金融數(shù)學(xué)之心得（三）

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。第第頁金融數(shù)學(xué)之心得金融數(shù)學(xué)心得體會(huì)

金融數(shù)學(xué)，又稱分析金融學(xué)、數(shù)理金融學(xué)、數(shù)學(xué)金融學(xué)，是20世紀(jì)80年代末、90年代初興起的數(shù)學(xué)與金融學(xué)的交叉學(xué)科。它的研究對(duì)象是金融市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的交易，其目的是利用有效的數(shù)學(xué)工具揭示金融學(xué)的本質(zhì)特征，從而達(dá)到對(duì)具有潛在風(fēng)險(xiǎn)的各種未定權(quán)益的合理定價(jià)和選擇規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)策略。它的歷史最早可以追朔到1900年，法國數(shù)學(xué)家巴歇里埃的博士論文“投機(jī)的理論”。該文中，巴歇里埃首次使用brown運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的變化，這為后來金融學(xué)的發(fā)展，特別是為現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論奠定了理論基礎(chǔ)。不過他的工作并沒有得到金融數(shù)學(xué)界的重視。直到1952年馬科維茨的博士論文《投資組合選擇》提出了均值——方差的模型，建立了證券投資組合理論，從此奠定了金融學(xué)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。在馬科維茨工作的基礎(chǔ)上，1973年布萊克與斯科爾斯得到了著名的期權(quán)定價(jià)公式，并贏得了1997念得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。它對(duì)于一個(gè)重要的實(shí)際問題提供了令人滿意的答案，即為歐式看漲期權(quán)尋求公平的價(jià)格。后兩次發(fā)現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)研究對(duì)金融的發(fā)展，逐漸形成了一門新興的交叉學(xué)科，金融數(shù)學(xué)。

在本學(xué)期的金融數(shù)學(xué)課程當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了二叉樹無套利定價(jià)模型、條件期望、鞅過程、馬爾科夫過程、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)與概率測(cè)度等知識(shí)。

下面就某些問題給出我的理解。

鞅理論的引入是現(xiàn)代金融理論最新的研究成果。1977年，哈里森和柯瑞普斯提出了期權(quán)定價(jià)理論的鞅方法，他們用鞅論中的鞅測(cè)度概念來刻畫無套利市場(chǎng)和不完全市場(chǎng)，并用等價(jià)鞅測(cè)度對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)和套期保值或?qū)_。他們證明了市場(chǎng)無套利的重要條件是等價(jià)鞅測(cè)度存在，市場(chǎng)完備的重要條件是等價(jià)鞅測(cè)度存在且唯一。在市場(chǎng)是有效的假定下，證券的價(jià)格可以等價(jià)于一個(gè)鞅隨機(jī)過程。他們利用等價(jià)鞅測(cè)度的概念研究衍生證券的定價(jià)問題，得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律，而且可以提供一套有效的算法，求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理問題。鞅表達(dá)了對(duì)未來股價(jià)貼現(xiàn)值的最好估計(jì)就是當(dāng)前股價(jià)，這符合有效市場(chǎng)和完全市場(chǎng)的假設(shè)。有效市場(chǎng)要求當(dāng)前價(jià)格反應(yīng)了所有市場(chǎng)信息，因此，未來的信息不會(huì)對(duì)當(dāng)前股價(jià)產(chǎn)生影響，其價(jià)格過程應(yīng)該是個(gè)適應(yīng)過程，適應(yīng)是隨機(jī)過程能夠使用的基本條件；另外有效市場(chǎng)要求投資者個(gè)體行為不應(yīng)對(duì)價(jià)格產(chǎn)生影響，因此這時(shí)的價(jià)格是合理價(jià)格，而合理的價(jià)格不應(yīng)該有套利機(jī)會(huì)，如果當(dāng)前價(jià)值不等于未來現(xiàn)金流的貼現(xiàn)，比如大于未來現(xiàn)金流，在完全市場(chǎng)下，我們可以通過較低的財(cái)富構(gòu)建組合，復(fù)制股票未來的現(xiàn)金流，獲得套利；反之同樣可以構(gòu)造套利策略。因此在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，股價(jià)的貼現(xiàn)過程是一個(gè)鞅，投資于股票和貨幣市場(chǎng)賬戶的任何資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)價(jià)格都是鞅。在真實(shí)概率測(cè)度下，股票價(jià)格是一個(gè)下鞅，因?yàn)槭聦?shí)上其平均增長速度應(yīng)該高于貨幣市場(chǎng)以補(bǔ)償投資者的內(nèi)在風(fēng)險(xiǎn)。利用鞅理論研究金融理論的另一個(gè)好處是它能夠較好地解決金融市場(chǎng)不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進(jìn)展。目前基于鞅方法的衍生證券定價(jià)理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位，但在國內(nèi)還是一個(gè)空白。

