第四章 Green函數(shù)法(all)

第四章

Green函數(shù)法內(nèi)容安排：§1.函數(shù);§2.Green公式與基本積分公式;§3.Poisson方程邊值問題的Green函數(shù)法;§4.用電像法求特殊區(qū)域上的Green函數(shù);§5.熱傳導(dǎo)方程與波動(dòng)方程的Green函數(shù)法.基本思想：把一個(gè)非齊次方程帶有非齊次邊值條件的問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)特殊邊值問題。該特殊問題的解，稱為Green函數(shù)，它表示一個(gè)點(diǎn)源在一定邊界條件和(或)初值條件下所產(chǎn)生的場或影響.§1.δ函數(shù)δ函數(shù)是用來表示點(diǎn)源的密度分布的函數(shù)1.δ函數(shù)的引入與物理意義設(shè)有一細(xì)長金屬線，則在任一點(diǎn)x處，該金屬線的密度為則ρ(x)滿足：點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源都是滿足以上關(guān)系式的物理量。若金屬線的總質(zhì)量為1，且質(zhì)量集中于x=0處，定義：δ函數(shù)是指具有下列性質(zhì)的函數(shù)，且物理意義：單位質(zhì)量（電量、熱量等）集中x=0點(diǎn)的密度函數(shù)。

―般地,若單位點(diǎn)源不是放在x=0處，而是在x=x0處,則有說明：(1)若在x=a處有一質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn),則x軸上任一質(zhì)點(diǎn)x處的質(zhì)量密度為

(2)δ函數(shù)不是普通意義下的函數(shù)，需在積分意義下理解它的性質(zhì)2δ函數(shù)的性質(zhì)(2)在積分意義下，δ(x)為偶函數(shù):(1)對(duì)任意的連續(xù)函數(shù)f(x)有:(3)在積分意義下，即3.高維δ函數(shù)三維δ函數(shù)性質(zhì)§2.Green公式，基本解和Poisson方程的基本積分公式奧－高公式：其中是曲面Σ的外法向量與坐標(biāo)軸夾角。滿足：在T上一階連續(xù)可微，

在上連續(xù)。1.Green公式設(shè)取代入奧－高公式得：即第第一Green公式

……①減去①式得：第第二Green公式將u,v交換位置……②2.基本解定義：設(shè)為n維空間中的點(diǎn)，的解為Poisson方程的基本解?；窘獾奈锢硪饬x：表示的點(diǎn)源所產(chǎn)生的場。則稱滿足方程先設(shè)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，由于區(qū)域是無界的，點(diǎn)源產(chǎn)生的場與方向無關(guān)。取球坐標(biāo)則G0只是r的函數(shù)，于是例1.求三維Poisson方程的基本解解：基本解滿足方程當(dāng)時(shí)，方程為其一般解為令無窮遠(yuǎn)處則在r=0時(shí),將方程以原點(diǎn)為球心,ε為半徑的小球作體積分,由Green公式，上式左端則得從而一般情形例2.二維Poisson方程的基本解為：3.Poisson方程的基本積分公式若在閉區(qū)域上在開區(qū)域T內(nèi)定理：則對(duì)T內(nèi)任一點(diǎn)有：

等式左端為[證明]：以表示M0為心,

為半徑的球體,,為其界面，在中應(yīng)用第二Green公式，有：并取所以故當(dāng)時(shí)在右端，因?yàn)檠赜?，?/p>

及當(dāng)時(shí)有—Poisson方程的基本積分公式意義：借助于基本解，將Poisson方程的解由區(qū)域T上f的值和u與u的法向?qū)?shù)在邊界上的值表示出來。對(duì)二維Poisson方程，也有類似的結(jié)果，即若則§3.Poisson方程邊值問題的Green函數(shù)法三維Poisson方程的邊值問題的統(tǒng)一表達(dá)式1.Green函數(shù)其中

是不同時(shí)為0的常數(shù).上式既要求已知，還要求已知。(1)Poisson方程的第一邊值問題欲求以上問題的解，自然想到Poisson方程的基本積分公式。欲使用基本積分公式求解問題，需設(shè)法消去項(xiàng)。為此，取G滿足則可得

Poisson方程第一邊值問題的解的積分公式定義：稱滿足如下問題(2)第三邊值問題的函數(shù)為Poisson方程第一邊值問題的Green函數(shù)。定義：稱定解問題以u(píng)乘的兩端……………③的解為Poisson方程第三邊值問題的Green函數(shù)，表示。也用……………④③減④得可得Poisson方程第三邊值問題的解乘的兩端得以定義：稱定解問題的解為Poisson方程第二邊值問題的廣義Green函數(shù)，其中表示T的體積。(3)第二邊值問題

則Piosson方程第二邊值問題的解可表示為：由以上討論知，要求解Poisson方程邊值問題，就要首先求出相應(yīng)的Green函數(shù)。要知區(qū)域T上的Green函數(shù)，還必須解一個(gè)特殊的定解問題。以第一邊值問題為例，須求解意義：Poisson方程邊值問題的解在T內(nèi)任一點(diǎn)的值可由Green函數(shù)和問題的已知函數(shù)f和φ

的積分表示.由疊加原理,令其中為基本解，滿足引入Green函數(shù)的重要意義在于把Poisson方程的邊值問題歸結(jié)為一個(gè)特定的邊值問題，對(duì)于特殊區(qū)域，這樣的特定邊值問題可求得解的具體表達(dá)式。2.

