊分別為a,b,c,且

⑴求C;

(2)若D為AB的中點,且c=2,CD=√3,求a,b的值.

解：(1)選擇①.

根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),

整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,

所以COSC普T

因為C∈(0,馬，所以C苫.

選擇②.

根據(jù)正弦定理有

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

所以Sin(A+B)=2sinCcosC,

即sinC=2sinCcosC.

因為C∈(0,n),所以SinC≠0,

從而有cosC=∣,故C=g.

選擇③.

因為(CaSinB=?∣c(asinA+bsinβ-csinC),

所以asinB=asinA+bsinB-csinC,

即ab=a2+b2-c2,

由余弦定理，得CoSC=丹F=黑弓.

2ab2ab2

又因為C∈(0,n),所以Cg.

(2)在AACD中，由余弦定理得，

AC2=AD2+CD2-2AD?CDcosZΛDC,

即b2=l+3-2√3cosZADC.

在ABCD中，由余弦定理得，

BC2=BD2+CD2-2BD?CDcosZBDC,

即a2=l+3-2√3cosZBDC.

因為NADC+NBDC=n,

所以CoSNADC=-CoSNBDC,

所以a2+b2=8.

由Cq及c=2,得a2+b2-4=ab,

所以ab=4,

從而a2+b2-2ab=0,

所以a=b=2.

14.(2022?新高考∏卷)記^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S∣,S2,S3.已知

S1-S2+S3=y,sinB=∣.

(1)求AABC的面積；

(2)若SinAsinC=日,求b.

解：⑴由S1-S2+S3=γ,

W^(a2-b2+c2)?

即a2-b2+c2=2,

又a^-b2+c2=2accosB,

所以accosB=I.

由SinB=∣,

得COSB=言或CoSB=-雷(舍去)，

所以ac=?乎，

則AABC的面積S=ACSinB=^×-×?=-

22438

3√2

(2)由sinAsinC=-,ac=2及正弦定理知b2OC-9

34sin2BSinASinC匹4,

3

即丐X衿得吟

ΓC級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.（2022?新高考I卷）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

已知上以

l+sinΛl+cos2B

⑴若C號,求B;

（2）求號的最小值.