高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)試題（老高考舊教材）專題檢測(cè)3立體幾何

專題檢測(cè)三立體幾何一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.2 D.222.(2023貴州貴陽(yáng)一模)棱錐的內(nèi)切球半徑R=3V錐S錐,其中V錐,S錐分別為該棱錐的體積和表面積.如圖為某三棱錐的三視圖,若每個(gè)視圖都是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,A.13 B.3-32 C.3.(2023四川南充二模)某三棱錐的三視圖如圖所示,已知它的體積為323,則圖中x的值為(A.1 B.32 C.2 D.24.某種藥物呈膠囊形狀,該膠囊中間部分為圓柱,左右兩端均為半徑為1的半球.已知該膠囊的表面積為10π,則它的體積為()A.35π6 B.C.13π3 D5.(2023河北保定一模)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,則“α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.(2023陜西漢中二模)在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB=1,BC=3,PA=2,則三棱錐PABC的外接球的表面積為()A.32π B.16π C.8π D.12π7.(2023安徽宣城二模)中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子,桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗(如圖),斗面用紅紙糊住,斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子,寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美.如圖為一種婚慶升斗,把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái),下底面邊長(zhǎng)為25cm,上底面邊長(zhǎng)為10cm,側(cè)棱長(zhǎng)為15cm,忽略其壁厚,則該升斗的容積約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,1L=1000cm3)()A.1.5L B.2.4L C.3.4L D.5.1L8.在正四棱錐PABCD中,側(cè)棱與底面所成角的正切值為5,若該正四棱錐的外接球的體積為721025π,則△PBD的面積為(A.25 B.23 C.22 D.59.已知一個(gè)圓柱的高是底面半徑的2倍,且其上、下底面的圓周均在球面上,若球的體積為32π3,則圓柱的體積為(A.16π B.8π C.42π D.22π10.(2023廣西桂林統(tǒng)考)如圖,已知某個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:mm),可得這個(gè)幾何體的體積是()A.12000000mm3 B.8000000mm3 C.6000000mm3 D.4000000mm311.(2023河南許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=4,以CC1的中點(diǎn)M為球心,4為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長(zhǎng)為()A.2π B.3π C.4π D.8π12.(2023湖南郴州三模)已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為5和10,側(cè)面積為300π,AB為圓臺(tái)的一條母線(點(diǎn)B在圓臺(tái)的下底面圓周上),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā),繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)M,則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A.30 B.40 C.50 D.60二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2023青海西寧二模)母線長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于8π5,則該圓錐的體積為14.如圖為某比賽獎(jiǎng)杯的三視圖,獎(jiǎng)杯的上部是一個(gè)球,獎(jiǎng)杯的下部是一個(gè)圓柱,若獎(jiǎng)杯上、下兩部分的體積相等,則上部球的表面積與下部圓柱的側(cè)面積的比值為.

15.如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則下列結(jié)論正確的是.(填所有正確結(jié)論的序號(hào))

①平面D1A1P⊥平面A1AP;②∠APD1的取值范圍是0,π2;③三棱錐B1D1PC的體積為定值;④DC1⊥D1P.16.(2023江西鷹潭一模)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,其側(cè)面積是82,若該直四棱柱有外接球,則該外接球的表面積的最小值為.

