2023年江西省贛州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

2023年江西省贛州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合P={x∣l<2X<18,xez},Q={y?y=-x2+4x-l},則PnQ=（）

A.{x∣0<%≤3}B.{x∣0<X<log218}

C.{1,2,3.4）D.{1,2,3）

2.等差數(shù)列{a7l}滿足a?=—14,α12=-4,則（?3=（）

A.5B.7C.9D.11

3.已知復(fù)數(shù)Z滿足∣z+i∣=l（i為虛數(shù)單位），則|z—i∣的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.給出下列四個結(jié)論：

①曲線2川=X的焦點(diǎn)為0,0）：

（2）“若與是函數(shù)/（x）的極值點(diǎn)，則/（Xo）=0”的逆命題為真命題；

③若命題P：<0>則rp：r-?-j-≥0：

2

④若命題p：mx°6R,XQ—x0+1<0,貝Ij*：VX任R,X—%+1≥0.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

（2x-y-2≤0

5.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件卜+2y-ll≤0,則z=χ2+y2-6y+9的最小值為（）

（3x+y-8≥0

A.<5B.IC.5D.y

6.已知數(shù)列{<?}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足的=*,αn+1=Sn,則a9=（）

A.1B.2C.4D.8

πι

7.已知曲線y=ex-在％=2處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為會則m=（）

A.1B.2C.3D.4

8.把正整數(shù)集合排列成如圖所示的三角陣，在第3列與第5列中各任取一個…“

數(shù)，則取到的兩個數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率為（）、?’

9.仇章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，承先秦數(shù)學(xué)發(fā)展的源流，進(jìn)入漢朝后又經(jīng)許多學(xué)者

的刪補(bǔ)才最后成書.在《九章算術(shù)/中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌.在三棱

錐P-4BC中，PA_L面ABC,是以4C為斜邊的直角三角形，過點(diǎn)4作PC的垂面分別交PB,

PC于D,E,則在P,A,B,C,D,E中任選四點(diǎn)，能構(gòu)成鱉席的有()

A.4種B.3種C.2種D.1種

10.若函數(shù)/(x)=2sin(<υx+9)(3>0,0<a<兀)在臉,專上單調(diào)，且滿足/(-W)=

?z??

照)=一/(爭，則3=()

AWB.JC.§D.居

11.在棱長為4的正方體4BC0-4當(dāng)口久中，點(diǎn)P滿足甌=49，E,F分別為棱BC,CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方體ABCO-&BlGDl的表面上運(yùn)動，滿足力IQ〃面EFP,則點(diǎn)Q的軌跡所

構(gòu)成的周長為()

AqB.<37CqD3

3233

12.已知函數(shù)/(X)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對稱，又關(guān)于直線y=X對稱，且當(dāng)X∈[-LO]時，

f(X)=X2,則f(%=()

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.下表是甲同學(xué)在某學(xué)期前四次考試中某科的考試成績X與其所在班級該科平均分y的情

況：

X87859197

y77747984

已知y與X呈線性相關(guān)，若甲同學(xué)在第五次考試中該科的考試成績?yōu)?0,根據(jù)回歸分析，預(yù)計

其所在班級該科平均分為(用數(shù)字作答).

14.已知。為銳角，滿足siMe+s譏JCoSe—3cos2j=5,則tαnθ=.

15.在平行四邊形4BC。中，點(diǎn)E,F分別滿足玩=2DE=4EF，BC=2BG，若存=AAE+

μAG>則4+4=-

16.已知雙曲線E：盤一'=l（α>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P在E上，滿足△

"PF2為直角三角形，作OMlPFl于點(diǎn)M（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且有兩=2而1，則E的離心

率為.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

設(shè)AABC的內(nèi)角4、B、C所對的邊長分別為a、b、c,且3bcosC=a+3ccosB.

求誓的值；

''tanC

（2）若COSa=奇，且AABC的面積為2,求a的值.

