北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題09 整式的加減探究與表達(dá)規(guī)律（七大題型）（原卷版+解析）

專題09整式的加減探究與表達(dá)規(guī)律【七大題型】1.解題思維過程：從簡(jiǎn)單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論．有時(shí)候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件．一般有下列幾個(gè)類型：①一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系．②一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系．③圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系．④圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)．⑤數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論．2.常見的數(shù)列規(guī)律：①1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．②2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．③2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．④2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．⑤，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑥特殊數(shù)列：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和．【經(jīng)典題型一數(shù)字排列規(guī)律】【例1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為，，，，…，按此規(guī)律排列下去，這組數(shù)中的第8個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么第2023行從左邊數(shù)第2023個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一列數(shù)，按照一定規(guī)律排列成1，，9，，81，……．其中第6，第7，第8三個(gè)數(shù)的和是．3．（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，第2023個(gè)等式是：．4．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列等式并回答問題：；；；；……；(1)可猜想第個(gè)的等式為______________________.(2)若字母表示自然數(shù)，將第個(gè)的等式寫出來，并驗(yàn)證其正確性.5．（2023春·陜西咸陽·七年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們?cè)诮忸}時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到“數(shù)的平方”，那么你有簡(jiǎn)便方法嗎？這里，我們以“兩位數(shù)的平方”為例，請(qǐng)觀察下列各式的規(guī)律，解答問題：，，，…(1)請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律填空：____________；(2)我們知道，任何一個(gè)兩位數(shù)（個(gè)數(shù)上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為）都可以表示為，根據(jù)上述規(guī)律用含的代數(shù)式表示的結(jié)果，并用所學(xué)知識(shí)說明你的結(jié)論的正確性．【經(jīng)典題型二圖形排列規(guī)律】【例2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”的比賽．如圖所示：

按照上面的規(guī)律，擺個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是由相同的菱形按一定規(guī)律擺放而成，第1個(gè)圖形有3個(gè)菱形，第2個(gè)圖形有7個(gè)菱形，第3個(gè)圖形有13個(gè)菱形，按此規(guī)律排列下去，第9個(gè)圖形的菱形個(gè)數(shù)為（

）A．73 B．81 C．91 D．1092．（2023·江蘇淮安·校考一模）如圖，觀察各圖中小圓點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放下去，則第個(gè)圖形中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，下列是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，按照這樣的規(guī)律，第n個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形的數(shù)量是個(gè)．（用含有n的式子表示）?4．（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）背景閱讀：意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：，，，，，，，，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和．為了紀(jì)念這個(gè)著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為斐波那契數(shù)列．實(shí)踐操作：

(1)寫出斐波那契數(shù)列的前個(gè)數(shù)；(2)斐波那契數(shù)列的前個(gè)數(shù)中，有

個(gè)奇數(shù)？(3)現(xiàn)以這組數(shù)中的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)造如圖的正方形系列：再分別依次從左到右取個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)，正方形拼成如圖長(zhǎng)方形并記為①，②，③，④，⑤．（?。┩ㄟ^計(jì)算相應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)填寫表（不計(jì)拼出的長(zhǎng)方形內(nèi)部的線段）；序號(hào)①②③④⑤……周長(zhǎng)610

……（ⅱ）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長(zhǎng)方形，求序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．5．（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)校考二模）用若干個(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4○的個(gè)數(shù)3921______▲的個(gè)數(shù)1410______(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【經(jīng)典題型三圖形面積類規(guī)律】【例3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）連接邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)邊中點(diǎn)，可將一個(gè)正方形分成四個(gè)全等的小正方形，選右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又可將這個(gè)小正方形分成四個(gè)更小的小正方形，…重復(fù)這樣的操作，則2021次操作后右下角的小正方形面積是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來的：把一個(gè)正三角形分成全等的4個(gè)小正三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形；對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進(jìn)行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．2．（2022秋·云南昆明·七年級(jí)云南師大附中?？计谥校┤鐖D，每格圖形都由同樣大小的正方形按照一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形的面積是，第②個(gè)圖形的面積為，第③個(gè)圖形的面積為，那么第④個(gè)圖形的面積為（

）①②③④A． B． C． D．3．（2023秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成6個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．若按這個(gè)方式繼續(xù)分割下去，可求得的值為．C4（2022春·山東青島·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，把一副七巧板按如圖進(jìn)行1~7編號(hào)，如果編號(hào)5對(duì)應(yīng)的面積等于5cm2，則由這幅七巧板拼得的“房子”中陰影部分的面積等于cm2．5．（2021春·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到．二次操作：分別延長(zhǎng)，，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，最少經(jīng)過次操作．6．（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張正方形紙片剪成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積占大正方形面積的，將其中一個(gè)小長(zhǎng)方形進(jìn)行第二次裁剪，使得每個(gè)圖形的面積占大正方形面積的，以此類推…

(1)第四次裁剪后，得到的最小圖形的面積占大正方形面積的______，的值為______．(2)請(qǐng)你利用（1）中的結(jié)論，求下列各式的值：①______．②計(jì)算：．7．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┯擅娣e都是1的小正方格組成的方格平面叫做格點(diǎn)平面．而縱橫兩組平行線的交點(diǎn)為格點(diǎn)，如圖1中，有9個(gè)格點(diǎn)，如果一個(gè)正方形的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這個(gè)正方形稱為“格點(diǎn)正方形”．(1)【探索發(fā)現(xiàn)】按照?qǐng)D形完成下表：格點(diǎn)正方形邊上的格點(diǎn)數(shù)p格點(diǎn)正方形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)q格點(diǎn)正方形面積圖1412______圖244____________圖3______4____________圖44__________________從上述表格中你發(fā)現(xiàn)與p、q之間有什么關(guān)系？(2)【繼續(xù)猜想】類比格點(diǎn)正方形的概念，如果一個(gè)長(zhǎng)方形的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這個(gè)長(zhǎng)方形稱為格點(diǎn)長(zhǎng)方形，對(duì)于格點(diǎn)長(zhǎng)方形的面積，你認(rèn)為有類似（1）中的結(jié)論嗎？試以圖5中格點(diǎn)長(zhǎng)方形為例來驗(yàn)證．(3)【學(xué)以致用】在的方格（圖6）中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它的面積為5.5，且這個(gè)三角形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)最多．【經(jīng)典題型四動(dòng)點(diǎn)類規(guī)律】【例4】（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為8，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，（，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江臺(tái)州·?？级＃┤鐖D所示，動(dòng)點(diǎn)P從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)P從0跳動(dòng)6次到達(dá)的位置，點(diǎn)P從0跳動(dòng)21次到達(dá)的位置，…，點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動(dòng)（

）次可到達(dá)的位置．A．887 B．903 C．90 D．10242．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)，同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2021次相遇在邊（