三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)如圖所示,在空間幾何體ABCDE中,△ABC與△ECD均為等邊三角形,AB=DE,且平面ABC和平面CDE均與平面BCD垂直.(1)若BDBC=2,求證:平面ABC⊥(2)求證:四邊形AEDB為梯形.18.(12分)(2023江西景德鎮(zhèn)、上饒聯(lián)考)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別為A1B1,BB1,C1D1的中點(diǎn).(1)過BG作該正方體的截面,使得該截面與平面C1EF平行,寫出作法,并說明理由;(2)設(shè)點(diǎn)M,N分別為棱AB,BC上一點(diǎn),M,N與點(diǎn)B均不重合,且MN=C1F,求三棱錐BB1MN體積的最大值.19.(12分)(2023江西宜春4月模擬)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,CD=2AB=2AD=4,點(diǎn)E,F分別是邊BC,CD的中點(diǎn),現(xiàn)將△CEF沿EF邊折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置(如圖2所示),且BP=2.圖1圖2(1)求證:平面APE⊥平面ABD;(2)求點(diǎn)B到平面PAD的距離.20.(12分)(2023江西五市九校聯(lián)考二)如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,PB⊥底面ABCD,BA=2,AD=2,PB=3,直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為155,點(diǎn)E,F分別是棱AD,PC的中點(diǎn)(1)求異面直線EF與AB所成角的正切值;(2)求三棱錐PABD外接球的體積.21.(12分)如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分別在BC,AD上,EF∥AB,現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起,使BE⊥EC.(1)若BE=1,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出APPD的值;若不存在,請(qǐng)說明理由(2)求三棱錐ACDF的體積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離.22.(12分)(2023全國(guó)乙,文19)如圖,在三棱錐PABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)F在AC上,BF⊥AO.(1)求證:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱錐PABC的體積.專題檢測(cè)三立體幾何1.C解析依題意可知,半圓的弧長(zhǎng)為2π·1=2π,圓心角的弧度數(shù)為π,由弧長(zhǎng)公式可得該圓錐的母線長(zhǎng)為2ππ=2.故選2.C解析由三視圖可還原三棱錐如右圖所示,其中PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=PA=1,設(shè)△ABC的面積是S△ABC,∴三棱錐PABC的體積是VPABC=13S△ABC·PA=13×12×1×1×1=16.設(shè)△PBC的面積是S△PBC,設(shè)三棱錐的表面積S=3S△ABC+S△PBC=3×12×1×1+12×3.C解析該三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖可以在棱長(zhǎng)為2x的正方體中畫出,即為三棱錐SABC,如圖所示.棱錐SABC的體積是V=13×12×2x×2x×2x=323,解得x=2.故選C4.C解析設(shè)圓柱的高為h,∴4π·12+2π·1·h=10π,∴h=3.∴V=43π·13+π·12·3=13故選C.5.B解析若α∩β=l,則α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l平行,這無(wú)數(shù)條除了l的直線顯然平行于β,故充分性不成立;若α∥β,根據(jù)面面平行的定義可知,平面α內(nèi)的直線都與平面β平行.所以,“α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的必要不充分條件.故選B.6.C解析如圖所示,根據(jù)題意可將三棱錐PABC補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,則三棱錐PABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,可知該球的直徑即為PC.設(shè)球的半徑為R,可得2R=AB2+BC2+PA2=1+3+4=22,即R=2,故三棱錐PABC的外接球的表面積7.C解析上、下底面對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為102,252,則該正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)=152-(252-1022)

