第五章(第五節(jié),第五章習(xí)題課)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁(yè)/共頁(yè)定理1設(shè)隨機(jī)變量的二階矩存在，則成立不等式。（此不等式稱為Cauchy-Schwarz不等式.）證實(shí)對(duì)隨意實(shí)數(shù),恒有,當(dāng)時(shí)，取，代入上式，則有；,即得；（或直接由判別式，得，即得,于是。）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)隨意實(shí)數(shù),恒有，從而必有，于是天然有，綜上所述結(jié)論得證。由此結(jié)果，即得成立不等式。定理2設(shè)隨機(jī)變量的二階矩存在，則成立不等式；。證實(shí)因?yàn)?，所以，成立。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):定理設(shè)隨機(jī)變量的二階矩存在，則有。證實(shí)對(duì)隨意實(shí)數(shù),恒有,當(dāng)時(shí)，取，則有；,即得,；當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意實(shí)數(shù),恒有，必有，天然有，綜上所述，結(jié)論得證。定理設(shè)隨機(jī)變量的二階矩存在，且對(duì)相關(guān)系數(shù),則有（1）成立;（2）的充要條件是,其中是常數(shù).證實(shí)對(duì)隨意實(shí)數(shù),恒有,因?yàn)椋?，代入則有；,即得,；故;在中，令,則有,從而有,令，,其中是常數(shù).若，則有，，，，此時(shí)與相關(guān).所以有些書上把作為與不相關(guān)的定義是不妥的.例設(shè)為隨意事件,則成立證實(shí)若或或或,則不等式顯然成立;不妨設(shè),,定義隨機(jī)變量;,則有,,,,,,由,得成立.事件與互相自立充足須要條件是隨機(jī)變量和不相關(guān).矩、協(xié)方差矩陣矩的概念矩是一些數(shù)字特征的泛稱或總稱.在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,矩占有重要的地位.前面研究的數(shù)學(xué)期待、方差、協(xié)方差等數(shù)字特征都是某種矩.在理論和實(shí)際中,這些數(shù)字特征還不夠用,還需要更多的其它矩.定義9設(shè)和是隨機(jī)變量,對(duì)正整數(shù)，若存在,稱它為的階原點(diǎn)矩;若存在,稱它為的階中央矩.顯然,的數(shù)學(xué)期待就是一階原點(diǎn)矩,方差就是二階中央矩.此外,還可以定義階原點(diǎn)混合矩,階中央混合矩,階原點(diǎn)絕對(duì)矩,階中央絕對(duì)矩,等等.我們知道，物理學(xué)中有轉(zhuǎn)動(dòng)矩的概念和計(jì)算公式。在計(jì)算，中用多項(xiàng)式逼近，天然產(chǎn)生計(jì)算單項(xiàng)式，的情形；在隨機(jī)變量的特征函數(shù)的泰勒展開式中，也將浮上需要計(jì)算，的情形。例設(shè),求,為正整數(shù)。解由，知；的概率密度為,,，此積分對(duì)隨意正整數(shù)收斂，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，被積函數(shù)為奇函數(shù)，此時(shí)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，于是，（為偶數(shù)）。異常地，，。定理設(shè)，則，，，，。例設(shè)互相自立，且都順從，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期待和方差。解由條件知，；故，。設(shè)隨機(jī)變量,求。解的概率密度為,,。二.協(xié)方差矩陣定義對(duì)于維隨機(jī)向量，若存在，矩陣稱為維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣.顯然,協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣.利用協(xié)方差矩陣,我們可以把二維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度改寫成較容易的形式,從而很容易地把它推廣到維正態(tài)隨機(jī)向量的情形.二維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度為,若令,,的協(xié)方差矩陣為,它的行列式,的逆矩陣為;則有;,于是的概率密度可寫成由次推廣得到維正態(tài)隨機(jī)變量的定義。設(shè)是維隨機(jī)變量,倘若其概率密度為其中,,是對(duì)稱正定矩陣。則稱是維正態(tài)隨機(jī)變量，或稱順從維正態(tài)分布?？梢宰C實(shí)是的協(xié)方差矩陣.維正態(tài)分布在多元統(tǒng)計(jì)分析和隨機(jī)過(guò)程中要用到。第五章習(xí)題課例1設(shè),則(1),;,;(2);(3)順從正態(tài)分布,(為常數(shù),且不全為0),;(4)與自立 與不相關(guān).例2設(shè)隨機(jī)變量與互相自立同順從正態(tài)分布,求(1)的概率密度;(2)的概率密度;(3);(4),.解依題設(shè)條件,知, 與互相自立,從而有,;(1) 順從正態(tài)分布,,,得, 的概率密度,;(2),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),, 的概率密度 ;(3);或;或(作坐標(biāo)變換,);(4)注重到,,,.例3某項(xiàng)實(shí)驗(yàn),勝利的概率為,失敗的概率為,自立重復(fù)該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)直至第2次勝利為止.設(shè)為所舉行的實(shí)驗(yàn)次數(shù),試求:(1)隨機(jī)變量的分布律;(2)計(jì)算取偶數(shù)的概率;(3)解(1)設(shè)“實(shí)驗(yàn)次數(shù)”,依題意 實(shí)驗(yàn)舉行了次,第次實(shí)驗(yàn)勝利,在前次實(shí)驗(yàn)中恰好勝利一次, 隨機(jī)變量的分布律為,;(2)設(shè)“恰舉行了偶數(shù)次實(shí)驗(yàn)”,.這里用到了如下公式,.(3);這里用到了如下公式,例4、有5個(gè)自立的電子裝置,它們的壽命順從同一指數(shù)分布,其分布函數(shù)為:(1)將5個(gè)電子裝置串聯(lián)組成整機(jī),求整機(jī)壽命的數(shù)學(xué)期待.將5個(gè)電子裝置并聯(lián)組成整機(jī),求整機(jī)壽命的數(shù)學(xué)期待.解(1)按照題意,自立同分布，的分布函數(shù)為，的概率密度為，，（2）按照題意,自立同分布，的分布函數(shù)為，的概率密度為.例5將一顆勻稱的骰子重復(fù)投擲次,記為浮上點(diǎn)數(shù)小于3的次數(shù),為浮上點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù),求與的相關(guān)系數(shù).解按照題意知,從而,,,于是.例6.將4個(gè)有區(qū)別的球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)盒內(nèi),設(shè)為盒內(nèi)球的最多個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布律,并求.解依題意恰好每盒中各有一個(gè)球,;恰有一盒中各有兩個(gè)球,其它兩盒中各有一球+恰有兩盒中各有兩個(gè)球,,(將4個(gè)球平均分成兩組,考慮到對(duì)稱性,不同的分組數(shù)是;而不是);恰有一盒中有3個(gè)球,其它一盒中有一個(gè)球,;,即隨機(jī)