18.（本小題12.0分）

在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,ABLAD,△PAB是以4B為斜邊的等腰直角三角形，且平

面PAB平面ABCD,AB=2,AD=DC,二面角D-PB—4的正切值為唱.

（1）證明：平面PBCI平面PAD；

（2）求直線CD與平面PBD所成角的正弦值.

19.（本小題12.0分）

3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末

狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).中國的3D打印技術(shù)在飛

機(jī)上的應(yīng)用己達(dá)到規(guī)?；?、工程化，處于世界領(lǐng)先位置.我國某企業(yè)利用30打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)

的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測每個零件的

某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，得到下面的檢測結(jié)果：

質(zhì)量指標(biāo)叵7)[7,8)[8,9)[9,10)[1041)[11,12)[12,13]

頻率0.020.090.220.330.240.080.02

(1)根據(jù)頻率分布表，估計8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值]和方差s2(同一組的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)X?N(〃R2),其中4近似為樣本平均數(shù)

Overlinex,接近似為樣本方差52.

①若P(X≥a)=0.9772,求α的值；

②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)最

有可能是多少？

附參考數(shù)據(jù)：門之2.45,若X?NO,d),則p(〃—c<χ≤"+o)=0.6827,P(μ-2σ<X≤

μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=ex~1+bxlnx+ax2.

(1)當(dāng)b=1,α=-l時，討論g(x)=的單調(diào)性；

(2)當(dāng)b=-l時，是否存在實(shí)數(shù)α,使/(x)≥αx+1恒成立？若存在，求α的值；若不存在，

說明理由.

21.(本小題12.0分)

在平面直角坐標(biāo)系XOy中，F(xiàn)1(-1,0),尸2(1,0),點(diǎn)P為平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足/居。尸2=20，

32

∣∕F11??PF2?COSΘ=2.

(1)求IPFll+∣PF2∣的值，并求出點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)過FI作直線，與E交于4、B兩點(diǎn)，B關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,直線AFz與直線CFI的交點(diǎn)

為T.當(dāng)直線，的斜率和直線OT的斜率的倒數(shù)之和的絕對值取得值最小值時，求直線，的方程.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C：{y=]+sina(a為參數(shù)，且。≤α≤兀).以坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)，X軸

為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求C的普通方程和極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P是C上一動點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，且滿足∣0P∣?∣0M∣=4,求點(diǎn)M的軌跡方程.

23.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)/(x)=IX-II+2∣x+5|.

(I)求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若IalV3聞V3求證：∣α+6∣+∣α—6∣</(x).

答案和解析

1.【答案】D

x

【解析】解：由題意可得：P={x∣l<2<18,X∈Z}={x∣0<x<log218,xGZ)={1,2,3,4},

Q={y?y=-X2+4x-1}={y?y=-(x-2)2+3]=(y?y≤3},

所以PnQ={1,2,3}.

故選：D.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合4,根據(jù)二次函數(shù)求集合B,進(jìn)而可求交集.

本題考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{斯}的公差為d,

因?yàn)镮od=%2—解得d=1,

所以cι23=αi2+IId——4+11×1=7.

故選：B.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為Z,

由題意可得：?z+i?=∣z-(-Ol=1,表示復(fù)平面中點(diǎn)Z到定點(diǎn)C(0,-l)的距離為1,

所以點(diǎn)Z的軌跡為以C(O,—1)為圓心，半徑r=1的圓，

因?yàn)镮Z-i∣表示表示復(fù)平面中點(diǎn)Z到定點(diǎn)8(0,1)的距離，

所以IZBl≤∣BC∣+r=2+l=3,即∣z—i∣的最大值為3.