）上．A． B． C． D．3．（2023秋·四川廣安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N也從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，1s后點(diǎn)M，N都運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，記為第1次相遇，繼續(xù)進(jìn)行下去，則第2023次相遇在點(diǎn)處．4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為（，是整數(shù)）．5．（2018秋·浙江紹興·七年級(jí)紹興市越城區(qū)孫端中學(xué)階段練習(xí)）點(diǎn)O在直線AB上，點(diǎn)A1，A2，A3，……在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個(gè)實(shí)線段和虛線段的長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實(shí)線段和以點(diǎn)O為圓心的半圓勻速運(yùn)動(dòng)，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處所需時(shí)間為秒．（結(jié)果保留π）6．（2022秋·貴州貴陽·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知在數(shù)軸上，有一動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，在數(shù)軸上以每秒鐘2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度來回移動(dòng)，其移動(dòng)方式是先向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度……(1)5秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置表示的數(shù)是______；(2)如果在數(shù)軸上還有一個(gè)定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，問：動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長(zhǎng)時(shí)間？若不能，請(qǐng)說明理由．7．（2022秋·河南洛陽·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿正方向移動(dòng)．(1)當(dāng)AQ＝2QB時(shí)，則Q點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；(2)數(shù)軸上有一點(diǎn)C，且點(diǎn)C滿足AC＝m?BC（其中m＞1），則點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為（用含m的代數(shù)式表示）；(3)點(diǎn)P1為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P2為線段BP1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3為線段BP2的中點(diǎn)，…依此類推，點(diǎn)Pn為線段BPn﹣1的中點(diǎn)，它們?cè)跀?shù)軸上表示的數(shù)分別為p1，p2，p3，…，pn（n為正整數(shù)）．①請(qǐng)問：當(dāng)n≥2時(shí)，2pn﹣pn﹣1是否恒為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．②記S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求當(dāng)n＝2022時(shí)S的值．【經(jīng)典題型五數(shù)列規(guī)律】【例5】（2022秋·廣東佛山·七年級(jí)石門中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果對(duì)大于1的整數(shù)w，存在兩個(gè)正整數(shù)x，y，使得，那么這個(gè)數(shù)w叫做智慧數(shù)（如，）．已知智慧數(shù)按從小到大排列，構(gòu)成如下數(shù)列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…那么第2020個(gè)智慧數(shù)是（）A．2692 B．2694 C．2696 D．2698【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級(jí)期中）由6個(gè)數(shù)組成數(shù)列a0，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在數(shù)列a0中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新的數(shù)列a1，例如數(shù)列a0：{1，1，3，2，5，2}，則a1：{2，2，1，2，1，2}，當(dāng)某個(gè)數(shù)列a0經(jīng)過變換得到新的數(shù)列a1，由a1繼續(xù)按相同規(guī)則變換得到a2，…最終得到數(shù)列an﹣1（n≥2）與數(shù)列an相同，則an不可能是下列的（）A．{2，4，4，4，2，4} B．{1，3，2，3，2，3}C．{6，6，6，6，6，6} D．{1，1，1，1，1，1}2．（2021秋·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)列：1，4，9，16，25，…，是平方數(shù)數(shù)列，第n個(gè)數(shù)用n2表示，數(shù)軸上現(xiàn)有一點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，依次以平方數(shù)數(shù)列中的數(shù)為距離向左跳躍后再回到其相反數(shù)位置記為一次跳躍，第一次向左跳躍1個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1表示的數(shù)為1．第2次向左跳躍4個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P2，則點(diǎn)P2表示的數(shù)為3，第3次向左跳躍9個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P3，則點(diǎn)P3表示的數(shù)為6，……按此規(guī)律跳躍，則點(diǎn)P100表示的數(shù)為．3．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺(tái)階數(shù)為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)…逐步增加時(shí)，樓梯的上法數(shù)依次為1，2，3，5，8，13，21，…（這就是著名的裴波那契數(shù)列），請(qǐng)你仔細(xì)觀察這列數(shù)的規(guī)律后回答：（1）上10級(jí)臺(tái)階共有種上法．（2）這列數(shù)的前2020個(gè)數(shù)中共有個(gè)偶數(shù)．4．（2022秋·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列數(shù)列：，，，，，，…(1)第11，12，13個(gè)數(shù)分別為，，．(2)第2022個(gè)數(shù)是什么？(3)如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪個(gè)數(shù)越來越接近？5．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）觀察按下列規(guī)律排列成的一列數(shù)：1，，，，，，，，，，，，，，，，…這列數(shù)也可分組排列：，，，，…(1)如果按分組排列，請(qǐng)問從左到右依次在第幾組？(2)如果是原數(shù)列中的第個(gè)數(shù)，請(qǐng)先求出的值，再求該數(shù)列中前個(gè)數(shù)的乘積；(3)在原數(shù)列中，未經(jīng)約分且分母為3的數(shù)記為，與它相鄰的后一個(gè)數(shù)記為，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)和，使得？如果存在，請(qǐng)寫出和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典題型六新定義規(guī)律】【例6】（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)的“”運(yùn)算：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)，并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則：若，則第次“運(yùn)算”的結(jié)果是()

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于有序數(shù)對(duì)，定義，則的值為（

）A． B．245 C． D．2．（2022秋·全國·七年級(jí)期末）有一列數(shù)，記為，我們記其前n項(xiàng)和為=，定義為這列數(shù)的“新海和”，現(xiàn)如果有2020個(gè)數(shù)，其“新海和”為2021，則2，這2021個(gè)數(shù)的“新海和”為（）．A．2022 B．2020 C．2021 D．20223．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，－1的差倒數(shù)是．已知．是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，以此類推，則．4．（2023秋·湖南岳陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若兩個(gè)有理數(shù)的和等于這兩個(gè)有理數(shù)的積，則稱這兩個(gè)數(shù)是一對(duì)“友好數(shù)”．如：有理數(shù)與5，因?yàn)?，所以與5是一對(duì)“友好數(shù)”．（1）有理數(shù)a和b是一對(duì)“友好數(shù)”，當(dāng)時(shí)，則；（2）對(duì)于有理數(shù)x（且），設(shè)x的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；……依次按如上的操作，得到一組數(shù)，．當(dāng)時(shí)，的值為；5．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取n＝26，則若，則第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果是6．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)是一門充滿思維樂趣的學(xué)科．現(xiàn)有的數(shù)陣，數(shù)陣每個(gè)位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)都是1，2或3．定義為數(shù)陣中第行第列的數(shù)．例如，數(shù)陣第3行第2列所對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，所以．第1列第2列第3列第1行111第2行222第3行333(1)對(duì)于數(shù)陣A，的值為；若，則x的值可能為；(2)若一個(gè)的數(shù)陣對(duì)任意的a，b，c均滿足以下條件：條件一：；條件二：；則稱此數(shù)陣是“有趣數(shù)陣”．①請(qǐng)判斷數(shù)陣A是否是“有趣數(shù)陣”．你的結(jié)論：（填“是”或“不是”）；②已知一個(gè)“有趣數(shù)陣”滿足，試計(jì)算的值．7．（2022秋·湖南株洲·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為a1，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為an．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列2，4，8，16，…為等比數(shù)列，其中a1＝2，公比為q＝2．若要求這個(gè)等比數(shù)列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：解：設(shè)S＝2+22+23+…22020①，①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，…的公比q為______，第4項(xiàng)是______．(2)如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為a1）和公比（設(shè)為q），則根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：a1，a1?q，a1?q2，a1?q3，…．由此可得第n項(xiàng)an＝_____（用a1和q的代數(shù)式表示）．(3)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．(4)請(qǐng)你用上述方法求的值．【經(jīng)典題型七規(guī)律性問題綜合】【例7】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計(jì)算：（）A．199 B．200 C．201 D．202【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）如圖，將一枚跳棋放在七邊形的頂點(diǎn)處，按順時(shí)針方向移動(dòng)這枚跳棋2023次．移動(dòng)規(guī)則是：第次移動(dòng)個(gè)頂點(diǎn)（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在處）．按這樣的規(guī)則，在這2023次移動(dòng)中，跳棋不可能停留的頂點(diǎn)是（

