2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（d卷）

第1頁（共1頁）2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（D卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）過點且與直線平行的直線方程是A． B． C． D．2．（5分）已知直線與平行，則的值是A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或23．（5分）如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點，則等A． B． C． D．4．（5分）過點且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線方程是A． B．或 C． D．或5．（5分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為A． B． C． D．6．（5分）已知，從點射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程是A． B．6 C． D．7．（5分）圓關于直線對稱，則的最小值是A． B． C．4 D．8．（5分）設平面向量、，其中，則下列判斷錯誤的是．A．向量與軸正方向的夾角為 B．的最大值為 C．與的夾角的最大值為 D．的最大值為1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．（5分）已知直線，，，以下結論正確的是A．不論為何值時，與都互相垂直 B．當變化時，與分別經(jīng)過定點和 C．不論為何值時，與都關于直線對稱 D．如果與交于點，則的最大值是10．（5分）已知正四面體的棱長為2，、分別為、的中點．下列說法正確的有A．該正四面體的體積為 B．異面直線與所成角的余弦值為 C． D．該正四面體的內切球體積為11．（5分）在平面直角坐標系中，過直線上任一點作圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是A．當四邊形為正方形時，點的坐標為 B．的取值范圍為， C．不可能為鈍角 D．當為等邊三角形時，點的坐標為12．（5分）在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，且同時滿足下列兩個條件：①，，且、和構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；②的模表示向量、的夾角）．在正方體中，有以下四個結論，正確的有A． B． C．與共線 D．與正方體體積數(shù)值相等三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）直線與直線的交點坐標為．14．（5分）過圓與直線的兩個交點，且面積最小的圓的方程是．15．（5分）在平面直角坐標系中，已知為等腰三角形，，，點在軸的正半軸上，則直線的方程為．16．（5分）如圖，是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，已知的頂點為，，．求：（Ⅰ）邊上的中線所在直線的方程；（Ⅱ）邊上的高線所在直線的方程．18．（12分）已知直線．（1）若直線的斜率小于2，求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點，求面積最大值及此時的方程．19．（12分）已知，是實數(shù)，且．（1）求的最值；（2）求的取值范圍；（3）求的最值．20．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，分別為，的中點，．（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值．21．（12分）已知四邊形為直角梯形，其中，且，．現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．22．（12分）已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線、均過點，且斜率之積為，則稱直線、是一組“共軛線對”，如直線，是一組“共軛線對”，其中是坐標原點．（1）已知、是一組“共軛線對”，求、的夾角的最小值；（2）已知點、點和點分別是三條直線、、上的點、、與、、均不重合），且直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，求點的坐標；（3）已知點，直線、是“共軛線對”，當?shù)男甭首兓瘯r，求原點到直線、的距離之積的取值范圍．

2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（D卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）過點且與直線平行的直線方程是A． B． C． D．【分析】設過點且與直線平行的直線方程為，把代入能求出結果．【解答】解：設過點且與直線平行的直線方程為：，把代入，得．過點且與直線平行的直線方程為．故選：．【點評】本題考查直線方程的求法，考查直線與直線平行的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．（5分）已知直線與平行，則的值是A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2【分析】當時，求出兩直線的方程，檢驗是否平行；當時，由一次項系數(shù)之比相等且不等于常數(shù)項之比，求出的值．【解答】解：由兩直線平行得，當時，兩直線的方程分別為和，顯然兩直線平行．當時，由，可得．綜上，的值是3或5，故選：．【點評】本題考查由直線的一般方程求兩直線平行時的性質，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．3．（5分）如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點，則等A． B． C． D．【分析】由已知中、分別是、的中點，根據(jù)三角形中位線定理及數(shù)乘向量的幾何意義，我們可將原式化為，然后根據(jù)向量加法的三角形法則，易得到答案．【解答】解：、分別是、的中點，，故選：．【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中將化為，是解答本題的關鍵．