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：對于①，由2y2=χ,得丫2=；%,所以其焦點(diǎn)為g,0),故①正確;

對于②，“若久。是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，則/'(X。)=0”的逆命題為

若/'(4)=0,則稱是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，

若/(x)=X3,則f'(%)=3x2≥0,所以函數(shù)f(x)=久3為增函數(shù)，

而((0)=0,所以x=0不是函數(shù)”乃=%3的極值點(diǎn)，

所以“若&是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則/(g)=0”的逆命題為假命題，故②錯誤;

對于③，命題P：工_1V即0V%V

1

X≥或X<O

「P

2--

而不等式Σ?20的解為X>T或X≤°，故③錯誤；

對于④，若命題p：3x0∈R,%o—X0+1<0,則-∣p:VxeR,/—χ+ι2。，故④錯誤，

所以正確的個數(shù)為0個.

故選:A.

將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出其交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷①；舉出反例，如/(X)=X3,結(jié)合極

值點(diǎn)的定義即可判斷②；根據(jù)分式不等式的解法即可判斷③；根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量

詞命題即可判斷④.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，含一個量詞命題的否定，化歸轉(zhuǎn)化思想，

屬中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意畫出可行域，如下圖,

Z=X2+y2-6y+9=%2+(y-3)2,表示可行域中一點(diǎn)(Xy)與O(0,3)之間距離的平方,

則。(0,3)到直線3x+y-8=0的距離的平方為Z的最小值,

則d=篝=苧，所以ZjnijI=(3A=|?

故選:B.

由題意畫出可行域，Z表示可行域中一點(diǎn)(x,y)與D(0,3)之間距離的平方，由圖可知D(0,3)到直線

3x+y-8=0的距離的平方為Z的最小值，求解即可.

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)棣羘+ι=Sn,則%+I-Sn=Sn,整理得與+ι=2Sn,

且Sl=α1=±≠0,所以數(shù)列｛S“｝是以首項(xiàng)Sl=?,公比q=2的等比數(shù)列，

則Sn=￡x2時1=2nf

2

所以的=S8=2=4.

故選：C.

根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系分析可得數(shù)列｛Sn｝是以首項(xiàng)Si=*，公比q=2的等比數(shù)列，結(jié)合

等比數(shù)列運(yùn)算求解.

本題主要考查數(shù)列遞推式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：由題意可得：y=ex~m,y'=ex~m,則y∣χ=2=e2-m,y%=2=e2-rn,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,e2-m),斜率k=e2→n,

切線方程為y—e2~m=e2~m(x—2),

令χ=0,解得y=-e2-%即切線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,_e2-m)；

令y=0,解得X=1,即切線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；

可得與坐標(biāo)軸圍成的面積：×1×∣-e2f∣=與=|,解得Tn=1.

故選：A.

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而求切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意列式求解即可.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可得：第3列的數(shù)依次為5,6,7,8,9,共5個；第5列的數(shù)依次為17,18,

17,20,21,22,23,24,25,共9個；

若第3列與第5列中各任取一個數(shù)，如下表，

171819202122232425

5向√由0團(tuán)0團(tuán)√圈

6V√V√V√√√√

7團(tuán)√⑦Ξ⑦岡伺√El

8目√Ξ√團(tuán)山√EI

9團(tuán)√團(tuán)√團(tuán)√皆√0

共有5×9=45種,

若兩個數(shù)之積是6的倍數(shù)，共有2+9+2+3+4=20種，

所以取到的兩個數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率P=黃=9

故選：C.

根據(jù)題意利用列表法處理古典概型.

本題主要考查古典概型概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意作出圖象:

在三棱錐P-ABC中，PaI面ABC,

因?yàn)?B,AC,BCU面4BC,

所以Pal4B,PA1AC,PA1BC,

△ABC是以ZC為斜邊的直角三角形，

所以ABIBC,PAΩAB=A,PA,ABU平面P4B,則BCJL平面P4B,

PBU平面PA8,所以BC_LPB,所以四面體PABC四個面都為直角三角形，能構(gòu)成鱉膈:

過點(diǎn)A作PC的垂面分別交P8,PC于。，E,所以Pel平面40E,

所以AELDElACu5FjSUDE,則力EIPC,DE1PC,AD?PC,

因?yàn)锽C_L平面PAB,ADU平面PAB,

則BCIaD,ADJLPC,BCCPC=C,

BC,PCU平面PBC,

所以ADI平面PBC,DE-LPBU平面PBC,

所以力。1DE,AD1PB,

所以四面體PADE四個面都為直角三角形，

即四面體PAOE是一個鱉臊；

同理四面體ABCD,ACCE都是鱉蠕.

