高中數(shù)學(xué)教科書“拓展性課程資源”的教學(xué)應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教科書“拓展性課程資源”的教學(xué)應(yīng)用

摘要：本文論述高中數(shù)學(xué)教材中“拓展性課程資源”的應(yīng)用，從拓展完善知識結(jié)構(gòu)、閱讀感悟數(shù)學(xué)文化、探究發(fā)現(xiàn)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗三個方面闡述“拓展性課程資源”的有效利用，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：課程資源；數(shù)學(xué)探究；數(shù)學(xué)文化

在高中數(shù)學(xué)人教A版教材中，以“閱讀與思考、信息技術(shù)應(yīng)用、探究與發(fā)現(xiàn)”等欄目形式給出了“拓展性課程資源”。其內(nèi)容大致可以分為三類：體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心知識延伸和拓展的內(nèi)容，提供進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的課題與素材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容。這些課程資源有其特定的教育教學(xué)功能和價值，教師如果能用好這些資源，就能讓學(xué)生形成多樣化的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面結(jié)合具體例子談?wù)勗诮虒W(xué)實踐中如何有效利用這些“拓展性課程資源”。一、拓展深化，完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)拓展性課程資源中，有些是對數(shù)學(xué)核心知識的拓展和加深，它與教材正文內(nèi)容聯(lián)系緊密，一般難度較大。對其進(jìn)行探究，有助于學(xué)生對課本中的重難點(diǎn)知識進(jìn)行再加工，完善知識結(jié)構(gòu)。（一）關(guān)注概念起源，促進(jìn)概念理解在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，如果能了解其由來、發(fā)展背景和發(fā)展歷程，那么就能幫助學(xué)生理解概念的來龍去脈，加深對知識點(diǎn)的理解和應(yīng)用，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)和文化價值，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。以必修1“閱讀與思考”——對數(shù)的發(fā)明為例。在教學(xué)實踐中，學(xué)生感覺對數(shù)概念非常難理解，即使高一認(rèn)真學(xué)習(xí)掌握了對數(shù)的知識，到了高三還是會感到非常生疏，特別是經(jīng)常忘記對數(shù)運(yùn)算法則。其原因在于，現(xiàn)行教材強(qiáng)調(diào)對數(shù)源于指數(shù)，是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，教師在教學(xué)中是通過大量練習(xí)來鞏固運(yùn)算法則，學(xué)生不能理解對數(shù)運(yùn)算的意義，只能死記硬背。因此，在教學(xué)中引入閱讀材料“對數(shù)的發(fā)明”，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)對數(shù)最初是作為一種實用工具及方法引入的，然后才開始在純數(shù)學(xué)研究中占據(jù)一席之地，其最重要的應(yīng)用價值是簡化運(yùn)算。由于教材只是介紹對數(shù)發(fā)展的歷程，學(xué)生對如何簡化運(yùn)算還不是很清楚，這時教師需對材料進(jìn)行二次加工，先讓學(xué)生計算兩個大數(shù)之間的乘積，學(xué)生會感覺很困難，再引導(dǎo)學(xué)生將要運(yùn)算的數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪的形式，這樣就將整數(shù)的乘除轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加減。通過具體的實例讓學(xué)生體會“乘除”變“加減”的思想，感悟?qū)?shù)發(fā)明的最初動力。我們還可以讓學(xué)生對材料中提到的“對數(shù)計算尺”進(jìn)行研究，通過“知乎”網(wǎng)站了解它的設(shè)計原理和作用，通過優(yōu)酷網(wǎng)站觀看它的使用視頻，感受對數(shù)運(yùn)算的便捷。這種多角度、多方法、多形式的學(xué)習(xí)方式，能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。（二）深化知識學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識體系拓展性課程資源中，有很大一部分與教材正文內(nèi)容密切相關(guān)，也是高考要考察的重要內(nèi)容。例如在必修4《三角函數(shù)》這一章中，教材設(shè)置了“利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”，“利用正切函數(shù)線畫函數(shù)的圖像”，函數(shù)

