備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第五章數(shù)列第4講數(shù)列求和

第4講數(shù)列求和命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和2023新高考卷ⅡT18；2021新高考卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18本講是高考熱點(diǎn)，主要考查數(shù)列求和，常用方法有公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)化法、倒序相加法，在客觀(guān)題與主觀(guān)題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時(shí)也要關(guān)注分段數(shù)列的形式.用錯(cuò)位相減法求和2023全國(guó)卷甲T17；2021新高考卷ⅠT16；2021全國(guó)卷乙T19；2020全國(guó)卷ⅠT17；2020全國(guó)卷ⅢT17用裂項(xiàng)相消法求和2022新高考卷ⅠT17用倒序相加法求和數(shù)列求和的幾種常用方法1.公式法（1）直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.（2）①12＋22＋32＋…＋n2＝n（n+1)(2n+1）6，②13＋23＋33＋…2.分組轉(zhuǎn)化法（1）利用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型（2）思路：將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列，從而求得原數(shù)列的前n項(xiàng)和.如an＝bn＋cn＋…＋hn，則∑k=1nak＝∑k=1nbk＋∑k=1n注意對(duì)含有參數(shù)的數(shù)列求和時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.3.錯(cuò)位相減法（1）適用的數(shù)列類(lèi)型：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列.（2）求解思路：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn①，qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1②，①－②得（1－q）Sn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn）－anbn＋1，進(jìn)而利用公式法求和.4.裂項(xiàng)相消法（1）利用裂項(xiàng)相消法求和的基本步驟（2）常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)方法數(shù)列（n為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法{1n（n＋1n（n＋k）＝{1414n2－1＝1{1n1n＋n＋k＝1{2n2n（2n5.倒序相加法已知數(shù)列的特征是“與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和等于同一常數(shù)”，可用倒序相加法求和.解題時(shí)先把數(shù)列的前n項(xiàng)和表示出來(lái)，再把數(shù)列求和的式子倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，然后將兩個(gè)式子相加，即可求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和的2倍，最后求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和.1.[教材改編]已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則S20＝400.解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a1＋a3＋a5=105，a2＋a4＋a6=99，得3a3=105，3a4=99，2.[教材改編]已知an＝（－1）nn，則a1＋a2＋…＋a2n＝n.解析由題意可得，a2n－1＋a2n＝－（2n－1）＋2n＝1，∴a1＋a2＋…＋a2n＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a2n－1＋a2n）＝1＋1＋…＋1＝n.3.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，后三項(xiàng)和為4，且所有項(xiàng)和為64，則該數(shù)列有64項(xiàng).解析設(shè)該等差數(shù)列為{an}，由題意可得，a1＋a2＋a3＝2①，an＋an－1＋an－2＝4②，①＋②得3（a1＋an）＝6，又64＝（a1＋an）n24.[易錯(cuò)題]數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10，則｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a15｜＝130.解析易知{an}為等差數(shù)列.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)an＝2n－10＝0時(shí)，n＝5，所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a15｜＝－（a1＋a2＋…＋a5）＋a6＋a7＋…＋a15＝S15－2S5＝130.研透高考明確方向命題點(diǎn)1用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和例1[2021新高考卷Ⅰ]已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝a（1）記bn＝a2n，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前20項(xiàng)和.解析（1）因?yàn)閎n＝a2n，且a1＝1，an＋1＝a所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因?yàn)閎n＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.（2）因?yàn)閍n＋1＝a所以k∈N*時(shí)，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1①，a2k＋1＝a2k＋2②，a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1③，所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.