故選：A.

根據(jù)題意找出四個面都是直角三角形的四面體即可.

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：函數(shù)/⑸在強(qiáng)爭上單調(diào)，則彳≥與一雪=工，可得7≥.,

因?yàn)榘艘保?4），且合（冶）=∕<r,

所以/（x）的對稱軸為X=當(dāng)魚?-?,

又因?yàn)閭€）=—/（爭，且〃X）在送,爭上單調(diào)，

所以/（x）的對稱中心為（孝,°）,即砥,0），

注意到對稱軸為X=與對稱中心（工,0）相鄰，可得J=?-（-?=?

則T=奇=2兀，且3>0,解得3=1,

因?yàn)?（%）的對稱軸為%=-?,則一色X?+（P=kττ+^,kEZ,

解得@=∕σr+*,A∈Z,

且O<<p<兀，?。?0,則（P=工.

故選：D.

根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得r≥%,對稱軸為X=-與對稱中心為（駕,0）,運(yùn)算求解

即可.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：延長4D,AB,交EF的延長線與H,G,連接PG,PH,分別交DDl于R,T,

過點(diǎn)必作4K〃PG交BBl于點(diǎn)K,過點(diǎn)4作4N〃P，交DDI于點(diǎn)N,

因?yàn)锳lKC平面EFP,PGU平面EFP,所以&K〃平面EFP,

同理可得AN〃平面EFP,因?yàn)锳iKn&N=&,

所以平面EFP〃平面&KN過點(diǎn)N作NM〃/IK交CG于點(diǎn)M,

連接MK,則MK〃&N則平行四邊形&KMN點(diǎn)除外）為點(diǎn)Q的軌跡所構(gòu)成的圖形，

因?yàn)檎襟w棱長為4,E,尸分別為棱BC,CD的中點(diǎn)，

AA1=4AP，所以4P=1.BR=DT=g,

因?yàn)锳lP=KR=NT=3,所以BIK=Z）IN=4-3—右=3

Q

過點(diǎn)N作N/1CCI于點(diǎn)/,則CJ=D1N=

則由幾何關(guān)系可知=BIK=|,所以CIM=I÷I=|,

22

由勾股定理得41K=A1N=MN=MK=√N(yùn)J+JM=J16+g=K衛(wèi)，

所以點(diǎn)Q的軌跡所構(gòu)成的周長為史M?

B

故選：D.

作出輔助線，找到點(diǎn)Q的軌跡，利用勾股定理求出邊長，得到周長.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查軌跡問題，屬中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：用0表示函數(shù)y=f(x)的圖像，對任意的沏∈[-1,0],

令y0=xo9則(XoJo)W。,旦y0θ[0/1]?

又函數(shù)f(%)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對稱，且關(guān)于直線y=%對稱，

所以(yθ1%o)Wθ則(一2-Vo,2—%o)∈/2，則(2一%。,一y0一2)∈Q

則(-4+XQ,4+y0)∈Ω?則(4+y0,—4+XO)∈Ω?

令4+y0=7,即y()=此時&=或XO=X舍去)，

此時—4+X0=-4+(―?)=—2,

即(％-Q∈O,因此/(9=-∣.

故選：B.

用。表示函數(shù)y=∕(x)的圖像，設(shè)(XO,y°)e0根據(jù)中心對稱性與軸對稱性，得到(-4+x0,4+

yθ)∈Ω?令4+y0=?,求出y0,即可求出x0,即可得解.

