第六章+分形與混沌簡介

初等幾何與幾何教學(xué)研究之云南師范大學(xué)

“國培計(jì)劃——中西部初中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)”第六章分形與混沌簡介

分形幾何就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。

——題記提綱一、分形的發(fā)現(xiàn)二、分形與混沌學(xué)發(fā)展簡介三、分形幾何的應(yīng)用我們?nèi)祟惿畹氖澜缡且粋€(gè)極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象。一、分形的發(fā)現(xiàn)基于傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法。什么是分形幾何通俗一點(diǎn)說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什么是自相似？

例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系。分形一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有"破碎"、"不規(guī)則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個(gè)宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)。Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu).二、分形與混沌學(xué)發(fā)展簡介（以下內(nèi)容參考李文林先生著的《數(shù)學(xué)史概論》，高等出版社，2002年）20世紀(jì)數(shù)學(xué)在幾何概念上有兩次飛躍與空間維度相關(guān)：從有限維到無窮維的飛躍，發(fā)生在上半世紀(jì)；從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍，發(fā)生在下半世紀(jì)．法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅(B.Mandelbrot)1967年在《科學(xué)》雜志發(fā)表的文章《英國海岸線有多長?》標(biāo)志著后一次飛躍的開始。海岸線問題是一個(gè)實(shí)際的地理測量問題。英國人L.理查森考察這一問題，發(fā)現(xiàn)在西班牙、葡萄牙、比利時(shí)、荷蘭等國出版的百科全書中記錄的一些海岸線長度競相差20％，大大超過了允許誤差。蒙德爾布羅從數(shù)學(xué)上研究這一問題，認(rèn)為這種超常的誤差與海岸線形狀的不規(guī)則有關(guān)，由于這種不規(guī)則，不同的測量尺度將得出不同的測量結(jié)果。蒙德爾布羅采用瑞典數(shù)學(xué)家柯克(H．yonKoch)1904年發(fā)現(xiàn)的一種曲線——“柯克曲線”作為思考海岸線問題的數(shù)學(xué)模型。以一個(gè)平面等邊三角形的每條邊的中央三分之一為底向外側(cè)作一小等邊三角形，然后抹去這小三角形的底邊，就得到一條新的閉折線，在新曲線的每條邊上重復(fù)剛才的作圖，這樣無限繼續(xù)下去，所得到的極限圖形就是柯克曲線。

設(shè)原三角形的邊長為1，容易看出，柯克曲線的長度是一個(gè)無窮大數(shù)，而它所包圍的面積則是一個(gè)有限數(shù)(等于原三角形面積的1.6倍)。一塊有限的面積具有無窮長的邊界，蒙德爾布羅認(rèn)為這種奇怪的現(xiàn)象是由邊界曲線的“無限折曲”引起的。正是通過對(duì)這種“無限折曲”過程的深入研究，蒙德爾布羅引進(jìn)了分?jǐn)?shù)維數(shù)的概念。通常的曲線都是一維的，在其上只能沿一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)(約定將向后運(yùn)動(dòng)看作是負(fù)的向前運(yùn)動(dòng))?？驴饲€的每一條近似曲線也都是一維圖形，但作為極限的柯克曲線卻不能這樣用“方向”來確定維度，其“方向”改變了無限次，必須尋找其他的與方向無關(guān)的途徑來建立這類曲線的維度概念。蒙德爾布羅利用了一條關(guān)鍵的性質(zhì)——“自相似”，即整體與部分相似，并通過與通常整數(shù)維情形的類比，成功地確定了柯克曲線一類幾何圖形的維度，并發(fā)現(xiàn)它們是一些分?jǐn)?shù)。Koch曲線Koch曲線的生成過程

—第0步、第1步Koch曲線的生成過程

—第2步、第3步Koch曲線與雪花曲線

—連接在一起的三段Koch曲線構(gòu)成一個(gè)雪花曲線設(shè)有一D維圖形，將它分成N個(gè)與整體相似的部分，整體與每個(gè)部分的相似比是r，它與維數(shù)D的關(guān)系是：

…(＊)