2=1522.上底面的面積S1=102=100(cm2),下底面的面積S2=252=625(cm2).則V=13(S1+S2+S1S2)h=13×(100+8.A解析當(dāng)球心在線段PM上時(shí),如圖所示,令A(yù)C∩BD=M,四棱錐PABCD的外接球球心為O,設(shè)DM=x,OP=OD=R.由條件可知PM=5x,在Rt△ODM中,R2=(5x-R)2+x2,解得R=35x.又43πR3=721025π,得x=2.所以DM=2,PM=10,所以△容易驗(yàn)證球心O不在線段PM的延長(zhǎng)線上.綜上,△PBD的面積是25.9.C解析設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為2r,球O的半徑為R,由題可知43πR3=32π3,則r2+r2=R2=4,可得r=2,所以V=πr2·(2r)=42π.故選C.10.D解析由三視圖可得幾何體是四棱錐VABCD,其中平面VAB⊥平面ABCD.底面ABCD是邊長(zhǎng)分別為200mm和300mm的長(zhǎng)方形,棱錐的高是200mm,該棱錐的體積V=13×200×300×200=4000000(mm3)故選D.11.C解析由題意知該三棱柱的三個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為4的正方形.取AA1,BB1的中點(diǎn)分別為E,G,取點(diǎn)N為正方形ABB1A1的中心.連接MN,ME,MG,EG.顯然G,N,E三點(diǎn)共線.因?yàn)镸E=MG,點(diǎn)N是EG的中點(diǎn),所以MN⊥EG.因?yàn)镸E∥AC,MG∥BC,所以BB1⊥MG,BB1⊥ME,又MG∩ME=M,MG,ME?平面MEG,所以BB1⊥平面MEG,所以BB1⊥MN.因?yàn)锽B1∩EG=G,BB1,EG?平面ABB1A1,所以MN⊥平面ABB1A1.所以點(diǎn)N為球與平面ABB1A1所得截面圓的圓心,該圓的半徑為r=42-MN2=42-(23)2=2,而正方形ABB1A1的邊長(zhǎng)為4,所以該圓是正方形ABB1A1的內(nèi)切圓.所以所求交線為以點(diǎn)N為圓心,2為半徑的圓,故交線長(zhǎng)12.C解析設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為5,下底面半徑為10,母線長(zhǎng)為l,所以該圓臺(tái)的側(cè)面積為πl(wèi)(10+5)=15πl(wèi)=300π,解得l=20.將圓臺(tái)所在的圓錐展開如圖所示,且設(shè)扇形的圓心為點(diǎn)O.線段B1M就是螞蟻經(jīng)過的最短距離.設(shè)OA=R,該扇形的圓心角是α,則由題意知10π=αR①,20π=α(20+R)②,由①②解得,α=π2,R=所以O(shè)M=30,OB1=40,則B1M=OM2+OB113.128π解析由題意知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,該扇形的弧長(zhǎng)為10×8π5=16π.設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,則2πr=16π,即r=8,該圓錐的高h(yuǎn)=102-82=6,所以該圓錐的體積V=13πr2h=13π14.32解析由三視圖還原原幾何體如圖,設(shè)球的半徑為R,圓柱的高為h,則由題意可得,43πR3=πR2h,得h=43R,球的表面積為S球=4πR2,圓柱的側(cè)面積S圓柱側(cè)=2πRh=2πR·43R=83πR215.①③④解析∵D1A1⊥平面A1AP,∴平面D1A1P⊥平面A1AP,①正確;若P是A1B上靠近A1的一個(gè)四等分點(diǎn),D1P2=1+242=98,此時(shí)AP2=AA12+A1P22AA1×A1P×cos45°=58,D1P2+AP2<AD12,此時(shí)∠D1PA為鈍角,②錯(cuò)誤;由于BP∥CD1,則BP∥平面B1D1C,因此PB1D1C的底面是確定的,高也是定值,其體積為定值,即三棱錐B1D1PC的體積為定值,③正確;而D1C⊥DC1,D1C∥A1B,所以DC1⊥A1B,且DC1⊥A1D1,A1B∩A1D1=A1,所以DC1⊥平面A1PD1,D1P?平面A1PD1,因此DC1⊥D1P,④16.8π解析因?yàn)橹彼睦庵鵄BCDA1B1C1D1的底面是菱形,且它有外接球,所以其底面是正方形.設(shè)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為h,則其側(cè)面積為4ah=82,故ah=22.又該直四棱柱的外接球的半徑R=122a2+h2,所以其外接球的表面積S=4πR2=π(2a2+h2)≥π·22ah=8π,當(dāng)且僅當(dāng)2a=h,即a=2,h=2時(shí)17.