2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何探究（截長補(bǔ)短法）

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何探究（截長補(bǔ)短法）

1.如圖，在R3ABC中，DACB=90°,DBAC=a,點D在邊AC上（不與點A,C重

合）連接BD,點K為線段BD的中點，過點D作DEDAB于點E,連結(jié)CK,EK,

CE,將4ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90。）

（1）如圖1,若a=45。，則AECK的形狀為；

（2）在（1）的條件下，若將圖1中的4ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D,E,B三點共

線，點K為線段BD的中點，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK；

（3）若AADE繞點A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D,E,B三點共線，點K仍為線段

BD的中點，請你直接寫出BE,AE,CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表

示）.

2.如圖1,在正方形ABCD中，點P為AD延長線上一點，連接AC、CP,過點C作

CF1CP交于C,交AB于點F,過點B作BMDCF于點N,交AC于點M.

7

（1）若AP=；AC,BC=4,求SAACP;

o

（2）若CP-BM=2FN,求證：BC=MC；

（3）如圖2,在其他條件不變的情況下，將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且

ABWBC,AC=AP,取CP中點E,連接EB,交AC于點O,猜想：DAOB與DABM

之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

3.思維探索：

在正方形Z38中，AB=4,□￡■“尸的兩邊分別交射線C8,DC于點E,F,口比1尸=

45°.

(1)如圖1,當(dāng)點E,尸分別在線段8C,CZ)上時，DCM的周長是；

(2)如圖2,當(dāng)點E,尸分別在C8,DC的延長線上，C/=2H寸，求CE廠的周長；

拓展提升：

如圖3,在RtO48C中，E4C8=90。，CA=CB,過點8作8DZL8C,連接40,在8c

的延長線上取一點E,使：￡D4=30。，連接/E,當(dāng)80=2,Z)E4O=45。時，請直接寫

出線段CE的長度.

4.在菱形A5Go中，射線從對角線所在的位置開始繞著點5逆時針旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)角為&(()。＜。＜18()。)，點E在射線8M上，NDEB=NDAB.

(1)當(dāng)ZZMB=60。時，旋轉(zhuǎn)到圖□的位置，線段BE,DE,AE之間的數(shù)量關(guān)系

是;

(2)在(I)的基礎(chǔ)上，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖L的位置時，探究線段BE,DE,AE之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)將圖口中的ZmB=60。改為NZM3=90。，如圖口，其他條件不變，請直接寫出線

段8E,DE,4E之間的數(shù)量關(guān)系.

圖①圖②圖③

5.如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，ABDC是頂角為120。的等腰三角形，以點

。為頂點作NMDN=60。，點M、N分別在AB、AC上.

(1)如圖口，當(dāng)?shù)腣〃8c時，則AAA/N的周長為；

(2)如圖口，求證：BM+NC=MN.

圖①圖②

6.已知等腰LABC中，AB=AC,點D在直線AB上，DELJBC,交直線AC與點

E,且BD=BC,CHOAB,垂足為H.

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)點D在線段AB上時，如圖1,求證DH=BH+DE；

(2)當(dāng)點D在線段BA延長線上時，如圖2,當(dāng)點D在線段AB延長線上時，如圖

3,直接寫出BH,之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明.

7.如圖，在正方形A88中，點E途射線8c上，連接4E,作瓦'_LAE,且E尸交正

方形外角的平分線CF于點F.

(1)若點E在邊5c的中點處時，AEEF(填或“=")

(2)若點E為邊BC上的任意一點(不含點8,C),探究此時AE與E尸的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

(3)若點E是邊BC延長線上的一點，探究此時AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8.把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD,以D為頂點作

NMDV,交邊AC,BC于點M,N.

(1)如圖(1),若ZAC￡>=30。，NA?W=60。，當(dāng)繞點D旋轉(zhuǎn)時，AM,

MN,BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(2)如圖(2),當(dāng)NA8+NNDV=90。時，AM,MN,BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)

系？證明你的結(jié)論；

(3)如圖(3),在(2)的條件下，若將M,N分別改在CA,BC的延長線上，完成

圖(3),其余條件不變，則AM,MN,BN之間有何數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不必

證明).

9.如圖1,在AA8C中，ZACB是直角，ZB=60°,AD,CE分別是N8AC、NBC4的

平分線，AD.CE相交于點F.

