數(shù)學(xué)-專(zhuān)題30 軸對(duì)稱(chēng)綜合題中的面積問(wèn)題（帶答案）

專(zhuān)題30軸對(duì)稱(chēng)綜合題中的面積問(wèn)題【題型演練】一、單選題1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形外一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BPC＝90°，連接PO．若PO＝4，則四邊形OBPC的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】B【分析】先畫(huà)出將△OCP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△OBQ的位置的圖形，再證Q、B、P在同一條直線(xiàn)上，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證△POQ是直角三角形，求出S△POQOP?OQ4×4＝8，最后由S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OB，∠BOC＝90°，∴將△OCP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則到△OBQ的位置，則△OCP≌△OBQ，∵∠BPC＝90°，

∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠OCP＝∠OBQ，∴∠OBQ+∠OBP＝180°，∴Q、B、P在同一條直線(xiàn)上，∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，∴∠QOP＝∠BOC＝90°，∴△POQ是直角三角形，∵S△POQOP?OQ4×4＝8，∴S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題屬旋轉(zhuǎn)綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想得出S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解題的關(guān)鍵．2．一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△DEF繞點(diǎn)A(F)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后(圖2)，測(cè)得CG＝10cm，則兩個(gè)三角形重疊(陰影)部分的面積為(

)A．75cm2； B．（25＋25)cm2； C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm2【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)G作，根據(jù)題意及三角函數(shù)可得，，結(jié)合圖形求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作，如圖所示，

，，，在中，，在中，，∴，陰影部分的面積為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)解三角形等，掌握旋轉(zhuǎn)的特征和三角形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線(xiàn)段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故

結(jié)論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在△AOO′中，由三邊長(zhǎng)為3，4，5，得△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結(jié)論④正確；將△AOC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故結(jié)論⑤正確．【詳解】如圖，由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；如圖，連接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等邊三角形，∴OO′=OB=4．故結(jié)論②正確；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故結(jié)論④正確；如圖2，將△AOC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，同理可得S△AOC+S△AOB=S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．4．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行分析解答【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：，∴，設(shè)四邊形面積為S，∴．由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，∴，∴最大時(shí)，最小，作的外接圓，易知．∴，．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，面積最大，過(guò)作于，則．設(shè)，．∴，．∴．∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題求面積的最小值，考查的知識(shí)點(diǎn)有等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．5．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到如圖的新曲線(xiàn)A（﹣3，3），B（，）的直線(xiàn)相交于點(diǎn)C、D，則△OCD的面積為（）

A．3 B．8 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求出OA、OB的長(zhǎng)，以及OA、OB與x軸的夾角，進(jìn)而可得到旋轉(zhuǎn)前各個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及原直線(xiàn)的關(guān)系式，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)前C′、D′的坐標(biāo)，畫(huà)出相應(yīng)圖形，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象，可求出面積【詳解】解：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)A、B，分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，∵點(diǎn)A（－3，3），B（，），∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，∴OA＝＝6，OB＝＝3，∵tan∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，同理，∠BON＝30°，因此，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′（0，6），點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B′（3，0），設(shè)直線(xiàn)A′B′的關(guān)系式為y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，∴直線(xiàn)A′B′的關(guān)系式為y＝－2x＋6，由題意得，，解得，，因此，點(diǎn)C、D在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C′（1，4），D′（2，2），如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C′、D′，分別作C′P⊥x軸，D′Q⊥x軸，垂足為P、Q，則，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，

故選：A．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出直線(xiàn)AB在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，連接BB′，CC′，延長(zhǎng)CC′交BB′于點(diǎn)N，連接AB′，當(dāng)∠BAB′＝∠BNC時(shí)，則△ABB′的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB′，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得AD的長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，則∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的邊角關(guān)系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，則AB′＝B′E﹣AE；利用平行線(xiàn)之間的距離相等可得△ABB′中AB′邊上的高等于DE，利用三角形的面積公式結(jié)論可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB′，交B′A的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖，

