微積分 第七版 課件 5.4 定積分換元積分法則

1第四節(jié)

定積分換元積分法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203理解定積分運用換元法則的注意事項掌握奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分值掌握定積分換元積分法則能熟練利用換元法計算定積分04一、定積分換元積分法則

對應(yīng)于不定積分第二換元積分法則,有定積分換元積分法則,它是計算定積分的一種重要方法.1.定積分換元積分法則內(nèi)容

32.定積分換元積分法則證明證:由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),從而函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上存在原函數(shù),設(shè)函數(shù)F(x)為f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù),根據(jù)§5.3牛頓-萊不尼茲公式,有定積分

由于函數(shù)F(x)為f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù),從而有微分dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx4根據(jù)§2.7定理2.4關(guān)于微分形式不變性的結(jié)論,當(dāng)變量x不是自變量而是中間變量,即變量x為自變量t的函數(shù)x=φ(t)時,同樣有微分dF(x)=f(x)dx即有dF(φ(t))=f(φ(t))dφ(t)因而得到一階導(dǎo)數(shù)(F(φ(t)))'=f(φ(t))φ'(t)=f(φ(t))φ'(t)dt5這說明函數(shù)F(φ(t))為f(φ(t))φ'(t)的一個原函數(shù).根據(jù)§5.3牛頓-萊不尼茲公式,有定積分

所以得到定積分

63.定積分換元積分法則說明：

換限時要注意:換元后的積分下限對應(yīng)于換元前的積分下限,換元后的積分上限對應(yīng)于換元前的積分上限;在換元前的積分下限小于換元前的積分上限的情況下,換元后的積分下限不一定小于換元后的積分上限.7這樣將原積分變量為變量x的定積分化為新積分變量為變量t的定積分當(dāng)變量代換后的原函數(shù)解出后,不必將原函數(shù)表達(dá)式中的變量t用φ-1(x)代回,只要變量t分別用換元后的積分上限、積分下限代入得到的原函數(shù)值相減,就得到所求定積分的值.定積分換元積分法則可以概括為:既換元又換限.84.定積分換元積分法則舉例

則可以令變量

即作變量代換

同時換限,根據(jù)§5.3牛頓-萊不尼茲公式求得結(jié)果9例1

所以定積分

10

=2[(2-ln3)-0]=4-2ln3例2

所以定積分

11

12例3

所以定積分

13

=3(ln3-0)=3ln314例4

15

因此定積分

此題答案為：（b）16二、奇函數(shù)的定積分已知函數(shù)f(x)在關(guān)于原點的對稱閉區(qū)間[-a,a](a>0)上連續(xù),如果函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則定積分1.定理5.4

172.奇函數(shù)的定積分證明證:根據(jù)§5.1定積分基本運算法則5,定積分

當(dāng)x=-a時,t=a,當(dāng)x=0時,t=0.再根據(jù)§5.1定積分基本運算法則3,定積分

18又根據(jù)§5.1定理5.1關(guān)于定積分與積分變量記號無關(guān)的結(jié)論,將積分變量記號t改寫為x,因而定積分

因此得到定積分

19由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù),從而有關(guān)系式f(-x)=-f(x),所以定積分

=020例5

解:注意到積分區(qū)間[-1,1]是關(guān)于原點的對稱閉區(qū)間,這時應(yīng)該首先考察被積函數(shù)f(x)=x3cosx的奇偶性由于關(guān)系式f(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-f(x)21說明被積函數(shù)f(x)=x3cosx為奇函數(shù)因此所求定積分

例6證明:定積分