分式不等式的解法講義

./不等式的解法1．一元二次不等式的解法<1>含有未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．<2>一元二次不等式的解法<如下表所示>設(shè)a＞0,x1,x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩實根,且x1＜x2<3>對于一元二次不等式的解法需注意：①eq\f<x－a,x－b>≥0<a＜b>的解集為：{x|x≤a或x＞b}；eq\f<x－a,x－b>≤0<a＜b>的解集為：{x|a≤x＜b}．②從函數(shù)觀點來看,一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0<a＞0>的解集是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c<a＞0>在x軸上方的點的橫坐標的集合．③三個"二次"的關(guān)系常說的三個"二次"即指二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式,這三者之間有著密切的聯(lián)系,這種聯(lián)系點可以成為高考中的命題點．處理其中某類問題時,要善于產(chǎn)生對于另外兩個"二次"的聯(lián)想,或進行轉(zhuǎn)化,或幫助分析．具體到解一元二次不等式時,就是要善于利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象進行解題分析,要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區(qū)間的端點值的聯(lián)系．2．解一元二次不等式的方法：<1>圖象法：先求不等式對應(yīng)方程的根,再根據(jù)圖象寫出解集．<2>公式法步驟：①先化成標準型：ax2＋bx＋c＞0<或＜0>,且a＞0；②計算對應(yīng)方程的判別式Δ；③求對應(yīng)方程的根；④利用口訣"大于零在兩邊,小于零在中間"寫出解集．3．解絕對值不等式的基本思想1解絕對值不等式的基本思想是去掉絕對值符號,把帶有絕對值號的不等式等價轉(zhuǎn)化為不含絕對值號的不等式求解,常采用的方法是討論符號和平方,例如： <1>若a＞0,則│x│＜a?－a＜x＜a?x2＜a2； <2>若a＞0,則│x│＞a?x＜－a,或x＞a?x2＞a2；<3>|f<x>|<g<x>?－g<x><f<x><g<x>；<4>|f<x>|>g<x>?f<x>>g<x>或f<x><－g<x><無論g<x>是否為正>．常用的方法有：<1>由定義分段討論；<2>利用絕對值不等式的性質(zhì)；<3>平方．2常見絕對值不等式及解法：<1>|f<x>|＞a<a＞0>?f<x>＞a或f<x>＜－a；<2>|f<x>|＜a<a＞0>?－a＜f<x>＜a；<3>|x－a1|＋|x－a2|＞<＜>b,用零點分區(qū)間法．4．一般分式不等式的解法：<1>整理成標準型eq\f<fx,gx>＞0<或＜0>或eq\f<fx,gx>≥0<或≤0>．<2>化成整式不等式來解：①eq\f<fx,gx>＞0?f<x>·g<x>＞0②eq\f<fx,gx>＜0?f<x>·g<x>＜0③eq\f<fx,gx>≥0?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<fx·gx≥0,gx≠0>>④eq\f<fx,gx>≤0?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<fx·gx≤0,gx≠0>><3>再討論各因子的符號或按數(shù)軸標根法寫出解集．★熱點考點題型探析★考點1一元二次不等式的解法題型1.解一元二次不等式[例1]不等式的解集是<>A．B.C.D.[解題思路]嚴格按解題步驟進行[解析]由得,所以解集為,故選D;別解:抓住選擇題的特點,顯然當時滿足不等式,故選D.[名師指引]解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型2.已知一元二次不等式的解集求系數(shù).[例2]已知關(guān)于的不等式的解集為,求的解集.[解題思路]由韋達定理求系數(shù)[解析]由的解集為知,為方程的兩個根,由韋達定理得,解得,∴即,其解集為.[名師指引]已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韋達定理求系數(shù)[新題導(dǎo)練]1.不等式〔－22+2<－2>-4＜0,對一切∈R恒成立,則a的取值范圍是〔

A.〔-∞,2]

B.〔-2,2]

C.〔-2,2

D.〔-∞,2>解析：∵可推知-2＜a＜2,另a=2時,原式化為-4＜0,恒成立,∴-2＜a≤2.選B2.關(guān)于的不等式<-1><-2>＞0,若此不等式的解集為{|＜x＜2},則的取值范圍是A.＞0

