線段的定比分點公式及應用

線段的定比分點公式及應用河北史彩玉OaOabPPP圖11、定義式：設P與P為直線l上的兩點，點P為直線l上不同于P、P的任意一點，則存在一個實數(shù)，使得，叫做P分有向線段所成的比。當＞0時，P為內(nèi)分點；當＜0時，P為外分點；特別地當=時，P為PP的中點。2、坐標式：若設P（x，y）、P（x，y）、P(x，y)，將坐標代入中得到定比分點公式。特例當=時，。3、向量式：如圖1所示，若設=a，=b，由于，則－=（－）即－a=（b－），整理得定比分點公式a+b。典例剖析如下：一、定義式的運用例1（1）已知點P分所成的比為，則點B分所成的比為___________。（2）若||=3，點P在的延長線上，且=2，則點P分所成的比為_______。（3）點P在所在直線上，且，則點P分所成的比為_______。P(3)P(3)甲PP21P(3)乙PP21(2)(2)PPP23PAPA(1)13B解析：觀察圖形，根據(jù)定義得：（1）點B分所成的比為；（2）點P分所成的比為；（3）若點P為的內(nèi)分點，則；若點P為的外分點，則=－2。二、坐標式“”的運用例2（1）△ABC三個頂點的坐標分別為A（－2，1）、B（4，5）、C（7，－3）則△ABC的重心為___________。（2）△ABC三邊的中點為（2，1）、（－3，4）、（－1，－1）則△ABC的重心為___________。（3）△ABC兩個頂點的坐標分別為A（0，0）、B（4，0）其重心坐標為G(3，1)，則頂點C的坐標為_____________。分析：直接運用重心坐標公式求值。解析：（1）=3，=1，故重心為（3，1）。（2）設A（x，y）、B（x，y）C（x，y），由題意得：，，三式相加得x+x+x=－2，同理y+y+y=4，故重心為（－，）。（3）設頂點C（x，y），由重心坐標公式得，解得x=5，y=3，故頂點C的坐標為（5，3）。例3已知△ABC的兩頂點A（3，7）和B（－2，5），求C點的坐標，使AC的中點在x軸上，BC的中點在y軸上。分析：可用中點坐標公式求解，注意到中點在坐標軸上，可利用橫坐標為0或縱坐標為0建立關(guān)系。解析：設C點的坐標為（x，y），根據(jù)中點坐標公式，可得AC的中點坐標為（，），∵中點在x軸上，∴=0，即y=－7。同樣可有BC的坐標為（，），∵中點在y軸上，∴=0，∴x=－2，∴C點的坐標為（－7，－2）。三、向量式a+b應用例4、已知A（3，3）、B(－1，5)一次函數(shù)的圖像與線段AB有公共點，求實數(shù)k的取值范圍。分析：設交點為P，則由定比分點公式知可用k表示定比。由于P是內(nèi)分點，所以≥0，從而求出k的范圍。解析：設P（x，y）為一次函數(shù)的圖像與線段AB的交點，把P看作的定比分點，其定比為，則有≥0，另一方面，由定比分點公式有=，點P在函數(shù)的圖像上，∴，≥0，解得或。而P點與B點重合時，k=－4，也適合，故或圖（2）ABCDPQR圖（2）ABCDPQR分析：取兩個基底，由定比分點的向量公式將有關(guān)向量用基底表示出來，再求解。解析：設，。由題意有：，，則，∵A、Q、D三點共線，于是=；∵P、R、C三點共線，于