七年級數學下冊第18課 實際問題與二元一次方程組（教師版）

第18課實際問題與二元一次方程組目標導航目標導航課程標準1．以含有多個未知數的實際問題為背景，經歷“分析數量關系，設未知數，列方程組，解方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數問題的數學模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題．3．熟悉行程、方案、數字等問題的解決方法；4.進一步研究用二元一次方程組解決實際問題．知識精講知識精講知識點01常見的一些等量關系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數×倍量.2.產品配套問題：解這類問題的基本等量關系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，.知識點02實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題，是把“未知”轉換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．注意：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.知識點03常見的一些等量關系（二）行程問題速度×時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.2．存貸款問題利息=本金×利率×期數.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數＝本金×(1＋利率×期數).年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.數字問題已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a．4．方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．

注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．知識點04實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思路2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．注意：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.能力拓展能力拓展考法01和差倍分問題【典例1】在一次數學測驗中，甲、乙兩校各有100名同學參加測試．測試結果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60％，女生的優(yōu)分率為40％，全校的優(yōu)分率為49.6％；乙校男生的優(yōu)分率為57％，女生的優(yōu)分率為37％．(男(女)生優(yōu)分率＝，全校優(yōu)分率＝)(1)求甲校參加測試的男、女生人數各是多少?(2)從已知數據中不難發(fā)現甲校男、女生的優(yōu)分率都相應高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最終的統計結果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請舉例說明原因．【分析】(1)求甲校參加測試的男、女生人數需設兩個未知數，故可建立二元一次方程組求解．(2)由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時，只有乙校的男生較多時，才能提高全校的優(yōu)分率．【答案與解析】解：(1)設甲校參加測試的男生人數是x人，女生人數是y人．由題意可列方程組：解之得：．答：甲校參加測試的男生有48人，女生有52人．(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為．51％＞49.6％(說明：只要所舉例子中男生人數多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分．)【點睛】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．本題的第（2）問也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數滿足什么關系時，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低．【即學即練】為了拉動內需，全國各地汽車購置稅補貼活動在2009年正式開始．某經銷商在政策出臺前一個月共售出某品牌汽車的手動型和自動型共960臺，政策出臺后的第一個月售出這兩種型號的汽車共1228臺，其中手動型和自動型汽車的銷售量分別比政策出臺前一個月增長30％和25%．(1)在政策出臺前一個月，銷售的手動型和自動型汽車分別為多少臺?(2)若手動型汽車每臺價格為8萬元，自動型汽車每臺價格為9萬元．根據汽車補貼政策，政府按每臺汽車價格的5％給購買汽車的用戶補貼，問政策出臺后的第一個月，政府對這1228臺汽車用戶共補貼了多少萬元？【答案】解：(1)設政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為x輛，自動型汽車為y輛，由題意可得：解之得：．答：政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為560輛，自動型汽車為400輛．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬元)答：政策出臺后的第一個月，政府對這1228臺汽車用戶共補貼了516.2萬元．考法02配套問題【典例2】某班學生到農村勞動，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔，兩只筐），這樣安排勞動時恰需筐68個，扁擔40根，問這個班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設女生人，男生人，由題意得：解得：答：這個班的男生有32人，女生有21人.【點睛】兩人抬土需要一根扁擔，一只筐；一人挑土需要一根扁擔，兩只筐．題中的等量關系是：參加勞動的同學一共用去籮筐68個和40根扁擔，從而列出方程組，解出即可．【即學即練】某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓和兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套？