新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案1-3第1課時(shí)并集與交集

1.3集合的基本運(yùn)算【素養(yǎng)目標(biāo)】1．能從教材實(shí)例中抽象出兩個(gè)集合并集和交集、全集和補(bǔ)集的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．準(zhǔn)確翻譯和使用補(bǔ)集符號(hào)和Venn圖．(數(shù)學(xué)抽象)3．掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確進(jìn)行集合的并集、交集與補(bǔ)集運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能用Venn圖表示兩個(gè)集合的并集和交集．(直觀想象)5．能根據(jù)集合間的運(yùn)算結(jié)果判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．(邏輯推理)6．能根據(jù)兩個(gè)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍．(邏輯推理)7．會(huì)用Venn圖、數(shù)軸解決集合綜合運(yùn)算問(wèn)題．(直觀想象)【學(xué)法解讀】1．在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)依據(jù)老師創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，加深對(duì)“并集”“交集”“補(bǔ)集”“全集”等概念含義的認(rèn)識(shí)，特別是對(duì)概念中“或”“且”的理解，盡量以義務(wù)教育階段所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)內(nèi)容或現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情境為載體創(chuàng)設(shè)相關(guān)問(wèn)題，幫助理解．2．要注意結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖等表示集合進(jìn)行運(yùn)算，從而更直觀、清晰地解決有關(guān)集合的運(yùn)算問(wèn)題．第1課時(shí)并集與交集必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1并集自然語(yǔ)言一般地，由__所有屬于集合A或?qū)儆诩螧__的元素組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集(unionset)，記作__A∪B__(讀作“A并B”)．符號(hào)語(yǔ)言__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__圖形語(yǔ)言eq\a\vs4\al(1A與B有公共元素，相互不包含)(2)A與B沒(méi)有公共元素(3)AB(4)BA(5)A＝B說(shuō)明：由上述五個(gè)圖形可知，無(wú)論集合A，B是何種關(guān)系，A∪B恒有意義，圖中陰影部分表示并集．思考1：并集概念中的“或”與生活用語(yǔ)中的“或”的含義是否相同？提示：并集概念中的“或”與生活用語(yǔ)中的“或”的含義是不同的．生活用語(yǔ)中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三種情形：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A且x∈B．知識(shí)點(diǎn)2交集自然語(yǔ)言一般地，由__所有屬于集合A且屬于集合B的元素__組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集(intersectionset)，記作__A∩B__(讀作“A交B”)符號(hào)語(yǔ)言__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__圖形語(yǔ)言(1)A與B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A與B相離(沒(méi)有公共元素，A∩B＝?)(3)AB，則A∩B＝A(4)BA，則A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A思考2：集合運(yùn)算中的“且”與生活用語(yǔ)中的“且”相同嗎？提示：集合運(yùn)算中的“且”與生活用語(yǔ)中的“且”的含義相同，均表示“同時(shí)”的含義，即“x∈A，且x∈B”表示元素x屬于集合A，同時(shí)屬于集合B．知識(shí)點(diǎn)3并集與交集的性質(zhì)(1)__A∩A＝A__，A∩?＝?．(2)__A∪A＝A__，A∪?＝A．思考3：(1)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，A∩B與A有什么關(guān)系？A∪B與A有什么關(guān)系？(2)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，則它們之間有何關(guān)系？集合A與B呢？提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．基礎(chǔ)自測(cè)1．(2019·全國(guó)卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故選A．2．(2021·江蘇宿遷市高一期末測(cè)試)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，則M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－5＜x＜3}，N＝{x|－4＜x＜5}，則M∩N＝(A)A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－5＜x＜－4}C．{x|3＜x＜5} D．{x|－5＜x＜5}[解析]M∩N＝{x|－5＜x＜3}∩{x|－4＜x＜5}＝{x|－4＜x＜3}，故選A．4．(2019·江蘇，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，則A∩B＝__{1,6}__．[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝__3__．[解析]因?yàn)锳∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一并集運(yùn)算例1(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)設(shè)集合A＝{x|－3＜x≤5}，B＝{x|2＜x≤6}，求A∪B．[分析]第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)畫(huà)出數(shù)軸如圖所示：∴A∪B＝{x|－3＜x≤5}∪{x|2＜x≤6}＝{x|－3＜x≤6}．[歸納提升]并集運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題(1)對(duì)于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點(diǎn)集……，然后將集合化簡(jiǎn)，再按定義求解．(2)求兩個(gè)集合的并集時(shí)要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復(fù)的元素只能算一個(gè)．(3)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)的值能否取到．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__．(2)若集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，則A∪B＝__{x|x＞－2}__．[解析](1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．(2)畫(huà)出數(shù)軸如圖所示，故A∪B＝{x|x＞－2}．