在矩形ABCD中，∵∠ABD＝60°，BD＝16，∴AD＝BC＝BD?sin∠ABD＝16×＝8．由旋轉(zhuǎn)可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，∴，∴△CDC′∽△BDB′．∴∠DCC′＝∠DBB′．∴∠BNC＝∠CDB．∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，∴∠BAB′＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．∴DE＝＝4，AE＝AD?cos∠EAD＝8×＝12．∴B′E＝．∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，∴AB′∥BD．∴△ABB′中AB′邊上的高等于DE．

∴＝×（4﹣12）×4＝8﹣24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，利用直角三角形的邊角關(guān)系求得的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點(diǎn)重合，將繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，連接，，此時(shí)四邊形的面積是________．【答案】【分析】延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，先根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)和∠AED=75°，推出AB∥CD，從而可證四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF長(zhǎng)，則可求出CF長(zhǎng)，最后計(jì)算平行四邊形ABCD的面積即可．【詳解】解：如圖2，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，∵，

∴，又，∴，∴AB∥CD，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，即，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計(jì)算，先證出四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將CD繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是_______．【答案】1【分析】作于，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出，再利用面積法計(jì)算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后利用點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，從而可計(jì)算出的面積的最小值．【詳解】解：作于，如圖，，，，，

，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，的面積的最大值為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理．9．如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠DAE=90°，AD=AE=4，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．【答案】【分析】通過(guò)和為等腰直角三角形，判定出，得到通過(guò)已知條件，再設(shè)得到為等腰直角三角形，所以當(dāng)BD最小時(shí)，的面積最小，D是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點(diǎn)，所以點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD

最小，即可得到最終結(jié)果．【詳解】RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，為等腰直角三角形，又∠DAE=90°，AD=AE=4，為等腰直角三角形，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，設(shè)是等腰直角三角形，當(dāng)BD最小時(shí)，的面積最小，是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，△PMN面積的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，有一定難度和綜合性，屬于壓軸題，熟練掌握這些性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)解題是關(guān)鍵．10．如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)最大時(shí)，______．

【答案】6【分析】先確定D的軌跡是以A為圓心，AD為半徑的圓，再由，分析出當(dāng)最大時(shí)，AH最大，再由直角三角形斜邊大于直角邊得在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，即，時(shí)，AH取得最大值3，算出此時(shí)的面積為，再通過(guò)取BD中點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)至F，使得FG=AG，證明即可．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，D的軌跡為以點(diǎn)A圓心，AD為半徑的圓，過(guò)A作BD垂線(xiàn)交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，當(dāng)最大時(shí)，AH最大，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，即時(shí)，AH取得最大值3此時(shí)直角三角形中，的面積為，如圖，取取BD中點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)至F，使得FG=AG，

故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題11．如圖1，在等腰三角形中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接．點(diǎn)M、N、P分別為的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想．圖1中，線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小為_(kāi)_________．(2)探究證明把繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸將圖1中的繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．【答案】(1)NM=NP；60°；(2)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(3)的最大面積為【分析】（1）先證明由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再由三角形的中位線(xiàn)定理得NM與NP的數(shù)量關(guān)系，由平行線(xiàn)性質(zhì)得∠MNP的大小；（2）先證明△ABD≌△ACE得BD=CE，再由三角形的中位線(xiàn)定理得NM=NP，由平行線(xiàn)性質(zhì)得∠MNP=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；（3）當(dāng)最大，則最大，則等邊的面積最大，則當(dāng)時(shí)最大，再由等邊三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算便可．(1)解：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，∴MN=BD，PN=CE，，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，

∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案為：NM=NP；60°；(2)△MNP是等邊三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．∴MN=BD，PN=CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP是等邊三角形；(3)由（2）得，當(dāng)最大，則最大，則等邊的面積最大，當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)BD=AB+AD=8，∴MN=PN=4，∴△MNP的面積=，∴△MNP的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形的一個(gè)綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線(xiàn)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵證明三角形全等和運(yùn)用三角形中位線(xiàn)定理使已知與未知聯(lián)系起來(lái)．12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F.

