2質(zhì)點運動定律習題思考題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁習題2-1.質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度隨時光變化的函數(shù)式；(2)子彈進入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，分離變量，可得：兩邊同時積分，所以：（2）子彈進入沙土的最大深度也就是v=0的時候子彈的位移，則：由可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移：。2-2.一條質(zhì)量分布勻稱的繩子，質(zhì)量為、長度為，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動過程中繩子一直伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T(r)．解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為r處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為dm，可知：，分析這dm的繩子的受力情況，因為它做的是圓周運動，所以我們可列出：。距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T(r)將提供的是r以外的繩子轉(zhuǎn)動的向心力，所以兩邊積分：2-3.已知一質(zhì)量為的質(zhì)點在軸上運動，質(zhì)點只受到指向原點的引力作用，引力大小與質(zhì)點離原點的距離的平方成反比，即，是比例常數(shù)．設(shè)質(zhì)點在時的速度為零，求質(zhì)點在處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得：再采取分離變量法可得：，兩邊同時取積分，則：所以：2-4.一質(zhì)量為的質(zhì)點，在平面上運動，受到外力(SI)的作用，時，它的初速度為(SI)，求時質(zhì)點的速度及受到的法向力.解：由題意和牛頓第二定律可得：，代入f與v，并兩邊積分，，速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，則2-5.如圖，用質(zhì)量為的板車運載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才干保證木箱不致滑動？解：按照題意，要使木箱不致于滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式：可得：2-6.如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解：在斜面具有不同的加速度的時候，木塊將分離具有向上和向下滑動的趨勢，這就是加速度的兩個范圍，由題意，可得：（1）當木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），列式為：可計算得到：此時的（2）當木快具有向上滑動的趨勢時（見圖b），列式為：可計算得到：此時的所以2-7.一質(zhì)量為M、頂角為的三角形光潔物體上。放有一質(zhì)量為m的物塊，如圖所示。設(shè)各面間的摩擦力均可忽略不計。試按下列三種主意：（1）用牛頓定理及約束方程；（2）用牛頓定律及運動疊加原理；（3）用非慣性系中力學定律；求解三角形物塊的加速度.解：隔離物塊和斜面體，畫圖分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比喻程數(shù)多，關(guān)鍵在于，M與m的運動有聯(lián)系的，M沿地面運動，m沿斜面運動，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m的運動為：（1）（2）M的運動方程為：（3）下面列出約束條件的方程：取M作為參考系，設(shè)m在其中的相對加速度為，在x,y方向的分量分離為與，那么：利用相對運動的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計算可得：2-8.圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，試問穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時液面的形狀如何？解：受力分析如圖（1）（2）兩式相比當時所以穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時液面是一個拋物面因為旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤尽?-9.質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動，劈形物質(zhì)量為，放置在光潔的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的互相作使勁。解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比喻程數(shù)多，關(guān)鍵在于，m1與m2的運動有聯(lián)系的，m1沿地面運動，m2沿斜面運動，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m2的運動為：（1）（2）m1的運動方程為：（3）下面列出約束條件的方程：取m1作為參考系，設(shè)m2在其中的相對加速度為，在x,y方向的分量分離為與，那么：利用相對運動的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計算可得：；；zrOzrO2-10.一小環(huán)套在光潔細桿上，細桿以傾角繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動，角速度為，求：小環(huán)平衡時距桿端點的距離.解：按照題意，當小環(huán)能平衡時，其運動為繞Z軸的圓周運動，所以可列式：所以，可得：2-11.設(shè)質(zhì)量為的帶電微粒受到沿方向的電力，計算粒子在任一時刻的速度和位置，假定時，.其中為與時光無關(guān)的常數(shù)，、、、的單位分離為、、、.解：按照題意和牛頓第二定律，可列式：，收拾可得二階微分方程：。令下面分c為正負再做進一步研究。當，可得：一次求導，得到：當，可得：一次求導，得到：2-12.在光潔的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運動，摩擦系數(shù)為，在時，球的速率為，求任一時刻球的速率和運動路程。解：在法向上有而在切向上有由上面三個式子可得思量題2-1.質(zhì)量為m的小球，放在光潔的木板和光潔的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為，當逐漸增大時，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓拷猓杭僭O(shè)墻壁對小球的壓力為N1，木板對小球的壓力為N2。由受力分析圖可知：所以當所以增大，小球?qū)δ景宓膲毫镹2將減??；同時：所以增大，小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2.質(zhì)量分離為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運動，如圖所示．如驟然撤消拉力，則剛撤消后眨眼，二者的加速度aA和aB分離為多少？解：分離對A，B舉行受力分析，由受力分析圖可知：所以2-3.如圖所示，用一斜向上的力(與水平成30°角)，將一重為G的木塊壓靠在豎直壁面上，倘若不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為多少？解：假設(shè)墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知：收拾上式，并且按照題意，倘若不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明：即當此式中F無論為多大，總成立，則可得：2-4.質(zhì)量分離為和的滑塊和，疊放在光潔水平桌面上，如圖所示．、間靜摩擦系數(shù)為，滑動摩擦系數(shù)為，系統(tǒng)原處于靜止．今有一水平力作用于上，要使、不發(fā)生相對滑動，則應(yīng)取什么范圍？解：按照題意，分離對A，B舉行受力分析，要使A，B不發(fā)生相對滑動，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式：可得：2-5.如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光潔水平桌面上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計，滑輪與其軸之間的摩擦也不計．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？解：分離對A，B舉行受力分析，由受力分析圖可知：則可計算得到：2-6.如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光潔的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個說法是準確的？(A)它的加速度大小不變，方向永遠指向圓心。(B)它的速率勻稱增強。(C)它的合外力大小變化，方向永遠指向圓心。(D)它的合外力大小不變。(E)軌道支持力的大小不斷增強。在下滑過程中，物體做圓周運動。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對；速率的增強由重力沿切線方向的分力提供，因為切線方向一直在改變，所以速率增強不勻稱；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。下滑過程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，則E的說法準確。2-7.一小珠可在半徑為的豎直圓環(huán)上無摩擦地滑動，且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉(zhuǎn)動．當圓環(huán)以一適當?shù)暮愣ń撬俣绒D(zhuǎn)動，小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對圓環(huán)靜止時，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？解：按照題意，當小珠能相對于圓環(huán)平衡時，其運動為繞Z軸的圓周運動，假設(shè)小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為θ，可列式：所以，可得：2-8.幾個不同傾角的光潔斜面，有共同的底邊，頂點也在同一豎直面上（如圖所示）．為使一物體（視為質(zhì)點）從斜面上端由靜止滑到下端的時光最短，則斜面的傾角應(yīng)選(A)60°．(B)45°．(C)30°．(D)15°．解：按照題意，假設(shè)底邊長為s，斜面的傾角為θ，可列式：當θ=45。時，時光最短。2-9.如圖所示，小球A用輕彈簧與輕繩系??；小球B用輕繩與系住，今剪斷繩和繩，在剛剪斷的眨眼，、球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。對于a圖，在剪斷繩子的眨眼，彈簧的伸長沒有變化，所以彈簧的拉力F不變，A的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力T，所以：所以加速度大小為：，方向為水平方向。對于b圖，在剪斷繩子的眨眼，繩子拉力F變化，它將提