本題考查了抽象函數(shù)的對稱性，也考查了邏輯推理，屬于難題.

13.【答案】78.5

【解析】解：依題意7=*87+85+91+97)=90,亍=；(77+74+79+84)=78.5,

因?yàn)榛貧w直線方程必過樣本中心點(diǎn)Gj),即必過(90,78.5),

所以當(dāng)甲同學(xué)在第五次考試中該科的考試成績?yōu)?0時，可預(yù)計其所在班級該科平均分為[55X

0.005+65×0.025+75×0.02+85X0.03+95×0.02]×10=78.5.

故答案為：[55X0.005+65×0.025+75×0.02+85×0.03+95×0.02]×10=78.5.

求出春y,根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)GJ),即可判斷.

本題考查線性回歸方程相關(guān)知識，屬于中檔題.

14.【答案】2

【解析】解：因?yàn)镾in2。+sinθcosθ-3cos2θ=s?0+s聯(lián)。s"3c*e=處筍n好=|

si√0+cos2Θtanz?+l5

整理得2t0"2g+stanθ-18=0,解得tern。=2或tern。=-∣,

又因?yàn)?。為銳角，

則S九8>0,

所以tan。=2.

故答案為：2.

根據(jù)齊次式法運(yùn)算求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】7

O

【解析】解：以｛四,同｝為基底向量,

--->,>>R■>>>>>1,>>>>,,>>1>

AF=AD+DF=^AB+ADtAE=AD-VDE=^AB+ADtAG=AB+BG=AB+^ADt

因?yàn)獒埽?A芯+〃南，

I_...,.......’1“一”,......>...i.1”■一””,1.――,1一…”,

BPΛF=λAE+μAG=λ(^AB+AD)+μ(<AB+^AD)=()+〃)AB+(A+F)AD,

3

l?λ÷

?-〃-

24

可

1兩式相加的5U+4)=T可得4+4

lλ÷-1

2〃

7

答

為

故?

:-

6

以｛荏,而｝為基底向量，求通,荏,同，結(jié)合平面向量基本定理分析運(yùn)算.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】今N

【解析】解：由題意可知：顯然4PF∕2≠90°，

若ZFlPF2=90°,貝IJoM〃/3Fz,

X

因?yàn)椤镕IF2的中點(diǎn)，則點(diǎn)M為PFl的中點(diǎn)，這與麗=2而（I相矛盾，不合題意；

,212??o?

所以NPF2尸1=90°,可得∣PF2∣=?,IPFll=2a+^?=^^-^,?MF1?=WIPFll=

（j2+c2

因?yàn)锳PF1F2~AOF1M,則鬻j?=鬻|，即???=N^,

1z1

?PF?IIoblla"+"C

a

整理得e2-Ce+1=0,解得e=%C或e="尹<1（舍去），

所以E的離心率為求*.

故答案為：匚竽I

根據(jù)題意分析可得NPFzFi=90。，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑以及三角形相似列式求解即可.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由正弦定理可得:3sinBcosC=SinA+SsinCcosB,

由Sma=Sin(B+C),所以3s)8cosC=SinBcosC+CosBsinC+3sinCcosB,

整理可得：SinBcosC=ZsinCcosB,所以CQTIB=2tanC,

故誓=2；

tanC

(2)由CoS4=得，SiziA=3^θ10>于是tατM=3,

tanβ+tanC

又tanA=—∩(B+C)=

tal-tanBtanCf

再結(jié)合（I）可得：3=-二累：五,則2tα∏2c—tαnC-1=0,

解得：tanC=1或CcmC=—夫舍去），

所以t0zιB=2tcmC=2,則C=45。，sinB=?,

QbQb?/—?

由正弦定理可得：而ξ=而=任=壬，則b=當(dāng)α,

"?~3

〔r__

由=2得Qb=4√-2,

所以α=y∕~6?