Green函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2.

在邊界Σ

上，Green函數(shù)恒為零。性質(zhì)1.Green函數(shù)在T內(nèi)除外，階數(shù)與相同.處處滿足當(dāng)時(shí)，性質(zhì)3.

在區(qū)域T內(nèi)成立不等式性質(zhì)4.Green函數(shù)具有對(duì)稱性，即性質(zhì)5.

利用Green函數(shù)的對(duì)稱性，Poisson方程第一邊值問題的解表示為3.例題例：求單位圓內(nèi)Laplace方程的Dirichlet問題解：二維Laplace方程的基本解為：引入極坐標(biāo)則基本解為求Green函數(shù)，還需解定解問題在極坐標(biāo)(ρ,θ

)下，對(duì)上述方程進(jìn)行變量分離，并考慮到解的有界性條件與周期條件得方程解為其中為待定系數(shù)。利用恒等式在單位圓周

上有：有通過比較系數(shù)可得從而得：Green函數(shù)故由第一邊值問題解的公式得：又§4.電像法

Poisson方程第一邊值問題的Green函數(shù)在靜電學(xué)中的物理意義：導(dǎo)體表面接地，在其內(nèi)部點(diǎn)M0處放置一電量為的點(diǎn)電荷，在導(dǎo)體內(nèi)部任一點(diǎn)產(chǎn)生的電位分布就是Green函數(shù)。點(diǎn)處放一表示由電磁學(xué)知，在接地導(dǎo)體內(nèi)放置電荷時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。而基本解電荷在空間中產(chǎn)生的場，++++_++G1是由感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場，G0滿足故電像法的基本思想：用另一設(shè)想的等效點(diǎn)電荷代替所有的感應(yīng)電荷。

要解決問題：1.等效點(diǎn)電荷的位置

2.等效點(diǎn)電荷的電量具體步驟：(1)對(duì)應(yīng)于Ω

內(nèi)的一點(diǎn)M0尋求關(guān)于區(qū)域邊界對(duì)稱的區(qū)域外的點(diǎn)M1(2)在點(diǎn)置電量為q的正電荷，使得在區(qū)域相抵消，邊界上，由該正電荷產(chǎn)生的電位與

即：從而確定電量為(3)Green函數(shù)為例1.求圓域(r<a)上的Green函數(shù)及Laplace方程的Dirichlet問題的解。解：1)Green函數(shù)二維平面上基本解為設(shè)M0為圓域(r<a)內(nèi)的一點(diǎn)，

連接OM0并延長至M1,

使得

PO在M1點(diǎn)置一電量為q的正點(diǎn)電荷，使得對(duì)圓周上任一點(diǎn)P有：又∽

故點(diǎn)稱M0為點(diǎn)M1關(guān)于圓周r=a

的反演點(diǎn)。由此可得因此則Green函數(shù)為在極坐標(biāo)下其中,β

是OM0與OM的夾角。

2)利用Green函數(shù)求解圓域上Laplace

方程的Dirichlet問題所以極坐標(biāo)下圓域的Green函數(shù)為：由于在邊界r=a上,，故將上式代入求解公式得圓域上Dirichlet問題的解為：例2.上半空間的Green函數(shù)及Laplace

方程的Dirichlet問題的解。zy解：（1）Green函數(shù)x設(shè)為上半空間內(nèi)的一點(diǎn)，關(guān)于

z=0的對(duì)稱點(diǎn)為三維空間的基本解為:P由有

則故Green函數(shù)為(2)求上半空間Dirichlet問題的解。由于在邊界z=0上,，故代入公式得上半空間中Dirichlet問題的解為：例3.球域的Green函數(shù)及Laplace方程的Dirichlet問題的解.解：1)設(shè)M0為球內(nèi)任一點(diǎn)，是M0關(guān)于球面Σ

的反演點(diǎn)，P為球面上一點(diǎn)。p

o

由∽，得從而球域上的Green函數(shù)為在球坐標(biāo)系中其中β

為與的夾角。2)計(jì)算所以球坐標(biāo)下Laplace方程Dirichlet問題的解為：球的Piosson公式例4.

半平面y>0內(nèi)Laplace方程的Dirichlet問題的解為：半平面的Green函數(shù)為§5.熱傳導(dǎo)方程與波動(dòng)方程的Green函數(shù)一、解的積分表達(dá)式一般強(qiáng)迫振動(dòng)的定解問題：定義：單位脈沖點(diǎn)力所引起的振動(dòng)稱為波動(dòng)問題(I)的Green函數(shù)。(I)波動(dòng)問題的Green函數(shù)滿足的定解問題含時(shí)間Green函數(shù)的性質(zhì)波動(dòng)問題的解的積分公式對(duì)于不同類型的邊界條件，可令G滿足相應(yīng)的齊次邊界條件，從而得到適用于不同邊界條件的以G表示的解的積分表示式。對(duì)于輸運(yùn)問題解的積分表示式例1.求解一維無界空間中的受迫振動(dòng)解：Green函數(shù)G滿足的定解問題二、用沖量定理法求Gr