(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°如圖2所示，得到結(jié)論：①的值為

；②直線(xiàn)AE與DF所夾銳角的度數(shù)為

；(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；(3)在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則△ADE的面積為

.【答案】(1)①；②(2)結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）通過(guò)證明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；（2）通過(guò)證明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；（3）分兩種情況討論，先求出AE，DG的長(zhǎng)，即可求解．(1)解：如圖1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD＝，如圖2，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，∵△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，

∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直線(xiàn)AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°，故答案為：，30°；(2)結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，∵將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直線(xiàn)AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于G，

∵AB＝4，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∠DAB＝90°，∴BE＝2，AD＝4，DB＝8，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝2，∵D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE＝，∵∠DEA＝30°，∴DG＝DE＝，由（2）可得：，∴，∴AE＝，∴△ADE的面積＝AE×DG＝×（）×＝；如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，同理可求：△ADE的面積＝×AE×DG＝×（）×＝；故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分情況討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.13．如圖，矩形中，為等邊三角形．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)三條線(xiàn)段的和最小時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度由A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度由E點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．E，P兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①求t為何值時(shí)，與相似；②求的面積S的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)①；②【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)，可得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到，即可求證；（2）作，交于點(diǎn)，則，根據(jù)題意可得當(dāng)G，M，P，E四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，再由為等邊三角形，，可得，然后根據(jù)，可即可求解；（3）①根據(jù)題意可得：，則．再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．

(1)證明：∵為等邊三角形∴∵∴又∵∴∴；(2)解：如圖，作，交于點(diǎn)，則，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，

∴，∴當(dāng)G，M，P，E四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，∵為等邊三角形，，∴，∵為等邊三角形，，∴，∴，∴，∴當(dāng)三條線(xiàn)段的和最小時(shí)，；(3)解：①由題意得：，則．∵，∴若，則，即（不合題意，舍去）；若，則需，即，解得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，∵，，∴，，∴∴

所以當(dāng)時(shí)，的面積最小為．當(dāng)時(shí)，，∴故時(shí)，的面積最小為．綜上所述，的面積最小為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角三角形，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)C．將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，①此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_________；②點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，試求最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積是否存在最大值？若存在，直接寫(xiě)出最大值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)①1.5②(2)存在最大值，最大值為69【分析】（1）①利用勾股定理求出AB，可得結(jié)論．②如圖2中，連接AA1，OO1．利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）因?yàn)镺1A1=12是定值，直線(xiàn)O1A1與B為圓心，OB為半徑的圓相切，當(dāng)CO1最大時(shí)，△O1A1C的面積最大．（1）解：①∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴OA=12，OB=5，∴AB=，∵線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)C，∴BC=6.5，

由旋轉(zhuǎn)可得，BO1=OB=5，∴O1C=BC-BO1=6.5-5=1.5，故答案為：1.5；②作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于G，則，∴，由對(duì)稱(chēng)性可知，，∴與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，易求得直線(xiàn)的解析式為，令，得，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）解：如圖，因?yàn)镺1A1=12是定值，直線(xiàn)O1A1與B為圓心，OB為半徑的圓相切，當(dāng)CO1最大時(shí)，△O1A1C的面積最大，面積最大時(shí)，O1在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，此時(shí)CO1=5+6.5=11.5，∴△O1A1C的面積的最大值==∴的面積存在最大值，最大值為69．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．15．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交折線(xiàn)，于點(diǎn)，連結(jié)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

