數(shù)學(xué)-專項18中點四大模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（原版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題18中點四大模型解題策略解題策略經(jīng)典例題經(jīng)典例題

【例1】（2022·江蘇·南通市通州區(qū)育才中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．(1)如圖1，求證：AD=CE；(2)如圖2，點O為AB的中點，連接OD，OE．請判斷△ODE的形狀？并說明理由．【例2】（2022·重慶市合川中學(xué)九年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠ABC=45°，D為(1)如圖1，當(dāng)∠ADC=75°時，若AB=3+3，求AD(2)如圖2，當(dāng)AC=AD時，點P為AB的中點，且AB=2CD，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，將△BCP繞點P旋轉(zhuǎn)180°，得到△AC′P，連接D【例3】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模）如圖，Rt△ABC的中，∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，點G是邊AB上一動點，以AG為直徑的⊙O交CG于點D，E是邊AC的中點，連接DE(1)求證：DE與⊙O相切；(2)填空：

①當(dāng)AG=___________cm時，⊙O與直線BC相切；②當(dāng)點G在邊AB上移動時，△CDE面積的最大值是___________cm2【例4】（2021·廣西·南寧二中八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中有一等腰三角形ABC，點A在y軸正半軸上，點B在x軸負(fù)半軸上．(1)如圖1，點C在第一象限，若∠BAC=90°，A、B兩點的坐標(biāo)分別是A(0,4)，B(?2,0)，求C點的坐標(biāo)；(2)如圖2，點C在x正半軸上，點E、F分別是邊BC、AB上的點，若∠AEF=∠ACB=2∠OAE．求證：BF=CE；(3)如圖3，點C與點O重合時點E在第三象限，BE⊥AE，連接OE，求∠BEO的度數(shù)．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2021·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)n°得到△AEF，E與B是對應(yīng)點，如圖1．（1）延長BC、EF，交于點K，求證：∠BKE=n°；（2）當(dāng)m=150，n=60時，求四邊形CEFA的面積；（3）如圖3．當(dāng)n=150時，取BE的中點P和CF的中點Q，直接寫出PQ2．（2022·四川·石室中學(xué)八年級期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

(1)如圖1，若點P在線段AB上，且AC=6+2，PA=2(2)在（1）的條件下，猜想PA、PB、PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖2，若點P在AB的延長線上，求證：PA3．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)朝暉學(xué)校九年級階段練習(xí)）閱讀理解：如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°(1)如圖①，過點C作CG⊥y軸于點G，若點C的橫坐標(biāo)為5，求點B的坐標(biāo)．(2)如圖②，將△ABC擺放至x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過點C作CD⊥x軸于點D，求CD(3)如圖③，若點A坐標(biāo)為(?4,0)，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰Rt△OBF與等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于點P．當(dāng)B點在y軸正半軸上移動時，PB的長度是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由，若不改變，請直接寫出

4．（2022·河北·八年級期中）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AH是△ABC的高，BC=10cm，射線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB的方向以每秒2厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在射線CM上以每秒1厘米的速度運動，連接AD、AE(1)請直接寫出CD、CE的長度（用含有t的式子表示）：CD=______cm，CE=______(2)當(dāng)點D到點H的距離為2cm時，求t(3)請直接寫出當(dāng)t=103s時，△ABD5．（2022·江蘇徐州·八年級期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是斜邊AB的中點，點E、F分別在邊AC、BC上，且DE⊥DF，垂足為D．(1)如圖1，當(dāng)DE⊥AC時，DE、DF的大小關(guān)系是______；(2)如圖2，將∠EDF繞點D點旋轉(zhuǎn)，（1）中的關(guān)系還成立嗎？請說明理由；(3)如圖3，連接EF，試探究AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室八年級期中）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．

(1)如圖1，求證：BD=CE；(2)如圖2，當(dāng)AD=CD時，過點C作CM⊥AD于點M，如果DM=2，求CD?BD的值．7．（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,AB=10，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接CP,OP．(1)求證：點D為BC的中點；(2)求AP的長度．8．（2022·湖北黃石·九年級期中）如圖，△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于點O，以O(shè)為圓心、OD為半徑的⊙O交BC于點E、F，已知AD=6，BD=8．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑；(3)求弦EF的長．9．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級階段練習(xí)）按要求作圖．