4．（5分）過點且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線方程是A． B．或 C． D．或【分析】當直線過原點時，由斜截式求出直線的方程，當當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入解得值，即可得到直線的方程，由此得出結論．【解答】解：當直線過原點時，再由直線過點，可得直線的斜率為，故直線的方程為，即．當直線不過原點時，設直線在軸上的截距為，則在軸上的截距是，直線的方程為，把點代入可得，解得．故直線的方程為，即．故選：．【點評】本題主要考查用截距式求直線方程的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．5．（5分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為A． B． C． D．【分析】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，求出與所成角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關系式求解異面直線與所成角的正弦值．【解答】解：如圖，底面，底面為正方形，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，0，，，1，，，0，，，2，，，，，異面直線與所成角的正弦值為．故選：．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間向量的應用，是基礎題．6．（5分）已知，從點射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程是A． B．6 C． D．【分析】如圖所示，分別作出點關于直線的對稱點，點關于軸的對稱點，可得點，，，在同一條直線上，線段即為所求．【解答】解：如圖所示，分別作出點關于直線的對稱點，點關于軸的對稱點，則點，，，在同一條直線上，線段即為所求，易知：，直線方程為：，設點，則，解得，．點．光線所經(jīng)過的路程是，故選：．【點評】本題考查了互垂直的直線斜率之間的關系、對稱點的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7．（5分）圓關于直線對稱，則的最小值是A． B． C．4 D．【分析】求出圓的圓心代入直線方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：圓，圓關于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，把圓心代入直線，得：，，，當且僅當時取得最小值，故選：．【點評】本題考查代數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質和均值定理的合理運用．8．（5分）設平面向量、，其中，則下列判斷錯誤的是．A．向量與軸正方向的夾角為 B．的最大值為 C．與的夾角的最大值為 D．的最大值為1【分析】在中，取軸的正方向向量，0，，求出與的夾角即可判斷命題正確；在中，計算，利用不等式求出最大值即可判斷命題錯誤；在中，利用數(shù)量積求出與的夾角的最大值，即可判斷命題正確；在中，利用不等式求出最大值即可判斷命題正確．【解答】解：對于，設軸正方向的方向向量，則，，，向量與軸正方向的夾角為定值，故正確；對于，，當且僅當、時取等號，的最大值為1，故錯誤；對于，由選項可知，，，又，，，與的夾角的最大值為，故正確；對于，由，當且僅當、時取等號，的最大值為1，故正確．故選：．【點評】本題考查了空間向量的坐標運算、數(shù)量積的性質等基礎知識與基本技能方法，考查運算求解能力，是中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．（5分）已知直線，，，以下結論正確的是A．不論為何值時，與都互相垂直 B．當變化時，與分別經(jīng)過定點和 C．不論為何值時，與都關于直線對稱 D．如果與交于點，則的最大值是【分析】對于，利用兩條直線垂直的充要條件，即可求解，對于，求出兩條直線恒過的定點坐標，即可求解，對于，利用點關于直線的對稱點，即可求解，對于，先求出兩條直線的交點的坐標，再結合兩點之間的距離公式，即可求解．【解答】解：對于，直線，，又，無論為何值，與都互相垂直，故正確，對于，直線，當時，，則直線恒過定點，直線，當時，，則直線恒過定點，故正確，對于，設直線上任意一點，則點關于直線的對稱性點為，將點代入直線，可得，與點在直線上矛盾，對于，聯(lián)立方程組，解得，故，則，所以的最大值是，故正確．故選：．【點評】本題主要考查了直線與直線的位置關系，動直線恒過定點問題，直線與直線垂直的充要條件的應用，直線關于直線的對稱性問題，屬于中檔題．10．（5分）已知正四面體的棱長為2，、分別為、的中點．下列說法正確的有A．該正四面體的體積為 B．異面直線與所成角的余弦值為 C． D．該正四面體的內切球體積為【分析】由四面體的性質，逐個判斷即可得出答案．【解答】解：對于：過點作平面于點，由四面體性質可知，為的中心，計算可得，所以該四面體的體積為，故錯誤；對于：取中點，連接，由，可知異面直線與所成角即為，在中，，，由余弦定理計算可得，故正確；對于：由于正四面體的相對棱互相垂直可知，，則，故正確；對于：設四面體的內切球半徑為．由等體積，可知，該四面體的內切球體積為，故正確，故選：．【點評】本題考查線面的位置關系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．11．（5分）在平面直角坐標系中，過直線上任一點作圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是A．當四邊形為正方形時，點的坐標為 B．的取值范圍為， C．不可能為鈍角 D．當為等邊三角形時，點的坐標為【分析】利用已知條件，轉化求解的坐標，判斷的正誤．通過距離公式判斷的正誤．求解角的范圍判斷的正誤．判斷點的個數(shù)判斷的正誤．【解答】解：對于選項，由題意四邊形為正方形，可知，原點到直線的距離為，當四邊形為正方形時，，，此時直線，即，聯(lián)立兩直線得此時點的坐標為，所以正確．對于選項，，當點的坐標為時，此時最短為1，則的取值范圍為，，所以正確．對于選項，當點的坐標為時，此時，當點的坐標不為時，由可知，的取值范圍為，，，大邊對大角，，，所以正確．對于選項，當時，存在兩個點使得為等邊三角形，所以錯誤．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．12．