及函數(shù)的周期”等拓展性資源，幫助學(xué)生更深刻的理解三角函數(shù)的意義，進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。又如必修5中“探究與發(fā)現(xiàn)—解三角形的進(jìn)一步討論”，研究的是已知三角形兩邊及其中一邊對角時解的個數(shù)問題，并對三角形各種類型的判定方法進(jìn)行了分析。教學(xué)中我們可以利用這個材料對解三角形的所有類型進(jìn)行總結(jié)，得出“知三求三”的解題思路，并針對不同類型使用正余弦定理進(jìn)行分析，幫助學(xué)生掌握綜合運(yùn)用正余弦定理解三角形的方法。我們還可以進(jìn)一步利用“閱讀與思考—海倫和秦九韶”做知識的延伸和拓展，對海倫公式和“三斜求積”公式進(jìn)行學(xué)習(xí)和證明，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，同時激勵學(xué)生探究新的知識，開闊數(shù)學(xué)視野，體會數(shù)學(xué)文化價值。（三）運(yùn)用信息技術(shù)，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)人教A版教材重視信息技術(shù)的應(yīng)用，通過“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，對一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀展現(xiàn)，使學(xué)生體驗“做數(shù)學(xué)”的過程。教材中的信息技術(shù)探究主要是運(yùn)用幾何畫板，通過“拖動”和“測量”兩種手段，讓圖形“動”起來，同時顯示反映圖形變化的數(shù)量特征，從而幫助學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。信息技術(shù)的作用主要有兩方面，一是通過動態(tài)作圖，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)運(yùn)動變化的規(guī)律。如必修1中的“借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”，“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系”，選修2-3中的“對正態(tài)分布的影響”等內(nèi)容。二是培養(yǎng)問題解決能力，由于教材對操作過程的敘述過于具體，使學(xué)生缺少探究和思考的空間，因此教師需根據(jù)材料重新設(shè)計問題。如必修2“用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：圓”，我們可以引入問題：過圓外一點(diǎn)，做直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程。讓學(xué)生運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行探究，最終會發(fā)現(xiàn)求軌跡方程的兩個重要方法：直接法和定義法，其關(guān)鍵都是從圖形中找到不變的幾何關(guān)系，再將其代數(shù)化。學(xué)生通過這樣的活動經(jīng)驗積累，就能逐步形成有效的解題策略，提升問題解決的能力。二、閱讀思考，感悟數(shù)學(xué)文化價值拓展性課程資源中，有較多的篇幅提及了中外數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)和數(shù)學(xué)著作，通過對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決數(shù)學(xué)問題的過程，同時認(rèn)識到，數(shù)學(xué)不僅僅是一種解決問題的工具，而且是一種文化的傳承。教材中體現(xiàn)的中華民族光輝燦爛的數(shù)學(xué)文明，對培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷，弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著重要的作用。（一）專題閱讀授課，拓展數(shù)學(xué)視野教材因篇幅所限，對數(shù)學(xué)史的介紹比較簡潔，學(xué)生閱讀后很難留下深刻印象，難以拓展其數(shù)學(xué)視野，所以在實踐中我們采取專題授課的方式進(jìn)行教學(xué)，取得較好的效果。在教學(xué)中，我們采用學(xué)生課前閱讀與課內(nèi)思考相結(jié)合的方式，課前進(jìn)行分組合作，共同學(xué)習(xí)課本上的內(nèi)容并通過媒體資源查閱各類相關(guān)資料，制作ppt；在課內(nèi)，教師讓小組代表上臺展示他們各自閱讀研究的成果，教師點(diǎn)評，引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生在閱讀與思考中成長。在專題閱讀課中，教師要具有“多元文化”觀念，關(guān)注中西數(shù)學(xué)文化的比較以及演化趨勢。如必修3“閱讀與思考—割圓術(shù)”，其中包含數(shù)列、極限、幾何、算法等眾多數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)了以直代曲，有限與無限，程序化的特點(diǎn)，雖然此時學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)數(shù)列、極限等知識，但是由于推導(dǎo)過程充分借助直觀觀察，不涉及嚴(yán)格的推理、論證，學(xué)生完全能接受，同時對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開拓視野有很好的作用。在閱讀材料中還提到，在幾何、微積分和概率領(lǐng)域都有求圓周率的近似值的方法，教師可以布置學(xué)生去查閱資料，撰寫數(shù)學(xué)小論文，學(xué)生就能找到諸如阿基米德的幾何法、蒲豐投針的概率法等多種方法，從中感受到數(shù)學(xué)文化之美妙和博大精深。又如選修2-3“探究與發(fā)現(xiàn)—‘楊輝三角’中的一些秘密”的教學(xué)時，教師可以首先讓學(xué)生看課本33頁上的“開方作法本源圖”，看著用漢字?jǐn)⑹龅臄?shù)學(xué)問題，學(xué)生能體會到中西數(shù)學(xué)家都為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了應(yīng)有的貢獻(xiàn)，從而增強(qiáng)學(xué)生對中國數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感。在發(fā)現(xiàn)了數(shù)字規(guī)律后，教師又引導(dǎo)學(xué)生思考，中西方對楊輝三角圖形的研究有何不同。經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)，中國數(shù)學(xué)的歸納推理比較強(qiáng)，但是演繹推理比較弱，沒能像牛頓那樣給出二項式定理的嚴(yán)格推理和解析式，這種差異反映了中西數(shù)學(xué)文化的價值觀念的不同，也提醒我們要善于學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)文化中的理性精神。