證明(1)因?yàn)锽DBC=2,所以BD=2BC,因?yàn)椤鰽BC,△ECD是全等的正三角形,所以CD=BC,所以BD2=BC2+DC2,故BC⊥DC,因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面BCD,平面ECD∩平面BCD=CD,所以BC⊥平面ECD,因?yàn)锽C?平面ABC,故平面ABC⊥(2)分別取BC,DC的中點(diǎn)M,N,連接AM,EN,MN,因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以AM⊥BC,AM=32BC,因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD,AM?平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,所以AM⊥平面BCD,同理EN⊥平面BCD,EN=32DC,所以AM∥EN,又BC=DC,所以AM=EN,所以四邊形AMNE是平行四邊形,所以AE∥MN且AE=MN,又MN=12BD且MN∥BD,所以AE∥BD,且AE<BD,即四邊形18.解(1)取C1C的中點(diǎn)H,連接A1B,A1G,BH,GH,所以截面BA1GH為要求作的截面.理由如下:因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為A1B1,BB1的中點(diǎn),所以A1B∥EF,又A1B?平面C1EF,EF?平面C1EF,所以A1B∥平面C1EF.在正方形A1B1C1D1中,因?yàn)辄c(diǎn)G為C1D1的中點(diǎn),所以A1E∥GC1,且A1E=GC1,所以四邊形A1EC1G為平行四邊形,所以A1G∥EC1,同理可得A1G∥平面C1EF.又A1B∩A1G=A1,所以平面BA1G∥平面C1EF.連接D1C,易證GH∥D1C,A1B∥D1C,則GH∥A1B,所以A1,B,H,G四點(diǎn)共面,從而截面BA1GH為要求作的截面.(2)設(shè)BM=a,BN=b(a>0,b>0),由MN=C1F=5,得a2+b2=5≥2ab,則ab≤52,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=102時(shí),VB-B1MN=B1-BMN=13×12ab×219.(1)證明連接BD,BF,因?yàn)镃D=2AB=4,點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn),所以DF=AB=2.因?yàn)锳B∥CD,∠DAB=90°,所以四邊形ABFD是矩形,又AD=2,所以矩形ABFD是正方形.所以BF=2,又CF=2,所以△BFC是等腰直角三角形,所以BC=22.因?yàn)辄c(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),則EF⊥BC.在折起后PE⊥EF.又BE2+PE2=(2)2+(2)2=4=BP2,所以PE⊥BE.又BE∩EF=E,BE?平面ABD,EF?平面ABD,故PE⊥平面ABD,又PE?平面APE,所以平面APE⊥平面ABD.(2)解如圖所示,取AD的中點(diǎn)O,連接OE,DE,PO,由(1)可知,PE⊥平面ABD,所以PE⊥DE,PE⊥AE,PE⊥OE.而OE=12(AB+DC)=3,OD=12AD=1,所以DE=OE2+OD2=10,同理AE=10,所以PD=PE2+DE2=23,PA=PE2+AE2=23,PO=PE2+OE2=11.所以△PAD是等腰三角形,所以S△PAD=12AD·PO=12×211=11.設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離是h,20.解(1)因?yàn)镻B⊥底面ABCD,所以∠PDB為直線PD與平面ABCD所成的角.因?yàn)閟in∠PDB=155,即PBPD=155,又PB=3,所以PD=5,從而DB=PD2-PB2=2.又BA=2,AD=2,所以取BC的中點(diǎn)M,連接ME,MF.因?yàn)镕是PC的中點(diǎn),所以MF∥PB,且MF=12PB=32.又E是棱AD的中點(diǎn),所以ME∥AB,且ME=AB=2,從而∠FEM或其補(bǔ)角即為異面直線EF與AB所成的角.因?yàn)镻B⊥底面ABCD,所以MF⊥底面ABCD,因?yàn)镸E?底面ABCD,所以MF⊥ME,于是tan∠FEM=FMEM=64.即異面直線(2)在△ABD中,∠ABD=90°,所以三棱錐PABD的外接球即為以BA,BP,BD為三條鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)該外接球的半徑為R,則2R=BA2+BD2+BP221.解(1)AD上存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面ABEF,此時(shí)APPD=32.理由如下,當(dāng)AP如圖,過點(diǎn)P作MP∥FD交AF于點(diǎn)M,連接ME,則MPFD=APAD=35,∵AF=BE=1,AD=6,∴FD=5,∴MP=3,又EC=3