（5分）在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，且同時滿足下列兩個條件：①，，且、和構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；②的模表示向量、的夾角）．在正方體中，有以下四個結論，正確的有A． B． C．與共線 D．與正方體體積數(shù)值相等【分析】根據(jù)所給定義及正方體的性質一一計算可得．【解答】解：設正方體棱長為1，對于，，，故正確；對于：由、和構成右手系知，與方向相反，由模的定義可知，，即，，故不正確；對于：在正方體中，、，而，平面，又平面，，同理，再由右手系知，與共線，故正確；對于，又正方體體積為1，與正方體體積數(shù)值相等，故正確．故選：．【點評】本題考查空間向量的基本概念，理解新定義是解本題的關鍵，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）直線與直線的交點坐標為．【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩直線的方程，解之即可得交點坐標．【解答】解：聯(lián)立，解得、，與的交點坐標為．故答案為：．【點評】本題考查直線的交點坐標，注意直線的交點與方程組的解之間的關系，是基礎題．14．（5分）過圓與直線的兩個交點，且面積最小的圓的方程是．【分析】根據(jù)題意可設所求圓的方程為：，再根據(jù)其圓心，在直線上建立方程，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可設所求圓的方程為：，即，又該圓面積最小，其圓心，在直線上，，解得，所求圓的方程為．故答案為：為．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，圓系方程的應用，方程思想，屬中檔題．15．（5分）在平面直角坐標系中，已知為等腰三角形，，，點在軸的正半軸上，則直線的方程為．【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系以及點斜式即可求解直線方程．【解答】解：因為，所以，即，所以直線的方程為，即．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：直線的方程的求法，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題．16．（5分）如圖，是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為．【分析】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，的坐標，利用距離公式，即可得到結論．【解答】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設平面的法向量是，則，2，，，1，由，可得取得，，0，，到平面的距離．【點評】本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，已知的頂點為，，．求：（Ⅰ）邊上的中線所在直線的方程；（Ⅱ）邊上的高線所在直線的方程．【分析】（Ⅰ）先求出線段的中點，再根據(jù)，用兩點式求出邊上的中線所在直線的方程．（Ⅱ）先求出直線的斜率，可得邊上的高線的斜率，再用點斜式求出邊上的高線所在直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，線段的中點，再根據(jù)，可得邊上的中線所在直線的方程為，即．（Ⅱ）由于直線的斜率為，故邊上的高線的斜率為，邊上的高線所在直線的方程為，即．【點評】本題主要考查直線的斜率公式，用點斜式、兩點式求直線的方程，屬于基礎題．18．（12分）已知直線．（1）若直線的斜率小于2，求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點，求面積最大值及此時的方程．【分析】（1）利用斜率計算公式即可得出；（2）求出與坐標軸的交點坐標，利用三角形的面積計算公式和二次函數(shù)的單調性即可得出．【解答】解：（1）直線過點和，且，斜率，即，等同于且且，解得且或，實數(shù)的取值范圍是，，，；（2）由題意可知且，解得，則的面積，當時，面積取最大值2，此時直線的方程為．【點評】本題主要考查了直線的斜率公式及直線方程的求解，屬于中檔題．19．（12分）已知，是實數(shù)，且．（1）求的最值；（2）求的取值范圍；（3）求的最值．【分析】（1）首先設，利用直線與圓有交點，列式求的最值；（2）首先設，轉化為直線與圓有交點，列不等式求的取值范圍；（3）根據(jù)的幾何意義，轉化為圓上的點與原點距離的最值．【解答】解：（1）設，化為，可知直線與圓有交點，圓心，半徑為2，有，解得，可得的最小值為1，最大值為21；（2）設，化為，可知直線與圓有交點，有，解得或，故的取值范圍為；（3）的幾何意義為坐標原點到圓上任意一點的距離，圓的圓心到坐標原點的距離為，故的最小值為，最大值為．【點評】本題考查了轉化思想、直線與圓的位置關系，屬于中檔題．20．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，分別為，的中點，．（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值．【分析】（1）通過線線垂直證明線面垂直，從而可證面面垂直；（2）通過與所成角為，可求的長，建立空間直角坐標系，利用向量法可求二面角的余弦值．【解答】（1）證明：平面平面平面．（2）解：易證：：連接，，，四邊形是平行四邊形，，所以是異面直線與所成的角，則，所以．以為坐標原點，，，分別為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，1，，，1，，，0，，，所以，，，設平面的法向量為，則有，令，則，所以．又平面的法向量，所以，．又因為二面角是鈍二面角，所以二面角的余弦值為．【點評】本題考查面面垂直的證明，二面角的求法，屬中檔題．21．（12分）已知四邊形為直角梯形，其中，且，．現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【分析】（1）設，結合已知可求出，，再取中點，連接，，則易得，再由勾股定理證得，從而可得平面，從而可得平面平面；（2）建系，將二面角的平面角轉化為兩半平面的法向量所成角，再利用向量夾角公式計算即可求解．【解答】解：（1）證明：設，則，，又由題意易得，取中點，連接，，則，又由題意易得，，，又，，，又，，平面，又平面，平面平面；（