對(duì)一根直線，分成N段，每段恰好是整體的1/N，相似比恰好是D=1時(shí)(*)式給出的數(shù)值。對(duì)一個(gè)矩形，長、寬各等分，分成塊，整體與部分的相似比顯然是。對(duì)柯克曲線，D未知，但N和r的值可以確定：N=4，r=3。這兩個(gè)數(shù)字顯然對(duì)每一步近似曲線的每一小段都成立，故對(duì)整個(gè)柯克曲線也應(yīng)成立，根據(jù)(＊)式得,從而有:也就是說柯克曲線是一個(gè)具有分?jǐn)?shù)維的幾何實(shí)體?？驴饲€只是具有分?jǐn)?shù)維的幾何圖形的一個(gè)例子。蒙德爾布羅1977年正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形稱為“分形”(fractal)，并建立了以這一類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何。他在這一年出版的著作《分形：形，機(jī)會(huì)與維度》中指出了大量的物理與生物現(xiàn)象都產(chǎn)生分形，引起了普遍的關(guān)注．分形的基本性質(zhì)是上面提到的自相似性。至此蒙德爾布羅等考慮的分形自相似性都是像柯克曲線那樣在平移和線性放大下的自相似性(即在線性變換下保持不變)?，F(xiàn)實(shí)世界的分形現(xiàn)象往往要復(fù)雜得多，如實(shí)際海岸線的性狀就遠(yuǎn)不如柯克曲線那樣規(guī)則。從1978年開始，蒙德爾布羅等人開始研究在非線性變換(即允許比簡單放大與平移更復(fù)雜的操作如平方、立方等)下保持不變的分形，他們利用電子計(jì)算機(jī)來產(chǎn)生這樣的分形圖形，并研究它們的性質(zhì)，又發(fā)現(xiàn)了所謂“混沌”(chaos)現(xiàn)象，導(dǎo)致了混沌動(dòng)力學(xué)的建立。蒙德爾布羅是從較簡單的函數(shù)，開始的，這里z是復(fù)變量，c是復(fù)參數(shù)。從某個(gè)初始值開始，根據(jù)規(guī)則迭代函數(shù)f，產(chǎn)生點(diǎn)列。蒙德爾布羅發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一定的參數(shù)值c，迭代結(jié)果在某幾個(gè)值(復(fù)平面上的點(diǎn))之間循環(huán)(周期)振動(dòng)，這些值被稱之為“吸引子”。不同吸引子控制的復(fù)平面區(qū)域的邊界，構(gòu)成一些具有自相似性質(zhì)的分形曲線(稱為朱利亞集，以紀(jì)念早前研究過這些曲線的法國數(shù)學(xué)家朱利亞)。不同的參數(shù)值c，將產(chǎn)生不同的吸引子分布，而對(duì)于某些特定的參數(shù)值c，迭代結(jié)果出現(xiàn)無規(guī)則振動(dòng)(或者說振動(dòng)周期無限加倍)的現(xiàn)象，這就是所謂“混沌”。更為神奇的是，蒙德爾布羅在混沌行為的背后又發(fā)現(xiàn)了許多隱藏著的有序現(xiàn)象。Mandelbrot（蒙德爾布羅）集Julia(朱利亞)集的圖象C=-1C=-0.5+0.5iC=-0.2+0.75iC=0.64i由上述可見，復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的行為與參數(shù)c的選擇密切相關(guān)。蒙德爾布羅進(jìn)一步研究了c在復(fù)平面上的分布，以判別相應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)及其朱利亞集具有的特定形態(tài)。這使他在1980年發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)在以他的名字命名的復(fù)平面區(qū)域(子集)：蒙德爾布羅集。如下圖所示即著名的蒙德爾布羅集。蒙德爾布羅集已顯示出與所有動(dòng)力學(xué)過程行為的重要聯(lián)系，因此被認(rèn)為是像圓和正多邊形等圖形一樣，在數(shù)學(xué)中占有特殊的地位。由于復(fù)迭代過程對(duì)于哪怕是較簡單的動(dòng)力系統(tǒng)都需要巨量的計(jì)算，因此分形幾何與混沌動(dòng)力學(xué)的研究只有借助于計(jì)算機(jī)才能進(jìn)行。蒙德爾是布羅利用高速計(jì)算楓產(chǎn)生了大量精美奇妙的分形圖案，如上圖。是經(jīng)過計(jì)算機(jī)“放大”的蒙德爾布羅集邊界區(qū)域一瞥。當(dāng)然，分形幾何與混沌動(dòng)力學(xué)不只是扮演計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象（海岸線性狀、大氣運(yùn)動(dòng)、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等等）的嶄新數(shù)學(xué)工具。

Newton奠定了經(jīng)典力學(xué)、光學(xué)和微積分學(xué)的基礎(chǔ)。但是除了創(chuàng)造這些自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個(gè)學(xué)科那么有名，但已被證明直到今天還是非常有價(jià)值的。

Newton/Nova分形例如，牛頓建議用一個(gè)逼近方法求解一個(gè)方程的根。你猜測一個(gè)初始點(diǎn)，然后使用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，用切線逐漸逼近方程的根。如方程Z6+1=0有六個(gè)根，用牛頓的方法“猜測”復(fù)平面上各點(diǎn)最后趨向方程的那一個(gè)根，就可以得到一個(gè)怪異的分形圖形。和平常的Julia分形一樣，能永遠(yuǎn)放大下去，并有自相似性。

Newton/Nova分形PaulDerbyshire研究牛頓分形圖形時(shí)，他把Julia集合的常值C加入進(jìn)去改變了一下算法，并用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產(chǎn)生奇特的并稱之為"Nova"的分形圖形。

Newton分形需要說明的是，雖然分形的理論體系到目前為止還沒有一個(gè)完整的體系，研究進(jìn)展也不是很快。但是，因?yàn)槠湟饬x之深遠(yuǎn)、價(jià)值之高都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我們的想像。所以，世界各國特別是發(fā)達(dá)國家對(duì)此特別的重視，如美國就將分形研究作為國家重點(diǎn)攻關(guān)項(xiàng)目來設(shè)立，中國也很重視對(duì)分形幾何的研究，甚至在《標(biāo)準(zhǔn)》意義下的新《數(shù)學(xué)》教材中就有相關(guān)內(nèi)容的閱讀知識(shí)。浙教版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)（上）《精彩的分形》。三、分形幾何的應(yīng)用圖像，數(shù)據(jù)壓縮方面的研究。如：對(duì)某一個(gè)靜態(tài)場景的分形壓縮。自然景物的模擬如：雪花，海岸線，分形山，分形樹葉

分形生長模型對(duì)某一個(gè)靜態(tài)場景的分形壓縮原圖分形壓縮得到的圖形分形山分形樹葉分形樹葉

用數(shù)學(xué)方法對(duì)放大區(qū)域進(jìn)行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為“分形藝術(shù)”?！胺中嗡囆g(shù)”以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認(rèn)識(shí)到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