【解析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦定理化簡已知式，即可得出答案；

（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出Si幾4,tanA,由兩角和的正切公式可求出temC=1,則ternB

2,即可求S勿8,再由正弦定理和三角形的面積公式代入計算即可得出答案.

本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：⑴因?yàn)槠矫鍼AB1平面力BCZ),平面24Bn平面ABCC=

AB,AB1AD,ADU平面ABC0,

所以4。1平面P4B,

又因PBU平面PAB,所以ADlPB,

因?yàn)椤鱌AB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以PB1PA,

又PAnAO=4，PA,AoU平面P40,

所以PB，平面P4D,

因?yàn)镻BU平面PBC,

所以平面PBC1平面P4D；

(2)由(I)得PB1.24,PB1PD,

則ZAPO即為二面角。-PB-4的平面角,

在等腰直角APHB中，AB=2,貝∣JP4=PB=√^1,0P=1,

在RtAPAC中，tan4AP0=笑=空，則AD=I=CD,

PA2

取AB的中點(diǎn)。，連接OP,OC,則OPIaB,OA=CD,

因?yàn)?B〃C。，ABLAD,所以四邊形4。CD為矩形，故OCI4B,

因?yàn)槠矫?MB_L平面4Be0,平面PABn平面4BC0=4B,OP1AB,OPU平面Λ4B,

所以。P，平面ABCD,

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,l),B(IoO),C(O,1,O),。(一1,1,0),

故前=(-1,0,1),BD=(-2,1,0),DC=(1,0,0)>

設(shè)平面PBD的法向量為元=(x,y,z),

則有空―X+Z-θ>令X=1,則y=2,z=l,所以元=(1,2,1),

(71?BD=-2x+y=0

則3(元，函=??=7?=?'

所以直線CD與平面PBD所成角的正弦值為華.

6

【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AD1平面PAB,從而有ADJLPB,再根據(jù)線面垂直的判定定

理證明PB，平面PaD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

(2)由PBd.PA,PB1PD,可得乙4PC即為二面角C-PB-A的平面角，從而可求得AD,取AB的

中點(diǎn)0,連接OP,0C,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得OPI平面ABCD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐

標(biāo)系，利用向量法求解即可.

本題考查利用空間向量法解決線面角問題相關(guān)知識，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由題意可得：x=6.5×0.02+7.5X0.09+8.5×0.22+9.5X0.33+10.5X

0.24+11.5×0.08+12.5X0.02=9.5,

2222

S=(6.5-9.5)2X002+(7.5-9.5)×0.09+(8.5-9.5)X0.22+(9.5-9,5)X0.33+

(10.5-9.5)2×0.24+(11.5-9.5)2X0.08+(12.5-9.5)2X0.02=1.5

(2)由(I)可得：μ=X=9.5,σ2=1.5,σ=√1.5=2≈1.22,

即X?N(9.5,1.5).

①因?yàn)镻(X≥μ-2σ)=i÷∣P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9772,

所以α=〃-2<τ=9.5-2X1.22=7.06.

②由①可知：P(X≥7.06)=0.9772,

設(shè)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)為丫，則Y?8(500,0.9772)，

ksoo-k

可得P(Y=k)=Cξ00X0.9772×(1-O.9772),fc=0,1,-,500,

4JP"=k)≥P(Y=k+l)

YIP(Y=k)≥P(Y=k-iy

FIJfC%Xθ?09772k×(1-O.9772)so°-fc≥C齦X0.9772k+1×(1-0.9772)4"-fc

kk1501k

'(C?oX0.9772×(1-0.9772)5。"">ck-ιXo.9772^×(1-0.9772)^'

解得488.62≤k≤489.58,

且k∈N,則k=489,即當(dāng)々=489時，概率最大，

所以這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)最有可能是489.

【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)和方差的公式運(yùn)算求解；

(2)①根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)運(yùn)算求解；②根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列式求解即可..