B.0＜＜2

C.＞

D.＜0解析：由不等式的解集形式知m＜0.答案：D考點2含參數(shù)不等式的解法題型1：解含參數(shù)有理不等式例1：解關(guān)于的一元二次不等式[解題思路]比較根的大小確定解集解析：∵,∴⑴當,不等式解集為；⑵當時,不等式為,解集為；⑶當,不等式解集為[名師指引]解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論:①根據(jù)二次項系數(shù)<大于0,小于0,等于0>;②根據(jù)根的判別式討論<>.③根據(jù)根的大小討論<>.題型2：解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式例2.解不等式loga<1－>＞1[解題思路]借助于單調(diào)性進行分類討論解析<1>當a＞1時,原不等式等價于不等式組①②由此得1－a＞.因為1－a＜0,所以x＜0,∴＜x＜0.①②<2>當0＜a＜1時,原不等式等價于不等式組：由①得x＞1或x＜0,由②得0＜x＜,∴1＜x＜.綜上,當a＞1時,不等式的解集是{x|＜x＜0,當0＜a＜1時,不等式的解集為{x|1＜x＜}.[名師指引]解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般的不等式<組>來求解,當?shù)讛?shù)含參數(shù)時要進行分類討論.[新題導(dǎo)練]3.關(guān)于的不等式的解集為<>A.B.C.D.以上答案都不對解析:原不等式可化為,需對分三種情況討論,即不等式的解集與有關(guān).4.解關(guān)于的不等式：解析：當；當,當5.考點3分式不等式及高次不等式的解法[例5]解不等式:[解題思路]先分解因式,再標根求解[解析]原不等式,各因式根依次為-1,1,2,4,在數(shù)軸上標根如下:4421-1x所以不等式的解集為.[名師指引]求解高次不等式或分式不等式一般用根軸法,要注意不等式的解集與不等式對應(yīng)的方程的根的關(guān)系.[新題導(dǎo)練]5.若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_______解析:原不等式,結(jié)合題意畫出圖可知.6.解關(guān)于解：=1\*GB3①若；=2\*GB3②若；=3\*GB3③若7.〔XX省XX中學(xué)2008—2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試解不等式．解析：即得所以原不等式的解集為考點4簡單的恒成立問題題型1:由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例1.若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.[解題思路]結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解[解析]當時,不等式解集不為,故不滿足題意;當時,要使原不等式解集為,只需,解得綜上,所求實數(shù)的取值范圍為[名師指引]不等式對一切恒成立或不等式對任意恒成立或題型2.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍[解題思路]先分離系數(shù),再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.[解析]<1>設(shè).由得,故.∵∴即,所以,解得∴<2>由<1>知在恒成立,即在恒成立.令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.所以的取值范圍是.[名師指引]對一切恒成立,則;對一切恒成立,則;[新題導(dǎo)練]8.不等式對一切R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_______．[解析]：不等式對一切R恒成立,即對一切R恒成立若=0,顯然不成立若0,則∴9.若不等式x2＋ax＋10對于一切x〔0,成立,則a的取值范圍是 〔 A．0 B．–2 C．- D．-3解析：設(shè)f〔x＝x2＋ax＋1,則對稱軸為x＝,若,即a－1時,則f〔x在〔0,〕上是減函數(shù),應(yīng)有f〔0－x－1故a0若0,即－1a0,則應(yīng)有f〔＝恒成立,故－1a0．綜上,有－a,故選C．★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.不等式的解集是__________解析:將不等式轉(zhuǎn)化成,即.]2.若不等式的解集為,則不等式的解集為__________..解析:先由方程的兩根為2和3求得后再解不等式.得3.<XX省五校20XX高三上期末聯(lián)考>若關(guān)于的不等式的解集為空集,則實數(shù)的取值范圍是．解析：的解集為空集,就是1=[]max＜所以4<08XX>設(shè)命題P：函數(shù)的定義域為R；命題q：不等式對一切正實數(shù)均成立。如果命題p或q為真命題,命題p且q為假命題,求實數(shù)的取值范圍。解：命題P為真命題函數(shù)定義域為R對任意實數(shù)均成立解集為R,或∴命題P為真命題5.解關(guān)于x的不等式<k≥0,k≠1>.原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集為空集；2°若1－k>0,即0<k<1時,原不等式等價于此時－2=>0,∴若0<k<1,由原不等式的解集為{x|2<x<}；3°若1－k<0,即k>1時,原不等式等價于此時恒有2>,所以原不等式的解集為{x|x<,或x>2}.綜合拔高訓(xùn)練6..已知ａ＞０,且ａ≠１,解關(guān)于x的不等式：解：原不等式等價于原不等式同解于7分由①②得１＜ａｘ＜４,由③得從而1＜ａｘ≤２１０分①當ａ＞1時,原不等式解為｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②當０＜ａ＜１時,原不等式解為｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０6.<XX省XX外國語學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢>據(jù)調(diào)查,某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民,人均收入3000元,為了增加農(nóng)民的收入,當?shù)卣e極引進資本,建立各種加工企業(yè),對當?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進行深加工,同時吸收當?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作,據(jù)估計,如果有x<x＞0>萬人進企業(yè)工作,那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%,而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元〔a＞0?！睮在建立加工企業(yè)后,要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入,試求x的取值范圍；〔II在〔I的條件下,當?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民〔即x多大時,能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達到最大。解：〔I由題意得〔100-x·3000·〔1+2x%≥100×3000,即x2－50x≤0,解得0≤x≤50,又∵x＞0∴0＜x≤50；〔II設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元,則y=eq\f<<100－x>×3000×<1+2x%>+3000ax,100>=eq\f<－60x2+3000<a+1>x+300000,100>=－eq\f<3,5>[x－25<a+1>]2+3000+475<a+1>2<0<x≤50>〔i當0<25<a+1>≤50,即0＜a≤1,當x=25<a+1>時,y最大；〔ii當25<a+1>＞50,即a＞1,函數(shù)y在〔0,50]單調(diào)遞增,∴當x=50時,y取最大值答：在0＜a≤1時,安排25<a+1>萬人進入企業(yè)工作,在a＞1時安排50萬人進入企業(yè)工作,才能使這100萬人的人均年收入最大