）

A．、 B．、 C．、、 D．、、3．（2022秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有一列整數(shù)，第一個(gè)數(shù)為1，第二個(gè)數(shù)為（是正整數(shù)）．以后每一個(gè)數(shù)都由它前一個(gè)數(shù)與再前一個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值得到．如第三個(gè)數(shù)是由與1差的絕對(duì)值得到，即為，第四個(gè)數(shù)是由與差的絕對(duì)值得到，即為，…依此類推．①若，則這列數(shù)的前5個(gè)數(shù)的和為；②要使這列數(shù)的前40個(gè)數(shù)中恰好有10個(gè)0，則．4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）觀察下列按一定規(guī)律排成的一組數(shù)：，從左起第個(gè)數(shù)記，則，．5．（2023春·山東青島·七年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校钶x三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一．如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示這個(gè)數(shù)列的第n個(gè)數(shù)，則．6．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？计谥校┱J(rèn)真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，相應(yīng)的，我們可以計(jì)算出多項(xiàng)式的展開式，如：．．．……；下面我們依次對(duì)展開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：…………………1

1………………1

2

1……………1

3

3

1…………1

4

6

4

1………1

5

10

10

5

1……1

6

15

20

15

6

1……上面的多項(xiàng)式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：(1)多項(xiàng)式的第三項(xiàng)的系數(shù)______；(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和______；(3)拓展：①寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______；②展開式按的升冪排列為：，若，求的值．7．（2023秋·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念學(xué)習(xí)】定義：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的下3次方”，記作，讀作“的下4次方”．一般地，把記作，讀作“的下次方”．(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：______，______．(2)【深入探究】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？仿照上面的算式，將下列運(yùn)算寫成冪的形式（包括寫出過程）：①______，②______．(3)將一個(gè)非零有理數(shù)的下次方寫成冪的形式是：______．（只寫最后結(jié)果）．(4)【結(jié)論應(yīng)用】計(jì)算：

專題09整式的加減探究與表達(dá)規(guī)律【七大題型】1.解題思維過程：從簡(jiǎn)單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論．有時(shí)候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件．一般有下列幾個(gè)類型：①一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系．②一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系．③圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系．④圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)．⑤數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論．2.常見的數(shù)列規(guī)律：①1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．②2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．③2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．④2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．⑤，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑥特殊數(shù)列：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和．【經(jīng)典題型一數(shù)字排列規(guī)律】【例1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為，，，，…，按此規(guī)律排列下去，這組數(shù)中的第8個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵一列數(shù)依次為，，，，…，，∴第n個(gè)數(shù)為：；∴當(dāng)時(shí)，．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么第2023行從左邊數(shù)第2023個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖可得，第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有3個(gè)數(shù)，第三行有5個(gè)數(shù)，第四行有7個(gè)數(shù)，，則第n行有個(gè)數(shù)，每一行的最后一個(gè)數(shù)字的絕對(duì)值是：，∴第2023行從左邊數(shù)第2023個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是，圖中的奇數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)都是正數(shù)，第2023行從左邊數(shù)第2023個(gè)數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出相應(yīng)的數(shù)2．（2023秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一列數(shù)，按照一定規(guī)律排列成1，，9，，81，……．其中第6，第7，第8三個(gè)數(shù)的和是．【答案】【詳解】解：，，，，，……．這列數(shù)的排列規(guī)律是：第（為非負(fù)整數(shù)）個(gè)數(shù)為，第6個(gè)數(shù)為：，第7個(gè)數(shù)為：，第8個(gè)數(shù)為：，第6，第7，第8三個(gè)數(shù)的和是：，故答案為：．3．（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，第2023個(gè)等式是：．【答案】【詳解】解：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……第個(gè)等式：，當(dāng)時(shí)，式子為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究，根據(jù)已知的等式，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列等式并回答問題：；；；；……；(1)可猜想第個(gè)的等式為______________________.(2)若字母表示自然數(shù)，將第個(gè)的等式寫出來，并驗(yàn)證其正確性.【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）觀察第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子可知第個(gè)式子為進(jìn)而即可解答；（2）觀察第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子可知第個(gè)式子為，再根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則即可解答．【詳解】（1）解：∵第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，……，∴第個(gè)式子為,∴第個(gè)式子為，故答案為；（2）解：∵第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，第個(gè)式子，……，∴第個(gè)式子為,理由如下：∵，，∴，∴左邊右邊，

∴等式成立，∴第個(gè)式子為．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的規(guī)律題，整式的混合運(yùn)算法則，根據(jù)已知式子找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·陜西咸陽·七年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們?cè)诮忸}時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到“數(shù)的平方”，那么你有簡(jiǎn)便方法嗎？這里，我們以“兩位數(shù)的平方”為例，請(qǐng)觀察下列各式的規(guī)律，解答問題：，，，…(1)請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律填空：____________；(2)我們知道，任何一個(gè)兩位數(shù)（個(gè)數(shù)上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為）都可以表示為，根據(jù)上述規(guī)律用含的代數(shù)式表示的結(jié)果，并用所學(xué)知識(shí)說明你的結(jié)論的正確性．【答案】(1)，2401(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由已知算式得出規(guī)律解答；（2）根據(jù)題意，由已知算式得出規(guī)律，再列式解答．【詳解】（1）解：，2401．（2）．因?yàn)?，，所以．【?jīng)典題型二圖形排列規(guī)律】【例2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”的比賽．如圖所示：