本題考查平均數(shù)與方差的概念，二項(xiàng)分布的概率，不等式思想，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)當(dāng)b=l,a=-1時,則/(x)=ex-1+xlnx-x2,g(x')=竽=?+Inx-％，

1

可得g(X)的定義域?yàn)?O,+8),g，Q)=α?XT+i-ι=a-*；",

構(gòu)建0(%)=e*τ-%>0,則d(%)=e*T-l,x>0,

令d(x)>O'解得X>l;令w'(x)<0,解得O<X<1;

則WX)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在((U)上單調(diào)遞減，

可得MX)≥9(1)=0，當(dāng)且僅當(dāng)X=I時，等號成立

當(dāng)x>l時，%-1>O,ex~1-X>0,則d(X)=(XT)(：TT)〉0；

x1

當(dāng)0<X<1時，x-l<0,e--1>0,則“(x)=(XT)T)<0.

所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

(2)不存在，理由如下：

當(dāng)b=-1時.，則f(x)=ex~1—xlnx+αx2,

x12

構(gòu)建g(%)=/(%)—ax-1=e~—xlnx+ax—ax—I9

則g'(%)=e"T—Inx+2ax2—α—1,

注意到g(l)=0,由題意可得g'(l)=Q=0,

當(dāng)Q=0時,則g(%)=ex~1—xlnx—1,g'(x)=ex~1—Inx—1,

構(gòu)建九(%)=g'(x),則九'(工)=ex~1-p

可知∕√(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且Zf(I)=0,

當(dāng)%>1時，h,(x)>0；當(dāng)0<X<1時，h!(x)<0；

則八(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減，可得九(E)≥∕ι(l)=0,

即g'(%)≥O在(O,+θo)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)％∈(0,1)時，則g(x)<g(l)=0,不合題意；

故不存在實(shí)數(shù)a,使/(%)≥αx+1恒成立.

【解析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；

(2)構(gòu)建g(%)=/(x)-ax-1,注意到g(l)=0,可得g'(l)=0,求得α,再代入g(x)檢驗(yàn)即可結(jié)

果.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的恒成立問題，考查邏輯推理能

力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)①當(dāng)28≠0時，在^PF∕2中，由余弦定理可得：

222

∣F1F2∣=IPFlI2+∣PF2∣-2∣PF1∣?∣PF2∣?cos2θ,則∣F∕2∣2=(IPFll+∣PF2∣)-2∣PFll?

∣PF2∣(1+COS2Θ),

2

所以4=(IPaI+IPF2D-4∣PF1∣??PF2?cos2θ=(IPFIl+?PF2?Y-8,

所以PFll+IPF21=2y∏>

②當(dāng)20=O時，點(diǎn)P在久軸上，不始設(shè)點(diǎn)P在X軸的正半軸上，則PFll-IPF2∣=2,

∣PF1∣?∣PF2∣=2,由PF/+?PF2?=√QPF1?-?PF2?y+4?PF1?=2，3，

綜上：?PF1?+∣PF21=2y∏,

因?yàn)镻Fll+∣PF2∣=2Λ∕~3>∣F1F21，所以點(diǎn)P的軌跡是以RF?為焦點(diǎn)且長軸長為2/耳的橢圓,

a=y∕~3,b=y[~2,c=1,故點(diǎn)P的軌跡E的方程為：≤+^=l;

(2)設(shè)，的方程為％=my—1,代入E的方程得：(2m2+3)y2—4my—4=0>

z=,

設(shè)A(Xl,yι),B(X2,月)，則y[+)2=2降+3,71-y22m2+3

點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為C,知。(一小，一丫2)，

7n

直線4尸2和CFl的方程為：X=m1y+1,x~m2y—1,其中ι==用士

2

由τ∏ιy+1=m2y-1得y=而有，

從而X=鬻*，所以7(詈產(chǎn)，9=血1)，

r∏2-^m]τn↑m2

所以直線OT的斜率k=工，

2χn"y22（1+2）

而7∏1+m2=丫丫=2