(1)用含的代數(shù)式表示線(xiàn)段的長(zhǎng)．(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．(4)當(dāng)線(xiàn)段將的面積分成的兩部分時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)，由題意可用表示，根據(jù)銳角三角函數(shù)知識(shí)能用表示；（2）設(shè)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)，由題意可用表示，和來(lái)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，還有的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于的方程，解之即可；（3）由題意，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)共需，當(dāng)恰好落在邊上時(shí)，在，和中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到關(guān)于的方程，求出此時(shí)的值，從而得解；（4）首先根據(jù)題意求出的面積，然后用表示出的面積，再根據(jù)線(xiàn)段將的面積分成的兩部分，構(gòu)造方程，解之即可．(1)∵，∴，，

∵點(diǎn)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)，∴，∵，∴，∴．(2)設(shè)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)，∴，，，∵，∴，∴，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴∴，∴，∴．(3)∵，∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)共需，當(dāng)恰好落在邊上時(shí)，如圖，

∵，∴，，，∵，∴，，∵，，，∴，∴，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，在中，∵∴，∴，∴．(4)∵，，

∴，設(shè)，，∵，∴，∵線(xiàn)段將的面積分成的兩部分，∴或，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，根據(jù)題意化動(dòng)為靜，找出臨界狀態(tài)，并根據(jù)題意畫(huà)出圖形列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵16．如圖1，在中，，，AO是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)D是AO上一點(diǎn)，，E是垂足，可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AD和CF．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是_______．（填序號(hào)）①；②點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)：③AO是的角平分線(xiàn)；④．(2)數(shù)學(xué)思考：將圖2中繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，若，將繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．①則_______CF；②若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．【答案】(1)①②④(2)，見(jiàn)解析(3)①；②

【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與是中線(xiàn)定義可判定①，證DEAB，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可判定②，利用AB<AC,AO是BC邊中線(xiàn)可確定AO不能平分∠BAC，可判定③；由勾股定理求得AO=，又因?yàn)?，BE=OE=CF，可得出AD與CF關(guān)系，從而判定④；（2）證即可求得結(jié)論；（3）①由（2）知：即可求解；②作于M，根據(jù)求解即可．（1）解：∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴OE=OF，∵AO是BC邊上的中線(xiàn)，∴BO=CO∴CF=BE，故①正確；∵DE⊥BC，∴∠DEO=90°，∵∠B=90°，∴∠DEO=∠B=90°，∴DEAB，∴∴BE=OE，∴OF=CF，即點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)，故②正確；∵，，∴AB<AC,∵AO是BC邊上的中線(xiàn)，∴AO不是∠BAC的平分線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；∵，，AO是BC邊上的中線(xiàn)，

∴AO=，∵，BE=OE=CF，∴AD=AO，CF=OB，∴AD=CF，故④正確；故答案為：①②④；（2）解：在圖2，3中連接DF，∵在圖2中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴．∴．∴在圖3中，∵．∴．不妨設(shè)，則，

∴．∴．（3）解：①由（2）知：，∴，∵OE=OC，∴，∵，∴，∴，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO=∴∴AD=FC，故答案為：AD=FC；②作，M是垂足，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，∵，∴．又∵，

∴．又∵點(diǎn)O是BC，EF的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．又，∴，．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，本題屬旋轉(zhuǎn)綜合題目，屬中考?？荚囶}目．17．如圖1，將三角形紙片（）進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開(kāi)鋪平；第二步：將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)E、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、G，直線(xiàn)與邊交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊交于點(diǎn)N．(1)已知．

①在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，若直角三角形紙片的兩直角邊，在點(diǎn)G從點(diǎn)C開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)與的重疊部分的面積為S，則S的最小值為_(kāi)_______．【答案】(1)①，見(jiàn)解析；②(2)【分析】（1）①連接DM，根據(jù)HL證，即可得出結(jié)論；②根據(jù)，得，可得，，設(shè)，則，在中，，即可得到答案；（2）設(shè)DG交AC邊于R，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△GMR的面積逐漸變大，故當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)△GMR的面積最大，此時(shí)S有最小值，求出此時(shí)的S值即可．（1）①，∵折疊三角形紙片使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，∴．∴．如圖連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：．又∵，∴，

∴．②如圖：∵翻折，旋轉(zhuǎn)，∴．∵，∴，∴，∴，∴DG=DB，∴．∴，∴，設(shè)，則，在中，解得，即；（2）．理由如下：當(dāng)△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，所得的△DFG與△ABC的重疊部分的面積S最小,理由如下，若△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得的三角形為△DF’G’.設(shè)FG、F’G’、DG、DG’交AC分別于點(diǎn)M、M’、P、P’由題意可知，MF=ME，M’F’=M’E.