所以數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋10×92×3＋20＋10×訓(xùn)練1公差為2的等差數(shù)列{an}中，a1，a2，a4成等比數(shù)列.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝an，n≤10，bn－5，解析（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的公差為2，所以a2＝a1＋2，a4＝a1＋6.因?yàn)閍1，a2，a4成等比數(shù)列，所以（a1＋2）2＝a1（a1＋6），解得a1＝2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2＋（n－1）×2＝2n.（2）因?yàn)閎n＝an，n≤10，bn－5，n>10，所以b16＋b17＋…＋b20＝b11＋b12＋…＋b15＝所以{bn}的前20項(xiàng)和：T20＝（b1＋b2＋…＋b5）＋（b6＋b7＋…＋b10）＋（b11＋b12＋…＋b15）＋（b16＋b17＋…＋b20）＝（b1＋b2＋…＋b5）＋3（b6＋b7＋…＋b10）＝（a1＋a2＋…＋a5）＋3（a6＋a7＋…＋a10）＝5（a1＋＝5×（2+10）＝270.命題點(diǎn)2用錯(cuò)位相減法求和例2[2023全國(guó)卷甲]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝1，2Sn＝nan.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an+12n}的前n解析（1）當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，兩式相減得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－1）an－1＝（n－2）an，故當(dāng)n≥3時(shí)，anan－1＝n－1n－2，則anan－1整理得ana2＝n－1，因?yàn)閍2＝1，所以an＝n－1（n≥當(dāng)n＝1，n＝2時(shí)，均滿(mǎn)足上式，所以an＝n－1.（2）令bn＝an+12n＝n2n，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝12＋22212Tn＝122＋223＋…＋n由①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n+1＝12（1方法技巧用錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng)（1）在書(shū)寫(xiě)qSn時(shí)注意“錯(cuò)位對(duì)齊”，以方便后續(xù)運(yùn)算.（2）兩式相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào).（3）注意相減后的和式結(jié)構(gòu)的中間為（n－1）項(xiàng)的和.訓(xùn)練2[2021全國(guó)卷乙]設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝nan3.已知a1，3a2，9a（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.（2）記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明：Tn＜Sn解析（1）設(shè){an}的公比為q，則an＝qn－1.因?yàn)閍1，3a2，9a3成等差數(shù)列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝13，故an＝13n－1，（2）由（1）知Sn＝1－13n1－1Tn＝13＋232＋333＋…＋n13Tn＝132＋233＋334＋…①－②得23Tn＝13＋132＋133＋…＋13n－n3n+1＝13整理得Tn＝34－2則Tn－Sn2＝34－2n+34×3n－34（1－13n命題點(diǎn)3用裂項(xiàng)相消法求和例3（1）已知an＝1n（n+2），求數(shù)列{an}的前（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝1（2n－1)(（3）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝12n（2n+1解析（1）易得an＝1n（n+2）＝12（1n－1n+2），所以Sn＝12[（1－13）＋（12－14）＋（13－15）＋…＋（1n－1－1n+1）＋（1n－1n+2）]＝1（2）由題意可得，an＝1（2n－1)(2所以Sn＝12[（1－13）＋（13－15）＋…＋（12n－1－12n+1）]＝因?yàn)?2（2n+1）＞0（3）易知an＝12n（2n+1）＜1（當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝16＜1當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝∑ni=112i（2i+1）＜12（2+1）＋∑ni=21（2i－1)(2i+1）＝16＋12[（13－15）＋（15方法技巧利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)正負(fù)項(xiàng)消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng).訓(xùn)練3[2022新高考卷Ⅰ]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{Snan}是公差為（1）求{an}的通項(xiàng)公式.（2）證明：1a1＋1a2＋…解析（1）因?yàn)閍1＝1，所以S1a1又{Snan}所以Snan＝1＋（n－1）×1所以Sn＝n+23a因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n+23an－n+13a所以n+13an－1＝n－13an所以anan－1＝n所以a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－所以an＝n（n+1）2（n≥2），又所以an＝n（n+1）2（n（2）因?yàn)閍n＝n（n+1）2，所以1an＝2所以1a1＋1a2＋…＋1an＝2[（1－12）＋（12－13）＋…＋（1n－1n命題點(diǎn)4用倒序相加法求和例4已知函數(shù)f（x）＝x＋sinπx－3，則f（12025）＋f（22025）＋f（32025）＋…＋f（40482025）＋f（40492025）＝解析令y＝f（12025）＋f（22025）＋…＋f（40482025）＋f（40492025）①，y＝ff（40482025）＋…＋f（22025）＋f（12025）①＋②，得2y＝[f（12025）＋f（40492025）]＋[f（22025）＋f（40482025）]＋…＋[ff（22025）]＋[f（40492025）＋f（12025因?yàn)閒（x）＋f（2－x）＝x＋sinπx－3＋（2－x）＋sin[π（2－x）]－3＝－4，所以2y＝－4×40