馬爾科夫性就是過程（或系統(tǒng)）在時(shí)刻t所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時(shí)刻t所處狀態(tài)的條件分布與過程在時(shí)刻t之前所處的狀態(tài)無關(guān)。通俗的說，就是在已經(jīng)知道過程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來”不依賴于“過去”。在有效市場(chǎng)下，股票應(yīng)該滿足馬氏性，因?yàn)橛行袌?chǎng)假設(shè)當(dāng)前價(jià)格已經(jīng)反映了所有市場(chǎng)信息，即所有歷史信息和新發(fā)布的市場(chǎng)信息都已經(jīng)反映在當(dāng)前價(jià)格上，研究歷史價(jià)格對(duì)未來的預(yù)測(cè)不會(huì)有幫助，自然對(duì)未來價(jià)格的估計(jì)只依賴當(dāng)前的信息。股票價(jià)格的馬爾科夫性保證了該衍生證券的價(jià)格過程不是路徑依賴的。馬爾可夫性的存在大大縮減了我們需要處理的信息量，為了預(yù)測(cè)未來，我們只需要直到今天的數(shù)據(jù)，而不用存儲(chǔ)繁雜的歷史數(shù)據(jù)。有限個(gè)馬爾科夫過程的整體稱為馬爾科夫鏈，它可以看作在時(shí)間集上對(duì)狀態(tài)過程相繼觀察的結(jié)果。馬爾科夫鏈的運(yùn)動(dòng)變化分析，主要是分析研究鏈內(nèi)有限馬爾科夫過程的狀態(tài)及相互關(guān)系，進(jìn)而預(yù)測(cè)鏈的未來狀況。馬爾科夫預(yù)測(cè)法是根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測(cè)其將來各個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）變動(dòng)狀況的一種預(yù)測(cè)方法。常用于對(duì)地理、天氣、市場(chǎng)的預(yù)測(cè)。