（二）閱讀探究提煉，形成理性思維學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)家成就的同時也要對相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行實驗探究，通過觀察、猜想，自己總結(jié)提煉出數(shù)學(xué)家的智慧成果。學(xué)生在“閱”和“做”的過程中，既學(xué)到了知識，又感受到了數(shù)學(xué)家不懈追求真理、勇于創(chuàng)新的堅忍不拔的科學(xué)精神，在促進(jìn)“顯性”數(shù)學(xué)知識增長的同時，滲透“隱性”的數(shù)學(xué)文化。如為了讓學(xué)生能理解笛卡兒的解析幾何思想，我們可以將必修2“笛卡兒與解析幾何”，“魔術(shù)師的地毯”，“坐標(biāo)法與機(jī)器證明”整合為一個專題進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)順序上，可以在解析幾何課程開始之初，利用材料“笛卡兒與解析幾何”設(shè)置一個導(dǎo)言課，通過師生交流的形式，通過追尋笛卡爾數(shù)學(xué)思想的蹤跡對將要學(xué)習(xí)的解析幾何課程內(nèi)容及學(xué)科思想進(jìn)行介紹，讓學(xué)生初步建立起“幾何問題代數(shù)化”和“代數(shù)問題幾何化”的基本思想。然后在完成直線斜率的學(xué)習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生探究材料“魔術(shù)師的地毯”，總結(jié)出幾何問題代數(shù)化的基本步驟：①建坐標(biāo)系，用坐標(biāo)或方程表示問題中的幾何元素；②代數(shù)運(yùn)算；③把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”為幾何問題的結(jié)論。讓學(xué)生通過經(jīng)歷“幾何問題代數(shù)化”的過程，進(jìn)一步理解笛卡兒的數(shù)學(xué)思想。再順勢學(xué)習(xí)“坐標(biāo)法與機(jī)器證明”，追尋吳文俊先生開拓數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的足跡，感悟其鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。通過這樣的主題學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值和應(yīng)用價值，逐步形成數(shù)學(xué)的理性精神。三、探究發(fā)現(xiàn)，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，拓展性課程資源中，數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究活動提供了有益的素材。這部分材料實踐性和知識性較強(qiáng)，僅靠學(xué)生個人閱讀，難以取得明顯效果，需要教師設(shè)計一系列具有可操作性的，而且能體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的活動，通過“數(shù)學(xué)化”、“問題解決”活動的教學(xué)，引導(dǎo)和組織學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、比較、分析、抽象概括等活動，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。（一）在數(shù)學(xué)化過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗數(shù)學(xué)化包括兩個方面：一方面是對客觀現(xiàn)實的數(shù)學(xué)化，如必修5“閱讀與思考—九連環(huán)”；另一方面則是對數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化，如必修5“閱讀與思考—斐波那契數(shù)列”，這兩個材料為遞推數(shù)列提供了非常好的背景。在解決九連環(huán)計數(shù)問題時，需要用到化歸、遞歸、函數(shù)、類比等數(shù)學(xué)思想，從簡單的三連環(huán)、四連環(huán)到五連環(huán)，再到九連環(huán)得到遞推關(guān)系，層層遞進(jìn)，為遞推數(shù)列提供了生動活潑的數(shù)學(xué)模型，同時使學(xué)生對數(shù)列遞推公式有了進(jìn)一步的掌握和提高。學(xué)生經(jīng)過這樣豐富的活動體驗，不斷積淀和升華數(shù)學(xué)經(jīng)驗，促進(jìn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。（二）在問題解決過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗一個好的問題設(shè)計既能激發(fā)學(xué)生興趣又能實現(xiàn)重難點(diǎn)的串聯(lián)。依托教材資源引導(dǎo)學(xué)生在閱讀材料基礎(chǔ)上提出問題的解決方案，通過師生間的互動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、感悟數(shù)學(xué)問題解決的過程，積累操作的經(jīng)驗和思維的經(jīng)驗。如必修5“信息技術(shù)應(yīng)用—估計的值”，用的是逐步逼近的方法。教師可以讓學(xué)生思考還有其它方法嗎？學(xué)生想到的最直接的方法是，作腰長為1的等腰直角三角形，斜邊長為，測量斜邊長度，可以得到估計值，這個方法可以用幾何畫板軟件來實現(xiàn)。再進(jìn)一步拓展，利用幾何畫板的迭代功能，我們能做出長為的線段，讓學(xué)生感受到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)探究中的巨大潛力。其實這個問題還可以轉(zhuǎn)化為方程的近似解問題，在必修1“借助信息技術(shù)求方程的近似解”中用二分法的思想求解，在選修2-2“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”中用迭代的思想進(jìn)行求解，上述兩種方法都能寫出程序，用計算機(jī)進(jìn)行計算。通過這樣的問題解決過程，學(xué)生