（普通班）高三數(shù)學一輪復(fù)習 第八篇 立體幾何與空間向量 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)對點練 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

第5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【選題明細表】知識點、方法題號與垂直相關(guān)命題的判斷3,9直線與平面垂直1,6,10平面與平面垂直2,4,7,15線面角、二面角5,8,14綜合問題11,12,13基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘)1.一條直線和一個圓的兩條直徑都垂直,則這條直線和這個圓所在的平面的位置關(guān)系是(B)(A)平行 (B)垂直(C)相交不垂直 (D)不確定解析:因為一個圓的兩條直徑一定相交于圓心,由線面垂直的判定定理知這條直線和這個圓所在的平面垂直.2.在空間四邊形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E為對角線AC的中點,下列判斷正確的是(D)(A)平面ABD⊥平面BDC(B)平面ABC⊥平面ABD(C)平面ABC⊥平面ADC(D)平面ABC⊥平面BED解析:因為AB=BC且AE=EC,所以AC⊥BE,同理AC⊥DE,所以AC⊥平面BED,所以平面ABC⊥平面BED.3.(2015石家莊調(diào)研)設(shè)a,b表示直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命題中正確的是(D)(A)若a⊥α且a⊥b,則b∥α(B)若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β(C)若a∥α且a∥β,則α∥β(D)若γ∥α且γ∥β,則α∥β解析:A項中,應(yīng)該是b∥α或b?α;B項中,如果是墻角的三個面就不符合題意;C項中,α∩β=m,若a∥m時,滿足a∥α,a∥β,但是α∥β不正確.故選D.4.(2016南昌模擬)設(shè)a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“a?α,b?β,且α⊥β”的平面α,β(D)(A)不存在 (B)有且只有一對(C)有且只有兩對 (D)有無數(shù)對解析:過直線a的平面α有無數(shù)個,當平面α與直線b平行時,兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α,當平面α與b相交時,過交點作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α.5.已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為QUOTE94,底面是邊長為3的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為(B)(A)5π12 (B)QUOTEπ3 (C)QUOTEπ4 (D)QUOTEπ6解析:如圖三棱柱ABCA1B1C1,P為底面A1B1C1的中心,取△ABC中心P′,連接PP′,AP,AP′,則∠PAP由AP′=QUOTE23×(3)2又S△ABC=QUOTE12×3×3×sin60°=334,334·PP′=QUOTE94,PP′=3,所以tan∠PAP′=PP'AP'=3,即∠PAP′=QUOTEπ36.如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長為2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點,F是BB1上的動點,AB1,DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1(A)QUOTE12 (B)1(C)QUOTE32 (D)2解析:設(shè)B1F因為AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1=2,矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=Btan∠A1AB1=A1B1又∠FDB1=∠A1AB1,所以B1FB故B1F=22×22=QUOTE127.(2015山東濰坊質(zhì)檢)如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)

解析:連接AC,BD交于O,因為底面各邊相等,所以BD⊥AC;又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)8.四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,頂點在底面上的射影是底面正方形的中心,一個對角面的面積是一個側(cè)面面積的62倍,則側(cè)面與底面所成銳二面角等于.解析:如圖所示,根據(jù)122ah12ah'=62,得QUOTEhh'=32答案:QUOTEπ39.(2015內(nèi)蒙高三期末)設(shè)α和β為不重合的兩個平面,給出下列命題:①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α∥β;②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l∥α;③設(shè)α∩β=l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α⊥β;④直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直.其中所有的真命題的序號是.