按照上面的規(guī)律，擺個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察給出的3個(gè)例圖，注意火柴棒的變化是圖②的火柴棒比圖①多6根，圖③的火柴棒比圖②多6根，據(jù)此找出規(guī)律即可解答．【詳解】由圖形可知，第一個(gè)金魚需用火柴棒的根數(shù)為：；第二個(gè)金魚需用火柴棒的根數(shù)為：；第三個(gè)金魚需用火柴棒的根數(shù)為：；…；第n個(gè)金魚需用火柴棒的根數(shù)為：，故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是由相同的菱形按一定規(guī)律擺放而成，第1個(gè)圖形有3個(gè)菱形，第2個(gè)圖形有7個(gè)菱形，第3個(gè)圖形有13個(gè)菱形，按此規(guī)律排列下去，第9個(gè)圖形的菱形個(gè)數(shù)為（

）A．73 B．81 C．91 D．109【答案】C【詳解】解：由圖可知：第一個(gè)圖形：上面由3個(gè)菱形，下面有0個(gè)菱形，第二個(gè)圖形：上面有6個(gè)菱形，下面有1個(gè)菱形，第三個(gè)圖形：上面有10個(gè)菱形，下面有3個(gè)菱形，第四個(gè)圖形：上面有15個(gè)菱形，下面有6個(gè)菱形，……第n個(gè)圖形：上面有個(gè)菱形，下面有個(gè)菱形，∴第9個(gè)圖形的菱形個(gè)數(shù)為：．故選：C．2．（2023·江蘇淮安·?？家荒＃┤鐖D，觀察各圖中小圓點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放下去，則第個(gè)圖形中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．【答案】144【分析】根據(jù)題目中各個(gè)圖形的小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而可以得到第個(gè)圖形中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由題意可得，第一個(gè)圖形的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：，第二個(gè)圖形的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：，第三個(gè)圖形的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：，第十個(gè)圖形的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：，故答案為：．3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，下列是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，按照這樣的規(guī)律，第n個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形的數(shù)量是個(gè)．（用含有n的式子表示）?【答案】【詳解】解：由圖形可知：第1個(gè)圖案有涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)為：5，第2個(gè)圖案有涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)為：，第3個(gè)圖案有涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)為：，…，∴第n個(gè)圖案有涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與數(shù)字的變化規(guī)律，列代數(shù)式，通過分析找到圖案?jìng)€(gè)數(shù)與涂有陰影的小正方4．（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）背景閱讀：意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：，，，，，，，，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和．為了紀(jì)念這個(gè)著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為斐波那契數(shù)列．實(shí)踐操作：

(1)寫出斐波那契數(shù)列的前個(gè)數(shù)；(2)斐波那契數(shù)列的前個(gè)數(shù)中，有

個(gè)奇數(shù)？(3)現(xiàn)以這組數(shù)中的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)造如圖的正方形系列：再分別依次從左到右取個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)，正方形拼成如圖長(zhǎng)方形并記為①，②，③，④，⑤．（?。┩ㄟ^計(jì)算相應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)填寫表（不計(jì)拼出的長(zhǎng)方形內(nèi)部的線段）；（ⅱ）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長(zhǎng)方形，求序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．序號(hào)①②③④⑤……周長(zhǎng)610

……【答案】(1)，，，，，，，，，(2)(3)（?。?；；；（ⅱ）長(zhǎng)為，寬為②根據(jù)（1）中結(jié)果及規(guī)律即可得到序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬．【詳解】（1）寫出斐波那契數(shù)列的前10個(gè)數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55（2）奇偶特點(diǎn)：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……，3個(gè)一周期.奇數(shù)：（個(gè)），故答案為：；（3）（i）通過計(jì)算相對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)填寫表（不計(jì)拼出的長(zhǎng)方形內(nèi)部的線段）序號(hào)為①的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；序號(hào)為②的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；序號(hào)為③的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；序號(hào)為④的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；序號(hào)為⑤的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；序號(hào)①②③④⑤……周長(zhǎng)610

16

26

42

……（ii）由（1）得，第11個(gè)數(shù)為，第10個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：；寬為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型—數(shù)字的變換類，根據(jù)已知找出正確的規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)?？级＃┯萌舾蓚€(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4○的個(gè)數(shù)3921______▲的個(gè)數(shù)1410______(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)45，22(2)圖n中，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖形總結(jié)規(guī)律，直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．【詳解】（1）解：圖1，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖2，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖3，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，圖4，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，故答案為：45，22；（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．【經(jīng)典題型三圖形面積類規(guī)律】【例3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）連接邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)邊中點(diǎn)，可將一個(gè)正方形分成四個(gè)全等的小正方形，選右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又可將這個(gè)小正方形分成四個(gè)更小的小正方形，…重復(fù)這樣的操作，則2021次操作后右下角的小正方形面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算出正方形的面積為1，根據(jù)題意易得第1次操作后右下角的小正方形面積=，第2次操作后右下角的小正方形面積=×=（）2，第3次操作后右下角的小正方形面積=（）3，于是可得到n次操作后右下角的小正方形面積為的n次方，然后把n=2021代入即可得到答案【詳解】解：正方形的面積=1×1=1，∵第1次操作后右下角的小正方形面積=，第2次操作后右下角的小正方形面積=×=（）2，第3次操作后右下角的小正方形面積=（）3，…∴第2021次操作后右下角的小正方形面積=（）2021．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類：通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來的：把一個(gè)正三角形分成全等的4個(gè)小正三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形；對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進(jìn)行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：圖2陰影部分面積＝，圖3陰影部分面積＝圖4陰影部分面積＝圖5陰影部分面積＝故選：B．2．（2022秋·云南昆明·七年級(jí)云南師大附中?？计谥校┤鐖D，每格圖形都由同樣大小的正方形按照一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形的面積是，第②個(gè)圖形的面積為，第③個(gè)圖形的面積為，那么第④個(gè)圖形的面積為（

）①②③④A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：第①個(gè)圖形有2個(gè)小長(zhǎng)方形，面積為1×2×3=6cm2，第②個(gè)圖形有2×3=6個(gè)小正方形，面積為2×3×3=18cm2，第③個(gè)圖形有3×4=12個(gè)小正方形，面積為3×4×3=36cm2，第④個(gè)圖形有4×5=20個(gè)小正方形，面積為4×5×3=60cm2．故選：A．3．（2023秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成6個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．若按這個(gè)方式繼續(xù)分割下去，可求得的值為．C【答案】【分析】根據(jù)題意，陰影部分的面積剛好站正方形總面積的，可以看成是①②③④⑤部分的面積總和，總面積減去陰影部分面積，根據(jù)此規(guī)律可以得出答案；【詳解】解：根據(jù)題意可得，陰影部分面積占總的面積，可以看成是①②③④⑤部分的面積總和，總面積減去陰影部分面積，∴，∴故答案為：4（2022春·山東青島·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，把一副七巧板按如圖進(jìn)行1~7編號(hào)，如果編號(hào)5對(duì)應(yīng)的面積等于5cm2，則由這幅七巧板拼得的“房子”中陰影部分的面積等于cm2．【答案】50【分析】根據(jù)等腰直角三角形的面積求出邊長(zhǎng)，再求出7號(hào)的面積和斜邊長(zhǎng)，求出整個(gè)正方形的面積，然后減去空白圖形的面積，剩余就是陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)編號(hào)5的邊長(zhǎng)是x，則4號(hào)的邊長(zhǎng)是x．∵5對(duì)應(yīng)的面積等于5cm∴∴∴7號(hào)的面積，斜邊長(zhǎng)∴七巧板拼成的最大正方形的面積是：∴陰影面積是：80-5-5-20=50cm2故答案為：50．【點(diǎn)睛】此題考查求陰影部分的面積，解題的關(guān)鍵把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的面積，利用已知面積5．（2021春·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到．二次操作：分別延長(zhǎng)，，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，最少經(jīng)過次操作．【答案】4【分析】先根據(jù)已知條件求出及的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】解：連接，∵∴與的面積相等，∵面積為1，∴∵∴同理可得，同理可證的面積=7×的面積=49，第三次操作后的面積為7×49=343，第四次操作后的面積為7×343=2401．故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020，最少經(jīng)過4次操作．故答案為：4．【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可．6．（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張正方形紙片剪成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積占大正方形面積的，將其中一個(gè)小長(zhǎng)方形進(jìn)行第二次裁剪，使得每個(gè)圖形的面積占大正方形面積的，以此類推…