B

（1）求出NAFC的度數(shù)；

（2）判斷FE與F￡＞之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.（提示：在AC上截取CG=CD,連

接FG.）

（3）如圖2,在口人45。中，如果Z4cB不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判

斷線段AE、CD與AC之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

10.數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰加'AAb。中，XBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求證

^ABE=ZACD-,

在此問題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：

過點A作AF_LBE于點G交8c于點F,過尸作交BE于點尸，交CD于點H,

試探究線段BP,FP,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，NA尸8與N”FC■有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補(bǔ)短”，再通過

進(jìn)一步推理，可以得出結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證448E=

（2）猜想WB與N”尸C的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）探究線段8P,FP,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

11.如圖1,在AABC中，AB^AC,AC?平分N5C￡),連接8￡),ZABD=2NCBD,

NBDC=ZABD+AACD.

(1)求44的度數(shù):

(2)如圖2,連接AZ),A￡_LAD交BC于E,連接DE,求證：NDEC=NBAE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G為CE的中點，連接AG交8。于點F,若

W=32,求線段越的長.

12.(1)問題背景：如圖1,在四邊形Z8C。中，AB=AD,□比10=120。，B=

□JDC=90°.E,尸分別是8C,CD上的點，且HE/尸=60。，請?zhí)骄繄D中線段8E,

EF,FZ)之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

圖1圖2

小明探究此問題的方法是：延長在。到點G,使DG=BE,連結(jié)ZG.先證明

^ABEDDADG,得4E=4G；再由條件可得口￡4/=口6/凡證明△/EFDCMGF,進(jìn)而

可得線段BE,EF,皿之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)拓展應(yīng)用：

如圖2,在四邊形/8C。中，AB=AD,8+0=180。.E,尸分別是8C,8上的

點，且口￡>!尸=!口比ID問(1)中的線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系是否還成

立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

13.在1ABC中，nACB=2DB,(1)如圖口，當(dāng)(3C=90。，AD為DABC的角平分線

時，在AB上截取AE=AC,連接DE,易證AB=AC+CD.請證明AB=AC+CD；

（2）口如圖口，當(dāng)口（2刈0。，AD為DBAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；

□如圖口，當(dāng)ICMO。，AD為3ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明.

圖①圖②圖③

14.如圖1,在RtiUABC中，□ABC=90°,BA=BC,直線MN是過點A的直線CDE3MN于

點D,連接BD.

（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)

過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點B作BE71BD,交MN于點E,進(jìn)而得

出：DC+AD=BD.

（2）探究證明

將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明

（3）拓展延伸

在直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DABD面積取得最大值時，若CD長為1,請直接

寫B(tài)D的長.

15.如圖，四邊形"BCD是正方形，點E是邊8c的中點，JAEF=90°,且EF交正方

形外角平分線cr于點立

圖1圖2圖3

(1)求證：AE=EF；

(2)如圖2,若把條件“點E是邊8C的中點”改為“點E是邊上的任意一點“，其余

條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？—；(填“成立”或“不成立”)；

(3)如圖3,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊8c延長線上的一點”，其

余條件仍不變，那么結(jié)論ZE=EF是否成立呢？若成立請證明，若不成立說明理由.

16.在148C中，AB=AC,點。與點E分別在/8、/C邊上，DE//BC,且DE=DB,

點F與點G分別在8C、4C邊上，3FDG=^-UBDE.

(1)如圖1,若nBDE=120。,UBC,點G與點C重合，BF=\,直接寫出

BC=；

(2)如圖2,當(dāng)G在線段EC上時，探究線段8GEG、尸G的數(shù)量關(guān)系，并給予證

明；

(3)如圖3,當(dāng)G在線段NE上時，直接寫出線段5/、EG、FG的數(shù)量關(guān)系：

17.已知等邊三角形ABC,D為^ABC外一點，NBDC=120。，BD=DC,

NMDN=60。，射線DM與直線AB相交于點M,射線DN與直線AC相交于點N.

(1)當(dāng)點M、N在邊AB、AC±,且DM=DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的

數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DMHDN時，猜想口中的結(jié)論還成立嗎？若成

立，請證明；

(3)當(dāng)點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并求出BM、NC、MN

之間的數(shù)量關(guān)系.

18.如圖1,在四邊形A88中，AB1AD,BC1CD,AB=BC,ZABC=2NEBF,

它的兩邊分別交AD、DC點E,F.且AEwCF.

(1)求證：EF=AE+CF.

(2)