(1)如圖（1），在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，AC=BC,AE是△ABC的中線．①在AD取一點F使得EF∥②畫出△ABC的高CH．（僅使用無刻度的直尺畫圖）．(2)如圖（2），四邊形ABCD是平行四邊形，在線段CD找一點E，使得BE平分∠AEC．（僅使用圓規(guī)畫圖）10．（2022·湖南長沙·九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O，與AB邊相交于點D，與BC邊相交于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)求證：點E是CD的中點；(3)若⊙O的直徑為18，BC=12，求AD的長．11．（2022·廣東·廣州市白云區(qū)白云實驗學(xué)校八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E(1)如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；(2)點M是AC邊上一個動點（不與點D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交射線DE于點G．請畫出完整圖形，探究MD，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．

12．（2022·福建·上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期中）數(shù)學(xué)活動課上老師出示如下問題，供同學(xué)們探究討論：如圖，在△DEF中，DE=DF，點B在EF邊上，且∠EBD=60°，C是線段BD上的一個動點（不與點B重合，且BC≠BE），在線段BE上截取BA=BC，連接AC．試探究線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系．小敏與同桌小聰經(jīng)過深入的思考討論后，進(jìn)行了如下探究：特殊入手，探索結(jié)論：(1)①如圖，若點C與點D重合，即線段CD=0，觀察此時線段AE,BF之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，請你說明AE=BF的理由；特例啟發(fā)，猜測結(jié)論：②若點C不與點D重合，猜測線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系是___________，并給予證明；完成上面的問題后，老師繼續(xù)提出下列問題，請同學(xué)們探究討論：深入探究，拓展結(jié)論：(2)在上面的問題中，若把“點C是線段BD上的一個動點”改為“點C是射線BD上的一個動點，其它條件都不變．”，則當(dāng)點C在線段BD的延長線上時，請你用等式表示線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系（自行畫圖探究，直接寫出結(jié)果，不需要證明）．13．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，△ABC中，AB=AC,AD、CE是高，連接DE．(1)求證：DE=BD；

(2)若∠BAC=50°，求∠BED的度數(shù)．14．（2022·廣東·豐順縣第一中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為BC上任一點，DE⊥AB，垂足為E，M，N分別為AD，CE的中點．求證：15．（2021·廣西大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與AC、BC分別交于點M、N，與AB的另一個交點為E，過點N作NF⊥AB，垂足為F(1)求證：NF是⊙O的切線；(2)若NF=2，DF=1，求⊙O的半徑和弦ED的長．16．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期中）如圖，四邊形OABC是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，使得點O與坐標(biāo)原點重合，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為3,4，D的坐標(biāo)為2,4，現(xiàn)將紙片沿過D點的直線折疊，使頂點C落在線段AB上的點F處，折痕與y軸的交點記為E．(1)求點F的坐標(biāo)和∠FDB的大?。?2)在x軸正半軸上是否存在點Q，滿足S△QDE=S

(3)點P在直線DE上，且△PEF為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．17．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級期中）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點A，D，E在同一條直線上，連結(jié)BE．(1)求證：AD=BE．(2)如圖2，若∠ACB=60°，求∠AEB的度數(shù)．(3)若∠CEB=135°，CM為△DCE中DE邊上的高．猜想線段CM,AE,BE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2022·吉林白城·九年級期中）[操作]如圖1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其內(nèi)部的一點，連接CD．將CD繞點（順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，作直線AD交BE于點(1)求證：△ADC≌△BEC；(2)求∠AFE的度數(shù)；(3)[探究]如圖2，連接圖1中的AE，分別取AB、DE、AE的中點M、N、P，作△MNP．若BE=8，則△MNP的周長為19．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD,DE與⊙O相切交AB的延長線于點E．

(1)求證：∠AED=∠ABC；(2)點G是弧AB的中點，連接CG，過點B作BH⊥CG于點H，延長BH交AC