數學-專項9.6矩形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）-【】2022-2023學年八年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.6矩形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┮阎倪呅蜛BCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（

）A．當AB＝AD時，它是菱形 B．當AC＝BD時，它是正方形C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC⊥BD時，它是菱形【答案】B【分析】根據菱形、矩形和正方形的判定逐項判斷即可得.【詳解】解：A.由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得：當AB=B.由對角線相等的平行四邊形是矩形得：當AC=C.由有一個角是直角的平行四邊形是矩形得：當∠ABCD.由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得：當AC⊥故選：B.【點睛】本題考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定方法是解題關鍵.2．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（

）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當AC=BD時，它是矩形 D．當∠ABC=90°時，它是正方形【答案】D【分析】根據矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．

【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應用，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關鍵，難度適中．3．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（

）A．當∠ABC=90°時，它是矩形 B．當AB=BC時，它是菱形C．當AC⊥BD時，它是菱形 D．當AC=BD時，它是正方形【答案】D【分析】根據矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應用，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關鍵．4．（2021秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）小剛和小東在做一道習題，若四邊形ABCD是平行四邊形，請補充條件，使得四邊形ABCD是矩形．小剛補充的條件是：∠A=∠B；小東補充的條件是：∠A+∠C=180°．你認為下列說法正確的是（

）A．小剛和小東都正確 B．僅小剛正確 C．僅小東正確 D．小剛和小東都錯誤【答案】A【分析】根據矩形的判定定理，逐項證明即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠B，∴∠A=∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．故小剛正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∵∠A+∠C=180°，∴∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故小東正確．故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定定理，解題關鍵是熟記矩形的判定定理，準確進行推理證明．5．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分線，EF⊥AE，則AF的長為（

）

A．32 B．4 C．25 【答案】D【分析】由已知可得△ABE是等腰直角三角形，求得DF【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=45°∴BE=∴CE=1∵EF⊥AE，∴∠AEF∴∠EFC=45°∴△EFC∴CF=∴DF=1∴AF=故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理、角平分線的定義，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯考階段練習）已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】過點D作DG⊥BC于G，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于點F，先證明△EDF≌△CDG（AAS），從而得EF【詳解】過點D作DG⊥BC于G，過點E作EF⊥AD又∵CD∴∠EDF∴∠EDF∴在△EDF和△∠F∴△EDF∴EF=∵AD∥∴∠BAD∴四邊形ABGD為矩形，∴BG=又∵BC=6∴EF=△ADE的面積為：1故選C．【點睛】此題考查全等三角形判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的面積計算，解題關鍵在于掌握各性質定義.

7．（2022秋·江蘇南京·八年級校聯考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F，連結AP、EF．以下結論中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值為2．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】①連接PC，證明△ADP≌△CDP，則AP＝PC，證明四邊形PECF是矩形，根據矩形對角線相等得PC＝EF，即可判斷；②證明△AMP≌△FPE（HL），得到∠BAP＝∠PFE，進而求解；③當AP⊥BD時，即AP=12BD＝22時，EF的最小值等于2【詳解】解：①連接PC，EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，AD=CD∠ADP=∠CDP

∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF；故①正確；②延長FP與AB交于點M，延長AP與EF交于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵PF⊥CD，∴PM⊥AB，∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，∴PM＝PE，∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，∴△AMP≌△FPE（HL），∴∠MAP＝∠PFE，∵∠AMP＝90°，∴∠MAP+∠APM＝90°，∵∠APM＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴∠PHF＝180°-（∠PFH+∠HPF）＝90°，∴AP⊥EF，故②正確；③由EF＝PC＝AP，∴當AP最小時，EF最小，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝AB2+A則當AP⊥BD時，AP最小，∴AP=12BD＝22時，EF的最小值等于2故③不正確；綜上，①②正確．故選：A．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質、矩形的判定和性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短、勾股定理等知識，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．8．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點(P不與B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值是(

)A．2 B．3 C．1.2 D．2【答案】C【分析】根據題意，AM=12EF，利用三個直角的四邊形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，當AP最小時，AM有最小值，根據垂線段最短，計算【詳解】解：如圖所示，連接AP，∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=32∴BC邊上的高h=125∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M為EF的中點，∴AM=12EF

∴AM=12AP∴當AP最小時，AM有最小值，根據垂線段最短，當AP為BC上的高時即AP=h時最短，∴AP的最小值為125∴AM的最小值為65故選C．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）要使?ABCD是矩形，你添加的條件是___________．（寫出一種即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】添加的條件是AC=BD，根據矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，即可推出結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AC=BD．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查對矩形的判定的理解和掌握，能靈活運用矩形的判定進行推理是解此題的關鍵．此題是一個開放性題目，答案不唯一．10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，若所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是_______．（只需寫出一個符合要求的條件）