(1)第四次裁剪后，得到的最小圖形的面積占大正方形面積的______，的值為______．(2)請(qǐng)你利用（1）中的結(jié)論，求下列各式的值：①______．②計(jì)算：．【答案】(1)（或填）；（或填）(2)①，②【分析】（1）根據(jù)圖形即可得出第四次裁剪后，得到的最小圖形的面積占大正方形面積的比例；根據(jù)圖形可得表示的幾何意義為大正方形減去第四次剪裁的圖形面積；（2）①根據(jù)題意可得，的幾何意義為大正方形減去第2022次剪裁的圖形面積；②將原式轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由圖可知：第四次裁剪后，得到的最小圖形的面積占大正方形面積的（或填）；根據(jù)圖形可得表示的幾何意義為大正方形減去第四次剪裁的圖形面積，故；故答案為：①（或填）；（或填）；（2）解：①根據(jù)題意可得，的幾何意義為大正方形減去第2022次剪裁的圖形面積，∴．故答案為：；②原式．7．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┯擅娣e都是1的小正方格組成的方格平面叫做格點(diǎn)平面．而縱橫兩組平行線的交點(diǎn)為格點(diǎn)，如圖1中，有9個(gè)格點(diǎn)，如果一個(gè)正方形的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這個(gè)正方形稱為“格點(diǎn)正方形”．(1)【探索發(fā)現(xiàn)】按照?qǐng)D形完成下表：格點(diǎn)正方形邊上的格點(diǎn)數(shù)p格點(diǎn)正方形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)q格點(diǎn)正方形面積圖1412______圖244____________圖3______4____________圖44__________________從上述表格中你發(fā)現(xiàn)與p、q之間有什么關(guān)系？(2)【繼續(xù)猜想】類比格點(diǎn)正方形的概念，如果一個(gè)長(zhǎng)方形的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這個(gè)長(zhǎng)方形稱為格點(diǎn)長(zhǎng)方形，對(duì)于格點(diǎn)長(zhǎng)方形的面積，你認(rèn)為有類似（1）中的結(jié)論嗎？試以圖5中格點(diǎn)長(zhǎng)方形為例來驗(yàn)證．(3)【學(xué)以致用】在的方格（圖6）中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它的面積為5.5，且這個(gè)三角形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)最多．【答案】(1)(2)有類似結(jié)論，證明見解析(3)見解析【分析】（1）通過圖1至圖4可知，每個(gè)圖形中格點(diǎn)正方形面積等于；（2）計(jì)算出圖5中的p，q，，，可知有類似結(jié)論；（3）按要求作圖即可，注意不能使三角形的邊在格線上．【詳解】（1）解：格點(diǎn)正方形邊上的格點(diǎn)數(shù)p格點(diǎn)正方形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)q格點(diǎn)正方形面積圖14122圖24455圖312499圖4491010觀察可知，；（2）解：有類似結(jié)論．觀察圖5可知，，，，，因此；（3）解：如圖，．【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律型問題，讀懂題意，從已知圖形中找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型四動(dòng)點(diǎn)類規(guī)律】【例4】（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為8，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，（，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，第二次從處跳動(dòng)到處，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，可得跳動(dòng)n次離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，代入計(jì)算即可；【詳解】解：由題意得，∵第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處時(shí)，∴，同理第二次從處跳動(dòng)到處時(shí)離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，第二次從處跳動(dòng)到處時(shí)離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，…∴跳動(dòng)n次離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，∴2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與點(diǎn)的距離是；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江臺(tái)州·?？级＃┤鐖D所示，動(dòng)點(diǎn)P從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)P從0跳動(dòng)6次到達(dá)的位置，點(diǎn)P從0跳動(dòng)21次到達(dá)的位置，…，點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動(dòng)（

）次可到達(dá)的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【答案】B【分析】由題意得：從點(diǎn)P從0跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)，跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)，可以得出，跳動(dòng)次數(shù)為從1開始連續(xù)正整數(shù)的和，且最后一個(gè)加數(shù)為，進(jìn)而得到答案即可；【詳解】解：由題意得：從點(diǎn)P從0跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)，跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)，由此可得：跳動(dòng)次數(shù)為從1開始連續(xù)的正整數(shù)的和，最后一個(gè)加數(shù)為，∵，∴點(diǎn)從跳到跳動(dòng)了：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律探究．根據(jù)圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)，同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2021次相遇在邊（

）上．A． B． C． D．【答案】D【分析】此題利用行程問題中的相遇問題，根據(jù)乙的速度是甲的速度的4倍，求得每一次相遇的地點(diǎn)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周長(zhǎng)的；從第2次相遇起，每次甲走了正方形周長(zhǎng)的，從第2次相遇起，5次一個(gè)循環(huán)．因此可得：從開始出發(fā)起，每次相遇的位置依次是：，，點(diǎn)，，；依次循環(huán)．故它們第2021次相遇位置在邊上．故選：D．3．（2023秋·四川廣安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N也從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，1s后點(diǎn)M，N都運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，記為第1次相遇，繼續(xù)進(jìn)行下去，則第2023次相遇在點(diǎn)處．【答案】B【分析】M和N相遇一次所用的時(shí)間為1秒，即按M路線每一次相遇正好前進(jìn)一個(gè)邊長(zhǎng)，到達(dá)下一個(gè)頂點(diǎn)，再由，可求出結(jié)果．【詳解】解：M和N相遇一次的時(shí)間為1秒，即每一次相遇M正好前進(jìn)一個(gè)邊長(zhǎng)，到達(dá)下一個(gè)頂點(diǎn)，∵，∴第2023次相遇在B處．故答案為：B．4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為（，是整數(shù)）．【答案】【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為×4，第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）2×4，則跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4=，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得線段AnA的長(zhǎng)度．【詳解】由于OA=4，所有第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí)，OA1=OA=×4=2，同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（）2×4處，同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4=，故線段AnA的長(zhǎng)度為4-（n≥3，n是整數(shù)）．故答案為4-．【點(diǎn)睛】考查了兩點(diǎn)間的距離，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．本題注意根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律．5．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)紹興市越城區(qū)孫端中學(xué)階段練習(xí)）點(diǎn)O在直線AB上，點(diǎn)A1，A2，A3，……在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個(gè)實(shí)線段和虛線段的長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實(shí)線段和以點(diǎn)O為圓心的半圓勻速運(yùn)動(dòng)，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處所需時(shí)間為秒．（結(jié)果保留π）【答案】10+55π

