（新課標(biāo)）北京市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第15講 空間向量與立體幾何新題賞析 理

第15講空間向量與立體幾何新題賞析某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）．A．B．C．D．如圖，已知三棱錐O－ABC，OA，OB，OC兩兩垂直且長度均為6，長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△OBC內(nèi)運動(含邊界)，則MN的中點P的軌跡與三棱錐的面OAB，OBC，OAC圍成的幾何體的體積為________．已知一個棱長為6cm的正方體塑料盒子（無上蓋），上口放著一個半徑為5cm的鋼球，則球心到盒底的距離為_______．在半徑為13的球面上有A,B,C三點，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為；（2）過A，B兩點的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為()．A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1和CC1的中點．

（1）畫出由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面；（保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）

（2）求異面直線EF和AC所成角的大小．

如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝eq\f(1,2)AB，點E、M分別為A1B、C1C的中點，過點A1、B、M三點的平面A1BMN交C1D1于點N．(1)求證：EM∥平面A1B1C1D1；(2)設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成兩個幾何體的體積分別為V1、V2(V1<V2)，求V1∶V2的值．如圖，矩形與所在平面垂直，將矩形沿對折，使得翻折后點落在上，設(shè)，，．試求關(guān)于的函數(shù)解析式；當(dāng)取最小值時，指出點的位置，并求出此時與平面所成的角；(3)在條件(2)下，求三棱錐P-ADQ內(nèi)切球的半徑．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直線PC與平面ABM的夾角的正弦值．正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B．(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．第15講空間向量與立體幾何新題賞析B．詳解：由題意知該幾何體是一個底面半徑為高為2的圓柱,根據(jù)球與圓柱的對稱性,可得外接球的半徑∴．eq\f(π,6)．詳解：根據(jù)已知三角形MON是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，故OP＝eq\f(MN,2)＝1，即點P的軌跡是以點O為球心的八分之一球面，其與三棱錐的三個側(cè)面圍成的空間幾何體的體積為eq\f(1,8)×eq\f(4π,3)＝eq\f(π,6)．10cm．詳解：球心到底面的距離，實際上是求兩個簡單的組合體的上頂點到下底面的距離，可以看做下面是一個正方體，上面是一個四棱錐，四棱錐的斜高是5，用勾股定理做出四棱錐的高，求和得到結(jié)果．由題意知求球心到底面的距離，實際上是求兩個簡單的組合體的上頂點到下底面的距離，可以看做下面是一個正方體，正方體的棱長是6cm．上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個邊長為6的正方形，斜高是5，則四棱錐的高是，∴球心到盒底的距離為6+4=10cm．12；3．詳解：（1）由的三邊大小易知此三角形是直角三角形，所以過三點小圓的直徑即為10，也即半徑是5，設(shè)球心到小圓的距離是，則由，可得．（2）設(shè)過三點的截面圓的圓心是中點是點，球心是點，則連三角形，易知就是所求的二面角的一個平面角，，所以tan，即正切值是3．C．詳解：由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確．綜上C是錯誤的．（2）．詳解：（1）取BC的四等分點G（靠近C的），D1C1的四等分點H（靠近C1的），則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面；

（2）由（1）可知EH∥AC，故∠HEF（或其補(bǔ)角）即為異面直線直線EF和AC所成角，設(shè)出正方體的棱長在△HEF中，由余弦定理可得∠HEF（1）如圖，取BC的四等分點G（靠近C的），D1C1的四等分點H（靠近C1的），

則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面，

（2）由（1）可知EH∥AC故∠HEF（或其補(bǔ)角）即為異面直線EF和AC所成角，

設(shè)正方體的棱長為4，可得，，在△HEF中，由余弦定理可得：，故，

故異面直線EF和AC所成角的大小為：．(2)eq\f(V1,V2)＝eq\f(7,17)．詳解：(1)設(shè)A1B1的中點為F，連結(jié)EF、FC1．∵E為A1B的中點，∴EF平行且等于eq\f(1,2)B1B．又C1M平行且等于eq\f(1,2)B1B，∴EF平行且等于MC1．∴四邊形EMC1F為平行四邊形．∴EM∥FC1∵EM?平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1?平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1(2)延長A1N與B1C1交于P，則P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C∴P∈BM，即直線A1N、B1C1、BM交于一點P又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴幾何體MNC1—BA1B1為棱臺．設(shè)AB＝2AA1＝2a∵S△BA1B1＝eq\f(1,2)·2a·a＝a2，S△MNC1＝eq\f(1,2)·a·eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a2，棱臺MNC1—BA1B1的高為B1C1＝2a，V1＝eq\f(1,3)·2a·(a2＋eq\r(a2·\f(1,4)a2)＋eq\f(1,4)a2)＝eq\f(7,6)a3，∴V2＝2a·2a·a－eq\f(7,6)a3＝eq\f(17,6)a3．∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(7,17)．詳解：(1)顯然，連接，∵，，∴．由已知，∴，．∵∽，，∴即．∴．(2)當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．此時，即為的中點．于是由，知平面，是其交線，則過作．∴就是與平面所成的角．由已知得，，∴，,．(3)設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則∵，，，，，∴．見詳解．詳解：(1)依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD，因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD．又BM∩AB＝B，因此有PD⊥平面ABM．因為PD平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，所以＝(2,4，－4)，設(shè)平面ABM的一個法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,2y＋2z＝0，))令z＝－1，則y＝1，即n＝(0,1，－1)．設(shè)直線PC與平面ABM的夾角為α，則sinα＝|eq\f(·n,|||n|)|＝eq\f(2\r(2),3)，故所求角的正弦值為eq\f(2\r(2),3)．見詳解．詳解：(1)AB∥平面DEF．∵在△ABC中，E、F分別是AC、BC的中點，∴EF∥AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．(2)由題易知，AD、DB、DC兩兩垂直，則以點D為坐標(biāo)原點，直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2eq\r(3)，0)，E(0，eq\r(3)，1)，F(xiàn)(1，eq\r(3)，0)，∴＝(1，eq\r(3)，0)，＝(0，eq\r(3)，1)，＝(0,0,2)．易知平面CDF的一個法向量為＝(0,0,2)，設(shè)平面EDF的一個法向量為n＝(x,y,z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(·n＝0,·n＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0,\r(3)y＋z＝0))，令y＝－eq\r(3)，則n＝(3，－eq\r(3)，3)．∴cos〈·n〉＝eq\f(·n,|||n|)＝eq\f(\r(21),7)，∴二面角E－DF－C的余弦值為eq\f(\r(21),7)