解析:若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α∥β,所以①正確;若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l∥α,所以②正確;設(shè)α∩β=l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α與β不一定垂直,所以③錯誤;直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直,所以④錯誤.所有的真命題的序號是①②.答案:①②10.(2014高考山東卷)如圖,四棱錐PABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=QUOTE12AD,E,F分別為線段AD,PC的中點.(1)求證:AP∥平面BEF;(2)求證:BE⊥平面PAC.證明:(1)設(shè)AC∩BE=O,連接OF,EC.由于E為AD的中點,AB=BC=QUOTE12AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四邊形ABCE為菱形,所以O(shè)為AC的中點.又F為PC的中點,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF?平面BEF,AP?平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由題意知ED∥BC,ED=BC.所以四邊形BCDE為平行四邊形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因為四邊形ABCE為菱形,所以BE⊥AC,又AP∩AC=A,AP,AC?平面PAC,所以BE⊥平面PAC.11.(2015洛陽三模)等邊三角形ABC的邊長為2,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC和BC的中點(如圖(1)).現(xiàn)將△ABC沿CD翻成直二面角ACDB(如圖(2)).(1)求證:AB∥平面DEF;(2)求多面體DABFE的體積.(1)證明:如題圖(2)所示,在△ABC中,因為E,F分別是AC,BC的中點,所以EF∥AB.又AB?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB∥平面DEF.(2)解:由直二面角ADCB知平面ADC⊥平面BCD,又在圖(1)中,AD⊥CD,所以AD⊥平面BCD,V三棱錐ABCD=QUOTE13·S△BCD·AD=3V三棱錐EFCD=QUOTE13×QUOTE12S△BCD·QUOTE12AD=324,所以,多面體DABFE的體積V=V三棱錐ABCD-V能力提升練(時間:15分鐘)12.(2016四川綿陽診斷)已知l,m,n是三條不同的直線,α,β是不同的平面,則α⊥β的一個充分條件是(D)(A)l?α,m?β,且l⊥m(B)l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n(C)m?α,n?β,m∥n,且l⊥m(D)l?α,l∥m,且m⊥β解析:對于A,l?α,m?β,且l⊥m,如圖(1),α,β不垂直;對于B,l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n,如圖(2),α,β不垂直;對于C,m?α,n?β,m∥n,且l⊥m,直線l沒有確定,則α,β的關(guān)系也不能確定;對于D,l?α,l∥m,且m⊥β,則必有l(wèi)⊥β,根據(jù)面面垂直的判定定理知α⊥β.13.(2016天津模擬)如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學生得出下列四個結(jié)論:①BD⊥AC;②△BAC是等邊三角形;③三棱錐DABC是正三棱錐;④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是(B)(A)①②④ (B)①②③(C)②③④ (D)①③④解析:由題意知BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正確;AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等邊三角形,②正確;易知DA=DB=DC,又由②知③正確;由①知④錯誤.14.如圖,在錐體PABCD中,ABCD是邊長為1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=2,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點.(1)證明:AD⊥平面DEF;(2)求二面角PADB的余弦值.(1)證明:如圖,取AD的中點O,連接PO,BO,BD.因為四邊形ABCD是邊長為1的菱形,∠DAB=60°,所以△ABD為等邊三角形,所以BO⊥AD.因為PA=PD=2,所以PO⊥AD.又PO∩BO=O,所以AD⊥平面POB.因為E,F分別為BC,PC的中點,所以EF∥BP.由O為AD的中點,得DE∥OB.因為EF∩ED=E,所以平面POB∥平面DEF.所以AD⊥平面DEF.(2)解:由(1)知PO⊥AD,BO⊥AD,則∠POB為所求二面角的平面角.在等邊三角形ABD中,可得OB=32在△PAD中,可得PO=(2)2在△POB中,PB=2,由余弦定理得cos∠POB=PO2+OB所以二面角PADB的余弦值為-21715.(2015河北教學質(zhì)量監(jiān)測)已知四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=120°,PA=b.(1)求證:平面PBD⊥平面PAC;(2)設(shè)AC與BD交于點O,M為OC中點,若二面角OPMD的正切值為26,求a∶b的值.(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又底面ABCD為菱形,所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC,從而平面PBD⊥平面PAC.(2)解:過O作OH⊥PM交PM于H,連接HD.由(1)知DO⊥平面PAC,所以DH⊥PM,所以∠OHD為二面角OPMD的平面角.又OD=32a,OM=QUOTEa4,AM=3a4,且OHOM=從而OH=bb2+916a2·QUOTEatan∠OHD=ODOH=3(16所以9a2=16b2,即QUOTEab=QUOTE43.精彩5分鐘1.已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距離為1,則SA與平面ABC所成角的大小為(C)(A)30° (B)60°(C)30°或60° (D)45°或60°解題關(guān)鍵:注意分球心在三棱錐的內(nèi)部和外部兩種情況.解析:球心位置有以下兩種情況:球心在三棱錐內(nèi)部、球心在三棱錐外部.當球心在三棱錐內(nèi)部時,三棱錐為正三棱錐,設(shè)O′為△ABC的中心,在△ABC中,可求得O′A=3,所以可得OA=2,SO′=3,SA與平面ABC所成的角即∠SAO′,