．【分析】觀察動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)到A4點(diǎn)，得到點(diǎn)M在直線AB上運(yùn)動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度，在以O(shè)為圓心的半圓運(yùn)動(dòng)了（π?1+π?2+π?3+π?4）單位長(zhǎng)度，然后可得到動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)的單位長(zhǎng)度=4×2.5+（π?1+π?2+…+π?10），然后除以速度即可得到動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處所需時(shí)間．【詳解】動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)到A4點(diǎn)，在直線AB上運(yùn)動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度，在以O(shè)為圓心的半圓運(yùn)動(dòng)了（π?1+π?2+π?3+π?4）單位長(zhǎng)度，∵10=4×2.5，∴動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)的單位長(zhǎng)度=4×2.5+（π?1+π?2+…+π?10）=10+55π；∴動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間=（10+55π）÷1=（10+55π）秒，故答案為10+55π.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是通過特殊圖象找到圖象變化，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．也考查了圓的周長(zhǎng)公式．6．（2022秋·貴州貴陽·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知在數(shù)軸上，有一動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，在數(shù)軸上以每秒鐘2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度來回移動(dòng)，其移動(dòng)方式是先向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度……(1)5秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置表示的數(shù)是______；(2)如果在數(shù)軸上還有一個(gè)定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，問：動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長(zhǎng)時(shí)間？若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)能，分鐘或分鐘【分析】（1）先找出點(diǎn)Q每次移動(dòng)的距離的規(guī)律、每次移動(dòng)后所處位置對(duì)應(yīng)的數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算出移動(dòng)的次數(shù)和移動(dòng)5秒后點(diǎn)Q的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，點(diǎn)Q每次移動(dòng)的距離（單位長(zhǎng)度）的規(guī)律是：1，2，3，4，5，…，點(diǎn)Q每次移動(dòng)后所處位置對(duì)應(yīng)的數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律是：，…，設(shè)點(diǎn)Q第n次移動(dòng)后所處位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則x為正數(shù)，且，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則x為負(fù)數(shù)，且，∵（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度），∴第5次移動(dòng)完對(duì)用的數(shù)是，∴，∴5秒后點(diǎn)Q的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)是．故答案為：．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時(shí)，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則，解得∴動(dòng)點(diǎn)Q走過的路程是，∴第一次與點(diǎn)A重合需時(shí)間秒分鐘，②當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊時(shí)，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則，解得，∴動(dòng)點(diǎn)Q走過的路程是，∴第一次與點(diǎn)A重合需時(shí)間秒分鐘；綜上所述，第一次與點(diǎn)A重合需時(shí)間為分鐘或分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，注意要分情況討論求解，弄7．（2022秋·河南洛陽·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿正方向移動(dòng)．(1)當(dāng)AQ＝2QB時(shí)，則Q點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；(2)數(shù)軸上有一點(diǎn)C，且點(diǎn)C滿足AC＝m?BC（其中m＞1），則點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為（用含m的代數(shù)式表示）；(3)點(diǎn)P1為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P2為線段BP1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3為線段BP2的中點(diǎn)，…依此類推，點(diǎn)Pn為線段BPn﹣1的中點(diǎn)，它們?cè)跀?shù)軸上表示的數(shù)分別為p1，p2，p3，…，pn（n為正整數(shù)）．①請(qǐng)問：當(dāng)n≥2時(shí)，2pn﹣pn﹣1是否恒為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．②記S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求當(dāng)n＝2022時(shí)S的值．【答案】(1)2或；(2)或；(3)①2pn﹣pn﹣1為定值為1；②2022【分析】（1）分情況討論：根據(jù)圖形中AQ與BQ的關(guān)系列等式可得結(jié)論；（2）同理根據(jù)（1）分情況討論，由圖形AC+BC=1或AC-BC=1，可得結(jié)論；（3）①根據(jù)中點(diǎn)的定義依次得：P1表示的數(shù)為，P2表示的數(shù)為，P3表示的數(shù)為，…，Pn-1表示的數(shù)為，Pn表示的數(shù)為，代入計(jì)算2pn-pn-1的值可得結(jié)論；②由①得：當(dāng)n=2022時(shí)，2P2022-P2022=1，2P2022=P2022+1，同理得：2P2022=P2017+1，2P2017=P2016+1，2P2016=P2015+1，…，2P2=P1+1，代入計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）分兩種情況：①當(dāng)Q在A、B之間時(shí)，如圖1，∵AQ＝2QB，AQ+BQ＝1，∴AQ，即Q點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；②當(dāng)Q在點(diǎn)B的右邊時(shí)，如圖2，∵AQ﹣BQ＝1，AQ＝2BQ，∴AQAQ＝1，∴AQ＝2，即Q點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2，綜上，Q點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2或；故答案為：2或；（2）∵AC＝m?BC，∴BC，分兩種情況：①當(dāng)C在A、B之間時(shí)，如圖3，∵AC+BC＝1，∴AC1，AC，即C點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；②當(dāng)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)，如圖4，∵AC﹣BC＝1，∴AC1，∴AC，即C點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為，綜上，C點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為或；故答案為：或；（3）①由題意得：P1表示的數(shù)為，P2表示的數(shù)為，P3表示的數(shù)為，…，Pn﹣1表示的數(shù)為，Pn表示的數(shù)為，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2pn﹣pn﹣1＝21，則當(dāng)n≥2時(shí)，2pn﹣pn﹣1為定值為1；②由①得：當(dāng)n＝2022時(shí)，2P2022﹣P2022＝1，2P2022＝P2022+1，同理得：2P2022＝P2017+1，2P2017＝P2016+1，2P2016＝P2015+1，…，2P2＝P1+1，∴S＝p1+p2+p3+…+p2022+2p2022，＝p1+p2+p3+…+p2022+P2022+1，＝p1+p2+p3+…+2p2022+1，＝p1+p2+p3+…+2p2017+2，＝p1+2p2+2017，＝2P1+2022，＝2022【經(jīng)典題型五數(shù)列規(guī)律】【例5】（2022秋·廣東佛山·七年級(jí)石門中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果對(duì)大于1的整數(shù)w，存在兩個(gè)正整數(shù)x，y，使得，那么這個(gè)數(shù)w叫做智慧數(shù)（如，）．已知智慧數(shù)按從小到大排列，構(gòu)成如下數(shù)列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…那么第2020個(gè)智慧數(shù)是（）A．