2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本大題共18小題，每小題3分，共54分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）1.已知集合P={0，1，2}，Q={1，2，3}，則P∩Q=（）A.{0} B.{0，3} C.{1，2} D.{0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，結(jié)合集合交集的概念，可得答案.【詳解】P={0，1，2}，Q={1，2，3}P∩Q={1，2}；故選：C.2.函數(shù)的定義域是A. B. C.R D.【答案】D【解析】【分析】由，即可得出定義域.【詳解】即函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求具體函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像即可得出答案.【詳解】解：由，得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，且函數(shù)為減函數(shù)，故D選項(xiàng)符合題意.故選：D.4.已知α∈R，則cos（πα）=（）A.sinα B.sinα C.cosα D.cosα【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可以直接求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故選：D.5.已知圓M的方程為，則圓心M的坐標(biāo)是（）A.（，2） B.（1，2） C.（1，） D.（，）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心的坐標(biāo).【詳解】的圓心坐標(biāo)為；的圓心坐標(biāo)為；故選：A.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是（）A.棱柱 B.圓柱 C.圓臺(tái) D.球【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征可以直接求出結(jié)果.【詳解】由三視圖知，從正面和側(cè)面看都梯形，從上面看為圓形，下面看是圓形，并且可以想象到該幾何體是圓臺(tái)，則該幾何體可以是圓臺(tái)．故選：C.7.已知函數(shù)（），則此函數(shù)是（）A.偶函數(shù)且在（∞，+∞）上單調(diào)遞減 B.偶函數(shù)且在（∞，+∞）上單調(diào)遞增C.奇函數(shù)且在（∞，+∞）上單調(diào)遞減 D.奇函數(shù)且在（∞，+∞）上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和冪函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】解：令，則函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因?yàn)椋院瘮?shù)在（∞，+∞）上單調(diào)遞增，故選：D．8.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求解的方法計(jì)算求解.【詳解】，解得，所以解集為.故選：A9.設(shè)A，B是平面上距離為4的兩個(gè)定點(diǎn)，若該平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足||PA||PB||=3，則P點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：C.10.不等式組表示的平面區(qū)域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出直線與，再代入點(diǎn)判斷不等式是否成立，從而判斷出與的平面區(qū)域.【詳解】畫出直線，經(jīng)過一、二、三象限，對(duì)應(yīng)圖中的實(shí)線，代入可得成立，所以表示的區(qū)域?yàn)橹本€及直線右下方；畫出直線，經(jīng)過二、三、四象限，對(duì)應(yīng)圖中的虛線，代入可得不成立，所以表示的區(qū)域?yàn)橹本€及直線左下方，所以對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锽.故選：B11.已知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點(diǎn)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由直線與沒有公共點(diǎn)表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.【詳解】“直線與沒有公共點(diǎn)”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件.故選：B12.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】函數(shù)中的替換為,可得到函數(shù),根據(jù)“左加右減”平移法則可得到圖象的平移變換方法.【詳解】函數(shù)中的替換為,可得到函數(shù)，因此對(duì)應(yīng)的圖象向右平移移個(gè)單位長(zhǎng)度,可以將函數(shù)y=cosx的圖象變?yōu)楹瘮?shù)的圖象，故選：D13.已知函數(shù)在區(qū)間（∞，1]是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[1，+∞） B.（∞，1] C.[1，+∞） D.（∞，1]【答案】A【解析】【分析】由對(duì)稱軸與1比大小，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】對(duì)稱軸為，開口向上，要想在區(qū)間（∞，1]是減函數(shù)，所以.故選：A14.已知向量滿足，則（）A.2 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和模的運(yùn)算法則可得，由此根據(jù)已知條件可求得答案.【詳解】∵,又∵∴，∴，∴，故選：B15.如圖，正方體中，N是棱的中點(diǎn)，則直線CN與平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過連接、交于的輔助線，確定與平面所成的角，再設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，根據(jù)CN與CO長(zhǎng)度的關(guān)系，即可得出所求角的正弦值；【詳解】連接、交于,由正方形的性質(zhì)可得，又平面，平面，，又與在平面內(nèi)相交，所以平面是與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，故選：B.16.若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可得，參變分離后令，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范圍.【詳解】由，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以.故選：A17.已知單位向量不共線，且向量滿足若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ都成立，則向量夾角的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)可得，再平方化簡(jiǎn)整理得恒成立，然后由可求出的范圍，從而可求出的最大值【詳解】設(shè)向量夾角為，設(shè)向量與的夾角為，，由，得，所以，所以，所以所以，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)λ都成立，即恒成立，當(dāng)，即，得，上式恒成立，當(dāng)時(shí)，即，，，所以得，因?yàn)?，所以綜上，，所以向量夾角最大值是，故選：B18.通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（）A.6 B.12 C.18 D.108【答案】A【解析】【分析】設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為，從而可得，從而可求出，從而可知經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為，所以，即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，是以，所以，則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，所以.故選：A.二?填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）19.若數(shù)列通項(xiàng)公式為，記前n項(xiàng)和為，則___________；___________.【答案】①.4②.20【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求出即可，易得數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)公式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，則.故答案為：4；20.20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，則b=___________.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閍=2，A=45°，B=60°，，所以.故答案為：.21.設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.已知點(diǎn)，線段交橢圓于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則該橢圓的離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】由橢圓定義和題干中的可得到，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得到離心率.【詳解】根據(jù)橢圓定義知，又，，由三角形為直角三角形可得點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，把點(diǎn)P代入橢圓方程中得.故答案為：.22.如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐VABC兩條棱AB，VC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為___________.【答案】##0.2【解析】【分析】根據(jù)可得共面，作交于點(diǎn)，連接，則，再根據(jù)，可得，再利用相似比可得，，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可的解.【詳解】解：因，所以共面，作交于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則，又，所以，所以，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.三?解答題（本大題共3小題，共31分）23.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式得，利用周期公式計(jì)算可得.【小問1詳解】∵，∴【小問2詳解】∵，∴，∴的最小正周期24.如圖，已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2.（1）求p的值；（2）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△AOB的面積為S，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【答案】（1）2（2）或【解析】【分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)可得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離為，根據(jù)已知即可得到的值；（2）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理可三角形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求得關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)已知得到關(guān)于的方程，求解后即得直線的方程.【小問1詳解】拋物線C：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離為，由已知得拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，∴；【小問2詳解】由（1）可得拋物線的方程為，焦點(diǎn),顯然直線的斜率不可能為零，故可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程整理得，設(shè)，則，，由，得，解得,∴直線l的方程為或.25.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：①；②.【答案】（1）2；（2）證明過程見解析.【解析】【分析】（1）代入f（1）=2即可求出a的值；（2）①分情況討論，得到時(shí)滿足題意，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，不妨設(shè)，構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點(diǎn)偏移問題；②在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮即可證明..【小問1詳解】由，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方，解得：.小問2詳解】不妨令，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，為定值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，兩個(gè)分段函數(shù)在處函數(shù)值相同，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即分段函數(shù)在處函數(shù)值相等，要想存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則有三種類型，第一種：，顯然，令，則，當(dāng)時(shí)，，即