【答案】解：設分配x人生產螺栓，y人生產螺母，則根據題意可得：答：應分配25人生產螺栓，35人生產螺母.考法03工程問題【典例3】一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應付多少錢？（2）已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用最少？（3）若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認為如何安排施工更有利于商店？請你幫助商店決策．（可用（1）（2）問的條件及結論）【分析】（1）本題的等量關系是：甲做8天需要的費用+乙作8天需要的費用=3520元．甲組6天需付的費用+乙做12天需付的費用=3480元，由此可得出方程組求出解．（2）根據（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費用，然后分別計算出甲單獨做12天需要的費用，乙單獨做24天需要的費用，讓兩者進行比較即可．（3）本題可將每種施工方法的施工費加上施工期間商店損失的費用，然后將不同方案計算出的結果進行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．【答案與解析】解：（1）設：甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店付y元．由題意得解得答：甲、乙兩組工作一天，商店各應付300元和140元．（2）單獨請甲組需要的費用：300×12=3600元．單獨請乙組需要的費用：24×140=3360元．答：單獨請乙組需要的費用少．（3）請兩組同時裝修，理由：甲單獨做，需費用3600元，少贏利200×12=2400元，相當于損失6000元；乙單獨做，需費用3360元，少贏利200×24=4800元，相當于損失8160元；甲乙合作，需費用3520元，少贏利200×8=1600元，相當于損失5120元；因為5120＜6000＜8160，所以甲乙合作損失費用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【點睛】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系：甲做8天需要的費用+乙作8天需要的費用=3520元．列出方程組，再求解．考法04利潤問題【典例4】甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價．在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按定價的9折出售，這樣商店共獲利157元．求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？【分析】設甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，根據“甲、乙兩件服裝共獲利157元、將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價，兩件服裝均按定價的9折出售，這樣商店共獲利157元”，列方程組解決問題．【答案與解析】解：設甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有解得：答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．【點睛】考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程組，再求解．【即學即練】為處理甲、乙兩種積壓服裝，商場決定打折銷售，已知甲、乙兩種服裝的原單價共位880元，現將甲服裝打八折，乙服裝打七五折，結果兩種服裝的單價共為684元，則甲、乙兩種服裝的原單價分別是多少？【答案】解：設甲、乙兩種服裝的原單價分別是x元、y元．根據題意，得：，解得：，即：甲、乙兩種服裝的原單價分別是480元、400元．考法05行程問題【典例5】A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出．(1)如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇；如果兩車同時開出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度；(2)如果慢車先開出l小時，兩車相向而行，那么快車開出幾小時可與慢車相遇?【分析】這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解．(1)“同時開出相向而行”可用下圖表示．“同時開出同向而行”可用下圖表示．(2)慢車先開出1小時，兩車相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來，并用等式表示出來．【答案與解析】解：(1)設快車和慢車的速度分別為x千米/時和y千米/時．根據題意，得，解得答：快車和慢車的速度分別為100千米/時和60千米/時．(2)設快車開出x小時可與慢車相遇，則此時慢車開出(x+1)小時，根據題意，得60(x+1)+100x＝480．解得．答：快車開出小時兩車相遇．【點睛】比較復雜的行程問題可以通過畫“線條”圖幫助分析，求解時應分清相遇、追及、相向、同向等關鍵詞．【即學即練】兩列火車從相距810km的兩城同時出發(fā)，出發(fā)后10h相遇；若第一列火車比第二列火車先出發(fā)9h，則第二列火車出發(fā)5h后相遇，問這兩列火車的速度分別是多少？【答案】解：設這兩列火車的速度分別為km/h，km/m．由題意得，答：這兩列火車的速度分別為45km/h和36km/h．考法06存貸款問題【典例6】蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬元，徐先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【分析】本題的等量關系：甲種貸款+乙種貸款＝13萬元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息＝6075元.【答案與解析】解：設甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據題意得：解得：