【答案】AC⊥BD【分析】根據平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出∠E=90°即可．【詳解】解：添加的條件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．【點睛】本題主要考查對矩形的判定，平行四邊形的判定，平行公理及推論等知識點的理解和掌握，能求出平行四邊形EFGH和∠E=90°是解此題的關鍵．11．（2021秋·江蘇揚州·八年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列說法：①如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中正確的有______個【答案】2【分析】先根據平行四邊形的判定推出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據等腰三角形的性質推出AD平分∠BAC，再根據菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定推出即可．【詳解】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，

∴平行四邊形AEDF是矩形，故①正確；②∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DF∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴∠ADF=∠CAD，∴AF=DF，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故②正確；③∵AD⊥BC，AC=AB，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DF∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴∠ADF=∠CAD，∴AF=DF，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，四邊形AEDF不一定是正方形，故③錯誤；即正確的個數是2個，故答案為：2．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．12．（2018秋·江蘇南通·八年級階段練習）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO=15°，則∠OED=________°．【答案】30【詳解】在矩形ABCD中,∠ADC=90°,DE平分∠ADC,則∠ADE=∠CDE=45°,

又∠EDO=15°,則∠ADO=∠ADE+∠EDO=60°,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相等且互相平分,AO=DO,又∠ADO=60°,得△ADO是等邊三角形,AO=DO=AD,∠AOD=∠DAO=∠ADO=60°,又∠DAE=90°,∠ADE=45°,△ADE是等腰直角三角形,AD=AE,∠AED=∠ADE=45°,∴AO=AD=AE,△EAO是等腰三角形,∠AOE=∠AEO,又∠EAO=90°-∠DAO=30°,得∠AEO=（180°-∠EAO）/2=75°,∠OED=∠AEO-∠AED=75°-45°=30°,故答案為:30.13．（2016秋·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH為矩形，∠ADC＋∠BCD應為_____________度．【答案】90【詳解】試題分析：根據矩形的判定定理以及三角形中位線的性質可得：∠ADC＋∠BCD=90°.考點：(1)、矩形的性質；(2)、中位線的性質14．（2021秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當θ＝_____°時，GC＝GB．【答案】60或300【分析】當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據∠DAG＝60°，即可得到旋轉角θ的度數．【詳解】解：當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當點G在AD右側時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，

∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉角θ＝60°；②當點G在AD左側時，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉角θ＝360°﹣60°＝300°．故答案為60或300【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．15．（2022秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是邊AB上的一動點，連接DE，點A與點P關于DE對稱，連接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，則BP的最小值為________．【答案】1【分析】根據點A、P的關系可知，點P的運動軌跡為以點D為圓心，AD為半徑的圓弧，所以當點B、P、D三點在一條直線時，BP=BD?DP最短．

【詳解】如圖所示，以點D為圓心，AD為半徑畫圓弧∴AD=D由圖可知，當點P運動到P′時B∴B∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴B故答案為：1．【點睛】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理等知識點，熟練掌握軸對稱的性質，勾股定理是解題的關鍵．16．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小紅以4m/s的速度沿路線B→A→G→E行走到E處，小明以小紅速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到【答案】92【分析】連接GC，由“SAS”可證ΔABG?ΔCBG，可得AG=GC【詳解】解：如圖，連接GC，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=150m，∠ABD=∠CBD=∠BDC=45°，在ΔABG和ΔBG=BG∠ABG=∠CBG=45°∴∴AG=GC，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，∴四邊形GECF是矩形，∴GC=EF，∴EF=AG，∵∠BDE=45°，GE⊥DE，∴∠GDE=∠DGE，∴GE=DE，∵小紅行走的路程為310m，∴AB+AG+GE=310m，∴小明行走的路程=AB+AD+DE+EF=AB+AG+GE+AD=310+150=460m，∴t=460故答案為：92．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用正方形的性質是本題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022秋·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學校聯考期中）如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且∠ABC=90°，