2692 B．2694 C．2696 D．2698【答案】C【分析】將所給的數(shù)每3個(gè)為一組進(jìn)行分組，通過分組發(fā)現(xiàn)：從第二組開始，每組的第一個(gè)數(shù)是（且為正整數(shù)），第二個(gè)數(shù)是，第三個(gè)數(shù)是，由此可知第2020個(gè)智慧數(shù)是第674組第1個(gè)數(shù)，再求解即可．【詳解】解：∵3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，∴，，，，，，…，∴從第二組開始，每組的第一個(gè)數(shù)是（且為正整數(shù)），第二個(gè)數(shù)是，第三個(gè)數(shù)是，∵，∴第2020個(gè)智慧數(shù)是第674組第1個(gè)數(shù)，∴4×674＝2696，故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級(jí)期中）由6個(gè)數(shù)組成數(shù)列a0，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在數(shù)列a0中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新的數(shù)列a1，例如數(shù)列a0：{1，1，3，2，5，2}，則a1：{2，2，1，2，1，2}，當(dāng)某個(gè)數(shù)列a0經(jīng)過變換得到新的數(shù)列a1，由a1繼續(xù)按相同規(guī)則變換得到a2，…最終得到數(shù)列an﹣1（n≥2）與數(shù)列an相同，則an不可能是下列的（）A．{2，4，4，4，2，4} B．{1，3，2，3，2，3}C．{6，6，6，6，6，6} D．{1，1，1，1，1，1}【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)列的規(guī)律判斷即可；【詳解】A．a(chǎn)0＝{2，4，4，4，2，4}，a1＝{2，4，4，4，2，4}，……，an＝{2，4，4，4，2，4}，符合；B．a(chǎn)0＝{1，3，2，3，2，3}，a1＝{1，3，2，3，2，3}，……，an＝{1，3，2，3，2，3}，符合題意；C．a(chǎn)0＝{6，6，6，6，6，6}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，符合題意；D．a(chǎn)0＝{1，1，1，1，1，1}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，不符合題意；故選：D．2．（2021秋·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)列：1，4，9，16，25，…，是平方數(shù)數(shù)列，第n個(gè)數(shù)用n2表示，數(shù)軸上現(xiàn)有一點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，依次以平方數(shù)數(shù)列中的數(shù)為距離向左跳躍后再回到其相反數(shù)位置記為一次跳躍，第一次向左跳躍1個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1表示的數(shù)為1．第2次向左跳躍4個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P2，則點(diǎn)P2表示的數(shù)為3，第3次向左跳躍9個(gè)單位后再回到其相反數(shù)位置記為點(diǎn)P3，則點(diǎn)P3表示的數(shù)為6，……按此規(guī)律跳躍，則點(diǎn)P100表示的數(shù)為．【答案】5050【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)表示的數(shù)為1，點(diǎn)表示的數(shù)為1，點(diǎn)表示的數(shù)為3=2+1，點(diǎn)表示的數(shù)為6=3+2+1，點(diǎn)表示的數(shù)為10=4+3+2+1，由此得到規(guī)律，點(diǎn)表示的數(shù)為，所以點(diǎn)P100表示的數(shù)為．故答案為：50503．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺(tái)階數(shù)為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)…逐步增加時(shí)，樓梯的上法數(shù)依次為1，2，3，5，8，13，21，…（這就是著名的裴波那契數(shù)列），請(qǐng)你仔細(xì)觀察這列數(shù)的規(guī)律后回答：（1）上10級(jí)臺(tái)階共有種上法．（2）這列數(shù)的前2020個(gè)數(shù)中共有個(gè)偶數(shù)．【答案】89673【分析】（1）認(rèn)真觀察不難發(fā)現(xiàn)，這列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的和都等于相鄰的后一個(gè)數(shù)，也就是第10個(gè)數(shù)應(yīng)該是第8個(gè)、9個(gè)的和；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù)，且偶數(shù)在3個(gè)數(shù)中間，依此規(guī)律可求出問題答案．【詳解】解：（1）∵1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，∴上10級(jí)臺(tái)階共有89種上法；（2）∵2020÷3=673…1，∴偶數(shù)個(gè)數(shù)為673個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字型規(guī)律，根據(jù)已知條件找尋數(shù)列中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列數(shù)列：，，，，，，…(1)第11，12，13個(gè)數(shù)分別為，，．(2)第2022個(gè)數(shù)是什么？(3)如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪個(gè)數(shù)越來越接近？【答案】(1)，，(2)第2022個(gè)數(shù)為；(3)這一列數(shù)無限排列下去，與0越來越接近．【分析】（1）看成，數(shù)列，，，，，，…觀察分子分母，可得其值；（2）2022是偶數(shù)，由（1）規(guī)律可得第2022個(gè)數(shù)的值；（3）由（1）易得第n項(xiàng)為，當(dāng)n無限大時(shí)，即可得接近的數(shù)為0．【詳解】（1）解：，觀察數(shù)列，，，，，，…，可得，第11個(gè)數(shù)為，第12個(gè)數(shù)為，第13個(gè)數(shù)為．故答案為：，，；（2）解：2022是偶數(shù)，由（1）規(guī)律可得，第2022個(gè)數(shù)為；（3）解：觀察數(shù)列，可得，第n項(xiàng)的數(shù)為，當(dāng)n無限大時(shí)，接近于0．∴這一列數(shù)無限排列下去，與0越來越接近．5．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）觀察按下列規(guī)律排列成的一列數(shù)：1，，，，，，，，，，，，，，，，…這列數(shù)也可分組排列：，，，，…(1)如果按分組排列，請(qǐng)問從左到右依次在第幾組？(2)如果是原數(shù)列中的第個(gè)數(shù)，請(qǐng)先求出的值，再求該數(shù)列中前個(gè)數(shù)的乘積；(3)在原數(shù)列中，未經(jīng)約分且分母為3的數(shù)記為，與它相鄰的后一個(gè)數(shù)記為，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)和，使得？如果存在，請(qǐng)寫出和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)在第203組(2)m=20505，該數(shù)列中前個(gè)數(shù)的乘積為(3)存在，，【分析】（1）根據(jù)數(shù)字分子與分母的變化得出從左往右在第203組；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的分子和分母的和為n的一組分?jǐn)?shù)有n-1個(gè)，依此求出前面202組的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)，加上2，即可求出m的值，再根據(jù)每組的積為1，求出這m個(gè)數(shù)的積；（3）先設(shè)第n組中，，，根據(jù)，列方程求解即可．【詳解】（1）∵∴從左到右依次在第203組；（2）∵的原數(shù)列的第個(gè)數(shù)，從左到右依次在第203組；∴：因?yàn)槊拷M的積為1，所以該數(shù)列中前個(gè)數(shù)的乘積為；（3）解：存在，∵未經(jīng)約分且分母為3的數(shù)記為，與它相鄰的后一個(gè)數(shù)記為，則為某組的倒數(shù)第3個(gè)數(shù)，為倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，設(shè)它們?cè)诘诮M，則，∵∴即，∴或（舍去）∴，；【經(jīng)典題型六新定義規(guī)律】【例6】（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)的“”運(yùn)算：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)，并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則：若，則第次“運(yùn)算”的結(jié)果是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計(jì)算出前次“運(yùn)算”的結(jié)果即可得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，第1次“F運(yùn)算”的結(jié)果是，第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，…∴可知每次運(yùn)算為一個(gè)循環(huán)，運(yùn)算的結(jié)果為，，，，，循環(huán)出現(xiàn)，∵，∴第次“運(yùn)算”的結(jié)果與第次“F運(yùn)算”的結(jié)果相同，即為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確進(jìn)行計(jì)算找到數(shù)字間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于有序數(shù)對(duì)，定義，則的值為（