最優(yōu)停時(shí)理論是概率論體系中一個(gè)具有很強(qiáng)的實(shí)用性領(lǐng)域，近年來，不少金融學(xué)家和金融數(shù)學(xué)家將這一理論與現(xiàn)代的投資組合理論相結(jié)合，取得了不錯(cuò)的成績。如果我們把停時(shí)定義為做某件事情的時(shí)間，則停時(shí)的定義表明我們要不要在t時(shí)刻做這件事取決于t時(shí)刻及之前我們所能獲得信息。從這個(gè)意義上看，停時(shí)可以有很多應(yīng)用：買入股票的時(shí)間；賣出股票的時(shí)間；一支股票被st的時(shí)間；公司發(fā)生違約的時(shí)間。在違約停時(shí)的應(yīng)用中，我們通過給出違約風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)構(gòu)模型中對(duì)違約時(shí)間的定義以及它與停時(shí)的關(guān)系，學(xué)習(xí)了兩種信用風(fēng)險(xiǎn)模型：merton（1973）和首中時(shí)模型（black&cox（1976））在二叉樹模型中違約概率的估計(jì)原理。merton的模型考慮違約只發(fā)生在到期時(shí)刻的概率，則該時(shí)刻就是一個(gè)停時(shí)。為了完善merton模型對(duì)違約發(fā)生在該時(shí)間未結(jié)束情況下的漏洞，（black&cox）提出了首時(shí)中模型，假設(shè)違約可在到期前任何時(shí)刻發(fā)生。通過相同模型，我們可以給出不同公司的信用評(píng)估。在美式看跌期權(quán)的應(yīng)用中，由于美式衍生證券允許持有人在到期日之前的任何時(shí)刻行權(quán)，這就使得美式衍生證券在任何時(shí)刻的價(jià)值至少不低于其持有人即刻行權(quán)所獲得的支付，即所謂內(nèi)在價(jià)值。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，美式衍生證券的貼現(xiàn)過程是一個(gè)上鞅。其持有人應(yīng)該在衍生證券衍生證券價(jià)值等于內(nèi)在價(jià)值的第一時(shí)刻行權(quán)。它的行權(quán)策略就是一個(gè)停時(shí)。（即行權(quán)策略可以依賴于以往的股價(jià)變動(dòng)，但必須在無法看到未來股價(jià)變動(dòng)的情況下決策）。一旦停時(shí)被選定，就能計(jì)算相應(yīng)于這一停時(shí)的衍生證券支付貼現(xiàn)過程的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值。美式衍生證券的價(jià)值是（相應(yīng)于所有停時(shí)）支付貼現(xiàn)過程風(fēng)險(xiǎn)中性期望的最大值。將鞅、上鞅、下鞅停止于停時(shí)所得到的停時(shí)過程仍然具有相同的傾向。

拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)為我們提供了一個(gè)從真實(shí)概率測(cè)度到風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度的變換，以及在有限概率模型中從一個(gè)概率測(cè)度到另一個(gè)概率測(cè)度的變換。利用這個(gè)概念我們可以將不同概率測(cè)度下的期望和條件期望聯(lián)系起來，使我們不再把風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境和真實(shí)概率環(huán)境割裂開來，讓我們知道對(duì)于真實(shí)概率下的金融問題如何和風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境結(jié)合起來解決，比如最優(yōu)投資決策問題。從拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)我們又推導(dǎo)出狀態(tài)價(jià)格的概念。狀態(tài)價(jià)格的意義在于當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)在w時(shí)在時(shí)刻n的支付為1的合約在時(shí)刻0的價(jià)格。這個(gè)價(jià)格不依賴概率測(cè)度，體現(xiàn)了資產(chǎn)價(jià)格與期望回報(bào)以及所承受的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)。狀態(tài)價(jià)格有一個(gè)好處，如果我們知道了每一個(gè)狀態(tài)的價(jià)格，任何n時(shí)刻支付的合約，其在0時(shí)刻的價(jià)格就等于狀態(tài)價(jià)格的線性組合。拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)過程不但給出了在局部信息空間上測(cè)度變換的radon-nikodym導(dǎo)數(shù)，而且將不同測(cè)度下的條件期望聯(lián)系起來。這樣無論我們是現(xiàn)在對(duì)未來價(jià)值估計(jì)，還是在未來某個(gè)時(shí)刻對(duì)更長時(shí)間后的價(jià)值進(jìn)行估計(jì)，我們都能夠?qū)L(fēng)險(xiǎn)中性下的估計(jì)和真實(shí)概率下的估計(jì)聯(lián)系起來。

在最近的十幾年里，金融數(shù)學(xué)的研究受到了前所未有的重視。人們?cè)絹碓缴羁痰恼J(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)已成為金融學(xué)研究中隨處可見的關(guān)鍵技術(shù)。而同時(shí)金融學(xué)的發(fā)展也為數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧的運(yùn)用提供了重要的平臺(tái)。當(dāng)今各種金融創(chuàng)新產(chǎn)品不斷出現(xiàn)，對(duì)金融數(shù)學(xué)這一學(xué)科來說既是增加了新的動(dòng)力又是對(duì)各種理論的挑戰(zhàn)。金融危機(jī)的發(fā)