由于S=(MF+ME+EP)×DE=2ME+EP.同理，S’=2M’E+EP’①如圖1，若旋轉(zhuǎn)的角度等于（30°+），則S’-S=(2M’E+EP’)-(2ME+EP)=2MM’-PP’.由題意知，△DMP是等腰三角形，且直線(xiàn)DE是其對(duì)稱(chēng)軸，于是，作MM’關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段PR.連接DR，作∠EDP的平分線(xiàn)，交AC于點(diǎn)Q，由題意知，∠PDP’=∠FDF’=，∠EDF’=60°+，因而∠EDM’=30°+，∠MDM’=.所以∠RDP=∠PDQ=∠P’DQ=，在DP、DR上分別取點(diǎn)P''、Q'，使得DP''=DP',DQ'=DQ，連接QP'',PQ'，則QP''=QP'，PQ'=QP，因?yàn)椤螿P''P=∠QP'G'=∠DPP'+∠PDP'＞DPP'所以QP＞QP''，同理PR>QP，因而2MM’=2PR>QP+QP'=PP'，從而S'>S，②如圖2，若旋轉(zhuǎn)的角度等于（30°-），

則S'-S=（2M'E+EP')-（2ME+EP)=PP'-2MM'，在DQ、DP'上分別取點(diǎn)R'、P''，使DR'=DR.DP''=DP，連接PR'、QP''，則PR'=PR，QP''=QP，因?yàn)椤螿P''P'=∠QPG=∠DP'P+∠PDP'>∠DP'P.所以QP'＞QP''，同理QP>PR，S'>S，因而2MM'=2PR<QP+QP'=PP'.從而S'>S，綜上所述，當(dāng)∠CDG=30°時(shí)，四邊形DFMP的面幟最小，如下圖所示：∵AB=AC=4，

∴DE=DF=2，延長(zhǎng)DF交AC于T，則∠TDE=30°，∠DTM=60°，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換的綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接DF．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ADF的度數(shù)及線(xiàn)段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線(xiàn)段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②1≤S△ADF≤4.【分析】（1）延長(zhǎng)DF交AB于H，連接AF，先證明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再證明△ADH為等腰直角三角形，利用三線(xiàn)合一及等腰直角三角形邊的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①過(guò)B作DE的平行線(xiàn)交DF延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接AH、AF，先證明△DEF≌△HBF，延長(zhǎng)ED交BC于M，再證明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代換可得∠DAH=90°，即△ADH為等腰

直角三角形，利用三線(xiàn)合一及等腰直角三角形邊的關(guān)系即可得到結(jié)論；②先確定D點(diǎn)的軌跡，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延長(zhǎng)DF交AB于H，連接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中點(diǎn)，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH為等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF;（2）解：①結(jié)論仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：過(guò)B作DE的平行線(xiàn)交DF延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接AH、AF，如圖所示，則∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中點(diǎn)，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延長(zhǎng)ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF．②由①知，S△ADF=DF2=AD2，由旋轉(zhuǎn)知，當(dāng)A、C、D共線(xiàn)時(shí)，且D在A、C之間時(shí)，AD取最小值為3－1=2，當(dāng)A、C、D共線(xiàn)時(shí)，且C在A、D之間時(shí)，AD取最大值為3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)及判定、全等三角形判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．構(gòu)造全等三角形及將面積的最值轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段的最值是解題關(guān)鍵．遇到題干中有“中點(diǎn)”時(shí)，采用平行線(xiàn)構(gòu)造出對(duì)頂三角形全等是常用輔助線(xiàn)．19．已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AB＝，BE＝2．以BE為邊向右側(cè)作正方形BEFG，將