答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元．【點睛】利息＝貸款金額×利息率.考法07數字問題【典例7】一個兩位數的數字之和為11，若把十位數字與個位數字對調，所得的兩位數比原來大63，則原來兩位數為（）A．92 B．38 C．47 D．29【分析】設這個兩位數十位為x，個位為y，根據個位數字與十位數字之和為11，把這個兩位數的個位數字與十位數字對調，所得的新數比原數大63，列方程組求解．【答案】D．【解析】解：設這個兩位數十位為x，個位為y，由題意得，，解得：，則這個兩位數為：29．故選：D．【點睛】對于兩位數、三位數的數字問題，關鍵是明確它們與各數位上的數字之間的關系：兩位數＝十位數字×10+個位數字；三位數＝百位數字×100+十位數字×10+個位數字．【即學即練】一個兩位數的十位數字與個位數字之和是7，如果把這個兩位數加上45，那么恰好成為把個位數字和十位數字對調后組成的數，那么這個兩位數是（）A．16 B．25 C．52 D．61【答案】A解：設個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數是（10b+a），由題意，得，解得．所以這個兩位數是：10×1+6=16．考法08方案選擇問題【典例8】某種飲料有大箱和小箱兩種包裝，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：①2大箱、5小箱分別有飲料多少瓶？②若一大箱、一小箱飲料分別標價48元、25元，且兩種包裝的飲料質量完全相同，請問購買哪種包裝的飲料更合算？【分析】①設大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程組求出即可；②利用①中所求分別求出平均每瓶的價格進而得出答案．【答案與解析】解：①設大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據題意可知3大箱、2小箱共92瓶，可列式為3x+2y=92，又知5大箱、3小箱共150瓶，故可列式為5x+3y=150，即列方程組為，解得：，故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有飲料：10×5=50（瓶），答：2大箱有48瓶、5小箱有飲料50瓶；②∵一大箱、一小箱飲料分別標價48元、25元，∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以買大箱合算．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是要讀懂題意，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組．【即學即練】某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐.（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由.【答案】解：(1)設1個大餐廳可供x名學生就餐，1個小餐廳可供y名學生就餐.則根據題意可得：解得：答：1個大餐廳可供960名學生就餐，1個小餐廳可供360名學生就餐.∴能供全校的5300名學生就餐.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．甲、乙兩地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，順水行船用18小時，逆水行船用24小時，若設船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，則下列方程組中正確的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】根據題意可得，順水速度為：，逆水速度為：，所以根據所走的路程可列方程組為，故選A．2．我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載”繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設索長為x尺，竿子長為y尺，根據“索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關于x、y的二元一次方程組．【詳解】設索長為x尺，竿子長為y尺，根據題意得：．故選A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．3．《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據題意可得等量關系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據等量關系列出方程組即可．【詳解】設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：，故選D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．4．一副三角板按如圖方式擺放，且∠1的度數比∠2的度數大50°，若設∠1=x°，∠2=y°，則可得到方程組為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】根據平角和直角定義，得方程x+y=90；根據∠1比∠2的度數大50°，得方程x=y+50．可列方程組為，故選C．考點：1．由實際問題抽象出二元一次方程組；2．余角和補角．5．20位同學在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，設男生有x人，女生有y人，根據題意，列方程組正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：要列方程（組），首先要根據題意找出存在的等量關系.本題等量關系為：①男女生共20人；②男女生共植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵.據此列出方程組：.故選D．考點：由實際問題抽象出二元一次方程組.6．小穎家離學校1200米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路，她去學校共用了16分鐘，假設小穎上坡路的平均速度是3千米/小時，下坡路的平均速度是5千米/小時，若設小穎上坡用了，下坡用了，根據題意可列方程組（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據路程=時間乘以速度得到方程，再根據總時間是16分鐘即可列出方程組.【詳解】∵她去學校共用了16分鐘，∴x+y=16，∵小穎家離學校1200米，∴，∴，故選：B.【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確理解題意列出方程組，注意時間單位，這是解題中容易出現錯誤的地方.7．夏季來臨，某超市試銷、兩種型號的風扇，兩周內共銷售30臺，銷售收入5300元，型風扇每臺200元，型風扇每臺150元，問、兩種型號的風扇分別銷售了多少臺？