高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練（十七）數(shù)列 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(十七)數(shù)列1．[2019·唐山摸底]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝eq\f(3an－1,2).(1)求an；(2)若bn＝(n－1)an，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)由已知可得，2Sn＝3an－1，①所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，化簡得an＝3an－1(n≥2)，在①中，令n＝1可得，a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而有an＝3n－1.(2)bn＝(n－1)3n－1，Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③則3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n＝eq\f(3－3n,1－3)－(n－1)×3n＝eq\f(3－2n×3n－3,2).所以Tn＝eq\f(2n－3×3n＋3,4).2．[2019·安徽示范高中]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2－an，n＝1,2,3，….數(shù)列{bn}滿足b1＝1，且bn＋1＝bn＋an.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝n(3－bn)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)∵n＝1時(shí)，a1＋S1＝a1＋a1＝2，∴a1＝1.∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，∴an＋1＋Sn＋1＝2.兩式相減得an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0，即an＋1－an＋an＋1＝0，故有2an＋1＝an，由Sn＝2－an，知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)(n∈N*)．∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，∴bn＋1－bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴b2－b1＝1，b3－b2＝eq\f(1,2)，b4－b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，…，bn－bn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2(n＝2,3，…)．將這n－1個(gè)等式相加得，bn－b1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1,1－\f(1,2))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2.又b1＝1，∴bn＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2(n＝2,3，…)，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，∴bn＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2(n∈N*)．(2)∵cn＝n(3－bn)＝2neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴Tn＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1]．①eq\f(1,2)Tn＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n]．②①－②得，eq\f(1,2)Tn＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1]－2×n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n(n∈N*)，Tn＝4×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))－4×n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝8－(8＋4n)×eq\f(1,2n)(n＝1,2,3，…)．3．[2019·洛陽統(tǒng)考]已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，若a3＋a9＝22，且a5，a8，a13成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an＋12,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋10d＝22,a1＋7d2＝a1＋4da1＋12d))，解得a1＝1，d＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.(2)bn＝eq\f(an＋12,anan＋1)＝eq\f(4n2,2n－12n＋1)＝eq\f(4n2,4n2－1)＝1＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Sn＝1＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋1＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝n＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(2n2＋2n,2n＋1).4．[2019·石家莊質(zhì)檢]已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a2＋a3＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,n＋2log3an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè){an}的公比為q，由a2＋a3＝12及a1＝1，得q＋q2＝12，解得q＝3或q＝－4.因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q>0，所以q＝3，所以an＝3n－1.(2)bn＝eq\f(1,n＋2log3an＋1)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，所以Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2n＋1n＋2).5．[2019·濟(jì)南質(zhì)量評估]已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，滿足a2＋a3＋a4＝15，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a2＋a3＋a4＝15得a3＝5，由a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，得aeq\o\al(2,2)＝a1·a5，所以(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)，解得d＝0或d＝2，因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以d＝2.又a3＝5，所以a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).6．[2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測一]已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝4，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝eq\f(4,bn·bn＋1)＋an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12得log2(a1a2a3)＝12，∴a1a2a3＝212.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212，計(jì)算得q＝4.∴an＝4·4n－1＝4n.(2)由(1)得bn＝log24n＝2n，cn＝eq\f(4,2n·2n＋1)＋4n＝eq\f(1,nn＋1)＋4n＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＋4n.設(shè)數(shù)列{eq\f(1,nn＋1)}的前n項(xiàng)和為An，則An＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，設(shè)數(shù)列{4n}的前n項(xiàng)和為Bn，則Bn＝eq\f(4－4n·4,1－4)＝eq\f(4,3)(4n－1)，∴Sn＝eq\f(n,n＋1)＋eq\f(4,3)(4n－1)．7．[2019·長沙四校一模]已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a3＝eq\f(1,2)，S3＝eq\f(3,2).(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)對于數(shù)列{Sn}中任意連續(xù)的三項(xiàng)，按照某種順序排列，是否成等差數(shù)列？解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由a3＝eq\f(1,2)，得a1＝eq\f(a3,q2)＝eq\f(1,2q2)，a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(1,2q).由S3＝eq\f(3,2)，得a1＋a2＋a3＝eq\f(3,2)，所以eq\f(1,2q2)＋eq\f(1,2q)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，解得q＝1或q＝－eq\f(1,2).(2)當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,2)，Sn＝eq\f(1,2)n，Sn＋1＝eq\f(1,2)(n＋1)，Sn＋2＝eq\f(1,2)(n＋2)，2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，即Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差數(shù)列，所以當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{Sn}中任意連續(xù)的三項(xiàng)Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差數(shù)列．當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，a1＝2，Sn＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1＋\f(1,2))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))，Sn＋1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋1))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))，Sn＋2＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋2))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))，Sn＋Sn＋1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))＋eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))＝eq\f(8,3)－eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，2Sn＋2＝eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))＝eq\f(8,3)－eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，所以2Sn＋2＝Sn＋Sn＋1，即Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差數(shù)列，所以當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，數(shù)列{Sn}中任意連續(xù)的三項(xiàng)Sn，Sn＋1，Sn＋2，按照順序Sn，Sn＋2，Sn＋1排列，成等差數(shù)列．8．[2019·河北九校聯(lián)考]已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與eq\f(1,an)的等差中項(xiàng)．(1)求