題型二交集運(yùn)算例2(1)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}則M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，則集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|－1＜x≤3}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－2≤x＜－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝__{(1,2)}__．[分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助數(shù)軸求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，A、B的交集即為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故選B．(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x＜－1}，故選D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．[歸納提升]求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．②把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來(lái)，寫(xiě)成“A∩B\”的形式．③把化簡(jiǎn)后的集合A、B的所有公共元素都寫(xiě)出來(lái)即可(若無(wú)公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應(yīng)先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對(duì)，則A∩B是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，解集是點(diǎn)集．②若A、B是無(wú)限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來(lái)求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)(2021·全國(guó)高考甲卷文科)設(shè)集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x＞7}，則M∩N＝(B)A．{7,9} B．{5,7,9}C．{3,5,7,9} D．{1,3,5,7,9}(2)(2020·廣州荔灣區(qū)高一期末測(cè)試)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)N＝(eq\f(7,2)，＋∞)，故M∩N＝{5,7,9}，故選B．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3．∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．題型三集合的交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)設(shè)集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)_{t|t≤2}__．(2)設(shè)A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．①若A∩B＝B，求a的取值范圍；②若A∪B＝B，求a的取值．[分析](1)把M∪N＝M轉(zhuǎn)化為N?M，利用數(shù)軸表示出兩個(gè)集合，建立端點(diǎn)間的不等關(guān)系式求解．(2)先化簡(jiǎn)集合A，B，再由已知條件得A∩B＝B和A∪B＝B，轉(zhuǎn)化為集合A、B的包含關(guān)系，分類(lèi)討論求a的值或取值范圍．[解析](1)由M∪N＝M得N?M，當(dāng)N＝?時(shí)，2t＋1≤2－t，即t≤eq\f(1,3)，此時(shí)M∪N＝M成立．當(dāng)N≠?時(shí)，由數(shù)軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－t＜2t＋1，,2t＋1≤5，,2－t≥－2，))解得eq\f(1,3)＜t≤2．綜上可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍是{t|t≤2}．(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2．∴A＝{0,2}．①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a＜0，∴a當(dāng)B＝{0}時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＝0，,Δ＝4a＝0，))∴a＝0；當(dāng)B＝{2}時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a＋a2－a＝0，,Δ＝4a＝0，))無(wú)解；當(dāng)B＝{0,2}時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,Δ＝4a＞0，,a2－a＝0，))得a＝1．綜上所述，得a的取值范圍是{a|a＝1或a≤0}．②∵A∪B＝B，∴A?B．∵A＝{0,2}，而B(niǎo)中方程至多有兩個(gè)根，∴A＝B，由①知a＝1．[歸納提升]利用交、并集運(yùn)算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的問(wèn)題，可利用集合的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解，要注意空集的特殊性．(2)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，要注意集合中元素的互異性；與不等式有關(guān)的集合，則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．①若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，①當(dāng)m＝2時(shí)，求M∩N，M∪N；②當(dāng)M∩N＝M時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．[解析](1)①因?yàn)锳∩B＝?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋3≤5，))解得－1≤a≤2．②因?yàn)锳∪B＝B，所以A?B，所以a＞5或a＋3＜－1，即a的取值范圍為a＞5或a＜－4．(2)①由題意得M＝{2}．當(dāng)m＝2時(shí)，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．②∵M(jìn)∩N＝M，∴M?N，∵M(jìn)＝{2}，∴2∈N，∴2是關(guān)于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2．課堂檢測(cè)·固雙基1．(2021·全國(guó)新高考Ⅰ卷)設(shè)集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，則A∩B＝(B)A．{2} B．{2,3}C．{3,4} D．{2,3,4}[解析]由題設(shè)有A∩B＝{2,3}，故選B．2．已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，則A∩B＝(C)A．{x|x＜1} B．{x|x＜3}C．{x|－3＜x＜1} D．{x|－3＜x＜3}[解析]A∩B＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x＜1}＝{x|－3＜x＜1}．故選C．3．設(shè)集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，則如圖中陰影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]圖中陰影表示A∪B，又因?yàn)锳＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故