）A． B．245 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，首先計(jì)算首尾兩組數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，，……，∴原式，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，代數(shù)式求值，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·七年級(jí)期末）有一列數(shù)，記為，我們記其前n項(xiàng)和為=，定義為這列數(shù)的“新海和”，現(xiàn)如果有2020個(gè)數(shù)，其“新海和”為2021，則2，這2021個(gè)數(shù)的“新海和”為（）．A．2022 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】根據(jù)“新海和”的定義分析可得：2020個(gè)數(shù)，其“新海和”為2021，即．同理根據(jù)定義求新數(shù)列2，這2021個(gè)數(shù)“新海和”．【詳解】解：∵，∴，∴2，這2021個(gè)數(shù)的“新海和”為．故選：D．3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，－1的差倒數(shù)是．已知．是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，以此類推，則．【答案】【分析】根據(jù)題目中給出的信息，依次算出、、，然后找出規(guī)律，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴，，，……，∴每3次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)一次，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，找數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，算出、、，找出規(guī)律．4．（2023秋·湖南岳陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若兩個(gè)有理數(shù)的和等于這兩個(gè)有理數(shù)的積，則稱這兩個(gè)數(shù)是一對(duì)“友好數(shù)”．如：有理數(shù)與5，因?yàn)?，所以與5是一對(duì)“友好數(shù)”．（1）有理數(shù)a和b是一對(duì)“友好數(shù)”，當(dāng)時(shí)，則；（2）對(duì)于有理數(shù)x（且），設(shè)x的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；……依次按如上的操作，得到一組數(shù)，．當(dāng)時(shí)，的值為；【答案】3【分析】（1）根據(jù)定義得，代入數(shù)據(jù)求出數(shù)值即可；根據(jù)題意依次寫出的數(shù)值，找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得數(shù)值．【詳解】（1）解：有理數(shù)a和b是一對(duì)“友好數(shù)”將代入得：（2）當(dāng)時(shí)，得：，，，，，，，．．．發(fā)現(xiàn)6個(gè)數(shù)為一周期，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，找規(guī)律的題型，觀察定義、歸納概括出規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取n＝26，則若，則第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果是．【答案】8【分析】根據(jù)題意和題目中的新定義，可以計(jì)算出前幾次的運(yùn)算結(jié)果，然后觀察結(jié)果，即可發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律，然后即可寫出第2022次“F”運(yùn)算的結(jié)果．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)n=898時(shí)，第一次輸出的結(jié)果為449，第二次輸出的結(jié)果為1352，第三次輸出的結(jié)果為169，第四次輸出的結(jié)果為512，第五次輸出的結(jié)果為1，第六次輸出的結(jié)果為8，第七次輸出的結(jié)果為1，…，由上可得，從第五次開始，依次以1，8循環(huán)出現(xiàn)，∵（2022-4）÷2=2022÷2=1009，∴第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果是8，故答案為：8．6．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)是一門充滿思維樂趣的學(xué)科．現(xiàn)有的數(shù)陣，數(shù)陣每個(gè)位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)都是1，2或3．定義為數(shù)陣中第行第列的數(shù)．例如，數(shù)陣第3行第2列所對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，所以．第1列第2列第3列第1行111第2行222第3行333(1)對(duì)于數(shù)陣A，的值為；若，則x的值可能為；(2)若一個(gè)的數(shù)陣對(duì)任意的a，b，c均滿足以下條件：條件一：；條件二：；則稱此數(shù)陣是“有趣數(shù)陣”．①請(qǐng)判斷數(shù)陣A是否是“有趣數(shù)陣”．你的結(jié)論：（填“是”或“不是”）；②已知一個(gè)“有趣數(shù)陣”滿足，試計(jì)算的值．【答案】(1)2；1、2、3(2)①是；②1【分析】（1）根據(jù)定義為數(shù)陣中第行第列的數(shù)即可求解；（2）①根據(jù)“有趣數(shù)陣”定義即可求解；②根據(jù)；，將變形得到即可求解；【詳解】（1）解：對(duì)于數(shù)陣，的值為2；若，則的值為1，2，3，故答案為：2；1或2或3；（2）①由數(shù)陣圖可知，數(shù)陣是“有趣數(shù)陣”．故答案為：是；②，，，，，，．7．（2022秋·湖南株洲·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為a1，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為an．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列2，4，8，16，…為等比數(shù)列，其中a1＝2，公比為q＝2．若要求這個(gè)等比數(shù)列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：解：設(shè)S＝2+22+23+…22020①，①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，…的公比q為______，第4項(xiàng)是______．(2)如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為a1）和公比（設(shè)為q），則根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：a1，a1?q，a1?q2，a1?q3，…．由此可得第n項(xiàng)an＝_____（用a1和q的代數(shù)式表示）．(3)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．(4)請(qǐng)你用上述方法求的值．【答案】(1)2，24(2)(3)(4)【詳解】（1）解：，第4項(xiàng)為；（2）；（3）設(shè)第1項(xiàng)為，公比為q，則：，解得，∴；（4）設(shè)得：，得：，即，∴．【經(jīng)典題型七規(guī)律性問題綜合】【例7】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計(jì)算：（）A．199 B．200 C．201 D．202【答案】C【分析】通過計(jì)算，可以推出結(jié)果．【詳解】解：…，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，找到數(shù)字變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，n條直線將平面最多分成部分，進(jìn)而得到，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，∴n條直線將平面最多分成部分，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到．2．（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）如圖，將一枚跳棋放在七邊形的頂點(diǎn)處，按順時(shí)針方向移動(dòng)這枚跳棋2023次．移動(dòng)規(guī)則是：第次移動(dòng)個(gè)頂點(diǎn)（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在處）．按這樣的規(guī)則，在這202