若設型風扇銷售了臺，型風扇銷售了臺，則根據題意列出方程組為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：直接利用兩周內共銷售30臺，銷售收入5300元，分別得出等式進而得出答案．詳解：設A型風扇銷售了x臺，B型風扇銷售了y臺，則根據題意列出方程組為：．故選C．點睛：本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關系是解題的關鍵．8．某旅店一共70個房間，大房間每間住8個人，小房間每間住6個人，一共480個學生剛好住滿，設大房間有個，小房間有個.下列方程正確的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】【分析】大房間有個，小房間有個，根據等量關系：大小共70個房間，共住480人，列方程組即可.【詳解】大房間有個，小房間有個，由題意得：，故選A.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，弄清題意，找出等量關系列出方程組是解此類問題的關鍵.9．如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，則圖中陰影部分的面積為（）A．35 B．45 C．55 D．65【答案】B【解析】【分析】根據矩形的面積公式計算列方程組計算即可.【詳解】解：設小矩形的長為a，寬為b，可得方程組：a+2b=15，a=3b，可得解：a=9，b=3，故陰影部分的面積：，故選B.【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用，根據圖形列出方程組是解題的關鍵.10．利用兩塊長方體測量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換木塊的位置，按圖②方式放置，測量的數據如圖，則桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】D【解析】【詳解】設桌子的高度為hcm，第一個長方體的長為xcm，第二個長方體的寬為ycm，由第一個圖形可知桌子的高度為：h-y+x=79，由第二個圖形可知桌子的高度為：h-x+y=73，兩個方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，解得：h=76cm．故選D．題組B能力提升練11．機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問安排______名工人加工大齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套．【答案】25【解析】【詳解】設需安排x名工人加工大齒輪，安排y名工人加工小齒輪，由題意得：，解得：．即安排25名工人加工大齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套．故答案為25．【點睛】本題考查理解題意能力，關鍵是能準確得知2個大齒輪和3個小齒輪配成一套，根據此正確列出方程．12．如圖，在長方形ABCD中，放入六個形狀，大小相同的長方形（即空白的長方形），AD＝12cm，FG＝4cm，則圖中陰影部分的總面積是__________.【答案】48【解析】【詳解】解：設小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據圖形可得，①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，因此陰影部分總面積＝12×10－6×2×6＝48.故答案：48.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系是解決問題的關鍵.13．一個兩位數的數字和為14，若調換個位數字與十位數字，新數比原數小36，則這個兩位數是_____．【答案】95【解析】【詳解】設十位數字為x，個位數字為y，根據題意所述的等量關系可得出方程組，求解即可得，即這個兩位數為95．故答案為95.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是設出未知數，注意掌握二位數的表示方法．14．某人步行5小時，先沿平坦道路走，然后上山，再沿來的路線返回，若在平坦道路上每小時走4千米，上山每小時走3千米，下山每小時走6千米，那么這5小時共走了路程____________千米．【答案】20【解析】【分析】設平路有x千米，上坡路有y千米，根據平路用時+上坡用時+下坡用時+平路用時=5，即可得解．注意求得x+y的值即為總路程．【詳解】設平路有x千米，上坡路有y千米，根據題意，得:＋＋＋＝5，即＋＝5，則x＋y＝10(千米)，這5小時共走的路程＝2×10＝20(千米)．故答案是：20.【點睛】考查了二元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程．注意可以通過間接方式得解．15．一家快餐店銷售三種套餐，其中套餐包含一葷兩素，套餐包含兩葷一素，套餐包含兩葷兩素，每份套餐中一葷的成本相同，一素的成本也相同，已知一份套餐的售價是一份套餐和一份套餐售價之和的一天下來，店長發(fā)現套餐和套餐的銷量相同，且套餐的利潤和是套餐利潤的兩倍，當天的總利潤率是．第二天店內搞活動，套餐的售價打五折，套餐的售價均不變，當三種套餐的銷量相同時，總利潤率為________．【答案】28%【解析】【分析】設葷菜的成本為m元，素菜的成本為n元，葷菜的利潤率為x，素菜的利潤率為y，A套餐和B套餐的數量為a份，C套餐的數量為b份，根據套餐的利潤和是套餐利潤的兩倍得到，再根據當天的總利潤率是可求得mx＋ny＝0.6(m＋n)，進而求出一份A、B、C的售價，設三種套餐的銷量都為t份，根據新的售價列出總利潤率的代數式，將代數式化簡即可求得答案．【詳解】解：設一份葷菜的成本為m元，一份素菜的成本為n元，一份葷菜的利潤率為x，一份素菜的利潤率為y，A套餐和B套餐的數量為a份，C套餐的數量為b份，∵套餐的利潤和是套餐利潤的兩倍，∴3(mx＋ny)·a＝2×2(mx＋ny)·b，整理得：，∵當天的總利潤率是，∴3(mx＋ny)·a＋2(mx＋ny)·b＝60%·[3(m＋n)·a＋2(m＋n)·b]，整理得mx＋ny＝0.6(m＋n)，∴一份套餐和一份套餐售價之和為元，∵一份套餐的售價是一份套餐和一份套餐售價之和的∴一份套餐的售價為元，∵第二天店內搞活動，套餐的售價打五折，套餐的售價均不變，∴第二天的一份套餐和一份套餐售價之和為元，一份套餐的售價為元，∵三種套餐的銷量相同，∴設三種套餐的銷量都為t份，則總利潤率為：===0.28=28%，故答案為：28%．