，BE∥AC，CE∥DB，求證：四邊形OBEC是菱形．從以下三個選項中選兩個作為已知條件：①AD∥BC，

②AB=CD，

③AD=BC，并完成證明．你選擇的條件是

【答案】①③或②③【分析】選擇的條件只要能證得四邊形ABCD是矩形即可證明四邊形OBEC是菱形.【詳解】選擇①③時，證明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OB=∴OB=OC，∵BE∥AC，CE∥DB，∴四邊形OBEC是菱形．選擇②③時，證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OB=∴OB=OC，∵BE∥AC，CE∥DB，∴四邊形OBEC是菱形．綜上可得，選擇的條件是①③或②③【點睛】本題考查了菱形、矩形的判定和性質，熟練掌握矩形和菱形的判定方法是解題的關鍵．18．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市竹山中學?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，AF與DE相交于點G，BF與CE相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）若四邊形EHFG是矩形，則平行四邊形ABCD應滿足的條件是____________．（直接寫出答案．不需要證明）【答案】（1）見解析；（2）AB＝2AD【分析】（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；（2）由AB＝2AD證出四邊形AEFD是菱形，得出AF⊥DE，即可得出結論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CF，AB＝CD，∵E是AB中點，F是CD中點，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四邊形FGEH是平行四邊形；（2）解：當AB＝2AD時，平行四邊形EHFG是矩形．理由如下：連接EF，如圖所示：∵E，F分別為AB，CD的中點，且AB＝CD，∴AE＝DF，且AE∥DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，又∵AB＝2AD，E為AB中點，則AB＝2AE，于是有AE＝AD＝12AB∴四邊形AEFD是菱形，∴AF⊥DE，∴∠EGF＝90°，

由（1）得：四邊形EHFG是平行四邊形，∴四邊形EHFG是矩形；故答案為：AB＝2AD．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定，注意找準條件，有一定的難度．19．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）當∠C與∠BED滿足條件時，四邊形ABDF是矩形．【答案】（1）見解析；（2）∠BED=2∠C【分析】（1）要證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AB=DF即可，然后根據題目中的條件，利用平行四邊形的性質和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；（2）先寫出∠C與∠BED之間的關系，然后根據矩形的判定方法和平行四邊形的性質，得到∠BAF=90°，再結合（1）中的結論，即可得到四邊形ABDF是矩形．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE=∠FDE，∵點E是AD的中點，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，

∠BAE=∠FDEAE=DE∴△BEA≌△FED（ASA），∴AB=DF，又∵AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）∠BED=2∠C時，四邊形ABDF是矩形，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE=∠C，∵∠BED=2∠C，∴∠BED=2∠BAE，∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∴∠BAE=∠ABE，∴EB=EA，由（1）知四邊形ABDF是平行四邊形，∴BE=EF，∴EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，∴∠BAE+∠EAF=90°，∴四邊形ABDF是矩形．【點睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確平行四邊形的判定方法和矩形的判定方法，利用數形結合的思想解答．20．（2022秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AB和CD的中點．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）當AC、BC滿足怎樣的數量關系時，四邊形AMCN是矩形，請說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）AC=BC，理由見解析【分析】（1）推導出AM=CN且AM∥CN，從而證四邊形AMCN是平行四邊形；（2）當AC=BC時，可得出CM⊥AB，則有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD，AB∥CD

∵M，N分別為AB和CD的中點∴AM=12AB，CN∴AM＝CN，且AB∥CD∴四邊形AMCN是平行四邊形

（2）答：AC=BC時，四邊形AMCN是矩形

證明∵AC=BC，且M是BC的中點∴CM⊥AB

即∠AMC＝90°∴四邊形AMCN是矩形【點睛】本題考查平行四邊形和矩形的證明，根據證明需要的條件，在題干中相應推導出來即可．21．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長．

(3)若∠AOB＝2∠ADB時，則平行四邊形ABCD為形．【答案】(1)見解析；(2)DE=2；(3)矩【分析】（1）運用ASA證明△ABO≌△CDO得AB=CD，根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證得結論；（2）根據四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據平行線的性質和角平分線的性質可得出∠ABE=∠AEB，繼而可得AB=AE，然后根據已知可求得DE的長度；（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四邊形的性質可得AC=BD，從而可得結論．（1）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，在△ABO和△DCO中，∠BAO=∠DCOAO=CO∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴DE=AD-AE=BC-AB，

∵BC-AB=2，∴DE=2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，∵∠AOB=2∠ADB，∴∠OAD=∠ODA，∴AO=DO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，DO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．故答案為：矩．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定以及等腰三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．22．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)詳見解析；(2)75°；(3)43【分析】（1）由平行線的性質易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結論；

（2）由矩形和角平分線的性質得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的對角線互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴BC=23

∴矩形OEC的面積=BC×AB=43【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行線的性質、角平分線的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質和等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．23．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】學習了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．【深入探究】第一種情況：如圖①，當∠A＝∠C＝90°時，求證：四邊形ABCD是矩形．第二種情況：如圖②，當∠A＝∠C＞90°時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．第三種情況：如圖③，當∠A＝∠C＜90°時，小明同學研究后認為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請在圖中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）連接BD，證明Rt△ABD≌Rt△CDB，根據全等三角形的性質得到BC=AD，根據平行四邊形的性質判定定理證明結論；（2）別過點B、D作BE⊥AD交AD的延長線于點E，DF⊥BC交BC的延長線于點F，證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，證明結論；（3）以B為圓心，BD為半徑作弧，交AD于D′，以B為圓心，BA為半徑作弧交以D為圓心，AD′為半徑的弧于A′，根據圖形證明結論．【詳解】解：（1）證明：如圖①，連接BD，

在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB=CDBD=DB∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴BC=AD，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2