正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度(0≤≤90°)，連結(jié)AE，CG（如圖）．(1)求證：△ABE≌△CBG．(2)當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求CG的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，正方形BEFG停止旋轉(zhuǎn)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線(xiàn)段AE掃過(guò)的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）由正方形ABCD，正方形BEFG，可知，，，結(jié)合，可得，即可證得；（2）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)H，利用，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上，可知旋轉(zhuǎn)的角度為45°，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可得其對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，即可求出AH，進(jìn)而在Rt△AEH中求出AE，再根據(jù)（1）中的結(jié)論可知AE=CG，即可求出CG；（3）點(diǎn)E的軌跡為一段圓弧MN，AE掃過(guò)的面積為圖中陰影部分的面積，記為S，利用，可在Rt△AEB中，求出AE，進(jìn)而求出，得到，即，則△ABE的面積和扇形MBE的面積可求，即可求出S．（1）證明∵正方形ABCD，正方形BEFG，∴，，，∵，，∴，

∴，結(jié)論得證；（2）如圖1所示，連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)H，∵正方形ABCD，點(diǎn)E在BD上，∴，，∵，，∴，，在Rt△AEH中，，∴，根據(jù)（1）的結(jié)論可知有：AE=CG，則CG=；（3）如圖2所示，由題意可知，點(diǎn)E的軌跡為一段圓弧MN，AE掃過(guò)的面積為圖中陰影部分的面積，記為S，當(dāng)時(shí)，在Rt△AEB中，，，則有，

∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題是考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、銳角的三角函數(shù)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，是一道綜合性的大題，本題題難度不大，合理構(gòu)造出輔助線(xiàn)以及準(zhǔn)確確定直線(xiàn)掃過(guò)的面積是解答本題的關(guān)鍵．20．問(wèn)題探究（1）如圖1，中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______；（2）如圖2，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；問(wèn)題解決（3）如圖3，是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中，，邊上的點(diǎn)為休息區(qū)，米，米，兩條觀光小路和（小路寬度不計(jì)，在邊上，在邊上）擬將這個(gè)展示區(qū)分成三個(gè)區(qū)域，用來(lái)展示不同的花卉，根據(jù)實(shí)際需要，，并且要求四邊形的面積盡可能大，那么是否存在滿(mǎn)足條件的四邊形？若存在，請(qǐng)求出四邊形的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）存在最小值是；理由見(jiàn)解析；（3）存在，最大值是平方米．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，，根據(jù)勾股定理求出BC的值，進(jìn)而可得AC′的值，再根據(jù)勾股定理可得AA′的長(zhǎng)；（2）如圖2，作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得，則，所以x的最小值是2，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論；（3）存在，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，則，根據(jù)等腰直角三角形的判定得，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，證明M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，根據(jù)面積差得S四邊形EFCH，則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，四邊形EFCH的面積最大，作△EMFF的外接圓，，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)米，最后計(jì)算出FM的最小值即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，，根據(jù)勾股定理，得，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得：，故答案為：；（2）的面積存在最小值，最小值是；理由如下：如圖2，作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，

∵，∴．∵，∴，∵，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值是2．∵，∴的最小值是，此時(shí)，∴的面積存在最小值，最小值是；（3）存在，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，，∴，∴．∵，

∴，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，，三點(diǎn)共線(xiàn)．∵，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，四邊形的面積最大，作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)米，∵，，∴，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，．∵，∴，∴，此時(shí)的最小值是，∴（平方米），∴四邊形的面積的最大值是平方米．