【點睛】本題綜合性較強，考查了營銷問題中的利潤問題，用利潤的基本等量關系列出關系式，設出相應的未知數，根據利潤率＝利潤÷成本=售價÷成本－1是解決本題的關鍵．16．如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的．兩根鐵棒長度之和為55cm，此時木桶中水的深度是_______cm．【答案】20【解析】【詳解】試題分析：考查方程思想及觀察圖形提取信息的能力．解：設較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm．因為兩根鐵棒之和為55cm，故可列x+y=55，又知兩棒未露出水面的長度相等，故可知x=y，據此可列：，解得：，因此木桶中水的深度為30×=20cm．故填20．考點：二元一次方程組的應用．題組C培優(yōu)拔尖練17．某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設店主李三公將客房進行改造后，房間數大大增加．每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們如何訂房更合算？【答案】（1）該店有客房8間，房客63人；（2）詩中“眾客”再次一起入住，他們應選擇一次性訂房18間更合算．【解析】【分析】（1）設該店有客房x間，房客y人；根據題意得出方程組，解方程組即可；（2）根據題意計算：若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，求出所需付費；若一次性定客房18間，求出所需付費，進行比較，即可得出結論．【詳解】解：（1）設該店有客房x間，房客y人；根據題意得：，解得：．答：該店有客房8間，房客63人；（2）若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，需付費20×16=320錢若一次性定客房18間，則需付費20×18×0.8=288錢＜320錢；答：詩中“眾客”再次一起入住，他們應選擇一次性訂房18間更合算．“點睛”本題考查了二元一次方程組的應用；根據題意得出方程組是解決問題的關鍵．18．已知：用3輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨17噸；用2輛A型車和3輛B型車載滿貨物一次可運貨l8噸，某物流公刊現有35噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物.根據以上信息，解答下列問題：(1)l輛A型車和l輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案；(3)若A型車每輛需租金200元／次，B型車每輛需租金240元／次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨3噸、4噸;(2)最省錢的租車方案是方案一：A型車8輛，B型車2輛，最少租車費為2080元.【解析】【分析】（1）設每輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，根據題目中的等量關系：用3輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨17噸；用2輛A型車和3輛B型車載滿貨物一次可運貨l8噸，列方程組求解即可；（2）由題意得出3a+4b=35，然后由a、b為整數解，得到三中租車方案；（3）根據（2）中的所求方案，利用A型車每輛需租金200元／次，B型車每輛需租金240元／次，分別求出租車費用即可.【詳解】解：（1）設每輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組為：解得答：1輛A型車輛裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸.（2）結合題意，和（1）可得3a+4b=35∴a=∵a、b都是整數∴或或答：有3種租車方案：方案一：A型車9輛，B型車2輛；方案二：A型車5輛，B型車5輛；方案三：A型車1輛，B型車8輛．（3）∵A型車每輛需租金200元/次，B型車每輛需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省錢的租車方案是方案一：A型車1輛，B型車8輛，最少租車費為2120元.【點睛】此題主要考查了二元一次方程組以及二元一次方程的解法，關鍵是明確二元一次方程有無數解，但在解與實際問題有關的二元一次方程組時，要結合未知數的實際意義求解.19．食品安全是老百姓關注的話題，在食品中添加過量的添加劑對人體有害，但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存和運輸．某飲料加工廠生產的A，B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產了A，B兩種飲料共100瓶，問A，B兩種飲料各生產了多少別瓶？【答案】A飲料生產了30瓶，B飲料生產了70瓶.【解析】【分析】根據題意設出未知數，再根據題目中“270添加劑恰好生產了A，B兩種飲料共100”得出等量關系列出方程，求出結果即可．【詳解】設A飲料生產了x瓶，則B飲料生產了瓶.根據題意得．解方程，得．（瓶）.答：A飲料生產了30瓶，B飲料生產了70瓶.【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，在解題時要能根據題意得出等量關系，列出方程是本題的關鍵．20．已知2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸.用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸.某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛和B型車b輛,一次運完，且每輛車都滿載貨物.根據以上信息解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次分別可運貨物多少噸？（2）請幫助物流公司設計租車方案（3）若A型車每輛車租金每次100元，B型車每輛車租金每次120元.請選出最省錢的租車方案，并求出最少的租車費.【答案】(1)1輛A型車載滿貨物每次可運貨物3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨物4噸;(2)有三種租車方案：方案一,租用A型車9輛，B型車1輛，方案二,租用A型車5輛，B型車4輛，方案三,租用A型車1輛，B型車7輛.（3）選擇方案三最省錢，最少的租車費為940元.【解析】【詳解】（1）設A、B型車都裝滿貨物一次每輛車裝噸、噸則解得：（2）結合題意和上一問得：3a+4b=31∴a=因為a，b都是正整數，∴或或有