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，三角形高的最小值問(wèn)題，三角形的外接圓，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線(xiàn)，利用輔助圓和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)作三角形解決問(wèn)題．21．如圖1，在中，，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D做邊的垂線(xiàn)，交邊于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_______，直線(xiàn)相交形成的較小角的度數(shù)為_(kāi)_______；(2)【拓展探究】試判斷：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明；(3)【問(wèn)題解決】當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)，；(2)無(wú)變化，見(jiàn)詳解；(3)或．【分析】（1）根據(jù)CD=BC-DB，求出CD，利用勾股定理求出BE，AB，再求出AE即可求出，根據(jù)等腰直角三角形ABC求出，即可求出AE，CE相交形成較小的度數(shù)；

（2）延長(zhǎng)AE，CD交于F，證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，，利用三角形的內(nèi)解得，求得的度數(shù)即可求解；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，先證出，再在中，求出AD，在中，求出CF，最后求出的面積；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，先求出，再求出AD，CD，CF，最后求出的面積即可求解．（1）解：中，，，，，，故答案為：；（2）解：（1）中的兩個(gè)結(jié)論不發(fā)生變化，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AE，CD交于F，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，

，，，，即，，（1）中的兩個(gè)結(jié)論不發(fā)生變化．（3）解：分情況討論：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，在中，，，由（2）知，，，，，，在中，，；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，

在中，，，，由（2）知，，，，由（2）知，綜上，的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及計(jì)算三角形的面積，利用勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．在中中．，，點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上運(yùn)動(dòng)．連接AE，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．

(1)如圖1，點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)；①當(dāng)，時(shí)，則_________°；②猜想線(xiàn)段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________．(2)如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第（1）間中線(xiàn)段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．(3)點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫(xiě)出x的取值范圍）．【答案】(1)①30；②AC+CF=CE；(2)CA-CF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=．【分析】（1）①利用三角函數(shù)求出，即可得到答案；②過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于D，證明△АВЕ≌△ЕDF，得到AB=ED=BC，可得CF=CD，AC=AB=ED，由此得到AC+CF=CE；（2）過(guò)F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，易證△ABE≌△EHF，得到△FHC是等腰直角三角形，CH=BE=FC，即可證得EC=BC-BE=AC-FC，由此得到結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接利用面積公式計(jì)算即可；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AF，勾股定理求出AE，利用代入計(jì)算即可．（1）解：①∵AB=，BE=2，∠ABC=90°，∴，∴∠EAB=30°，故答案為：30；②過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于D，如圖3，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠DEF，∵AE=EF，∠ABE=∠EDF=90°，

∴△АВЕ≌△ЕDF，∴AB=ED=BC，∴FD=DC，∴CF=CD，AC=AB=ED，∴AC+CF=CD+ED=(CD+ED)=CE；故答案為：AC+CF=CE；（2）過(guò)F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，如圖4，∵∠AEF=90°，AE=EF，易證△ABE≌△EHF，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴△FHC是等腰直角三角形，∴CH=BE=FC，∴EC=BC-BE=AC-FC，即CA-CF=CE；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，==；如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AF，根據(jù)勾股定理，得，由旋轉(zhuǎn)得AE=EF，∴EC=EH-CH=BC-BE=，∴==，綜上，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形的全等，線(xiàn)段之間關(guān)系的猜想與證明，分類(lèi)思想，圖形的面積，熟練掌握分類(lèi)思想，學(xué)會(huì)構(gòu)造直角三角形，圖形面積的分割是解題的關(guān)鍵．23．已知：與中，，，，，，現(xiàn)將和按圖的方式擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，并按如下方式運(yùn)動(dòng)．

運(yùn)動(dòng)一：如圖，從圖的位置出發(fā)，以的速度沿方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，與相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)二：在運(yùn)動(dòng)一的基礎(chǔ)上，如圖，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)在上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)；運(yùn)動(dòng)三：在運(yùn)動(dòng)二的基礎(chǔ)上，如圖，以的速度沿向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)為止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，中間的暫停不計(jì)時(shí)，解答下列問(wèn)題(1)在從運(yùn)動(dòng)一到最后運(yùn)動(dòng)三結(jié)束時(shí)，整個(gè)過(guò)程共耗時(shí)