2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題8-3-1　棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積

第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選題)長方體ABCDA1B1C1D1的長、寬、高分別為3,2,1,則()A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為32D.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為25答案BC解析長方體的表面積為2×(3×2+3×1+2×1)=22,A錯(cuò)誤.長方體的體積為3×2×1=6,B正確.如圖①所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距離可把幾何體展開成平面圖形,如圖②所示,將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開,則有AC1=52+12=26,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是26;如圖③所示,將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1=32+32=32,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是32;如圖④所示,將側(cè)面ADD1A1和底面則有AC1=42+22=25,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是25.因?yàn)?2<25<26,所以沿長方體表面從A到C1的最短距離是32.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,則三棱錐DACD1的體積是()A.16 B.13 C.12答案A解析三棱錐DACD1的體積等于三棱錐D1ACD的體積,三棱錐D1ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱錐DACD1的體積為V=13×12×1×1×3.一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則該正四棱錐的表面積為()A.8 B.12 C.16 D.20答案B解析由題意得側(cè)面三角形底邊上的高為(3)2+12=2,所以該四棱錐的表面積為22+4×124.正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為()A.3π B.43 C.32π D答案B如圖所示,由圖可知,該幾何體由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成,并且這兩個(gè)四棱錐體積相等.四棱錐的底面為正方形,且邊長為2,故底面積為(2)2=2;四棱錐的高為1,則四棱錐的體積為13×2×1=23.故幾何體的體積為2×5.正三棱錐的底面周長為6,側(cè)面都是直角三角形,則此棱錐的體積為()A.423 B.2 C.22答案D解析由題意,正三棱錐的底面周長為6,所以正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)面均為直角三角形,可知側(cè)棱長均為2,三條側(cè)棱兩兩垂直,所以此三棱錐的體積為136.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖,得到如圖所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知點(diǎn)O'是斜邊B'C'的中點(diǎn),且A'O'=1,則△ABC的邊BC上的高為()A.1 B.2 C.2 D.22答案D解析∵直觀圖是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴A'C'=2,根據(jù)畫直觀圖時(shí)平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?∴△ABC的邊BC上的高AC=2A'C'=22.故選D.7.如圖,長方體ABCDA1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐EBCD的體積是.

答案10解析因?yàn)殚L方體ABCDA1B1C1D1的體積為120,所以AB·BC·CC1=120,因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn),所以CE=12CC1由長方體的性質(zhì)知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱錐EBCD的底面BCD上的高,所以三棱錐EBCD的體積V=13×12AB·BC·CE=13×12AB·BC·128.已知某幾何體是由兩個(gè)全等的長方體和一個(gè)三棱柱組合而成,如圖所示,其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側(cè)棱長為3,則此幾何體的體積是,表面積是.

答案90138解析該幾何體的體積V=4×6×3+12×4×3×3=90,表面積S=2(4×6+4×3+6×3)3×3+12×4×3×2+32+42×3+9.在正四棱錐SABCD中,點(diǎn)O是底面中心,SO=2,側(cè)棱SA=23,則該棱錐的體積為.

答案32解析∵側(cè)棱SA=23,高SO=2,∴AO=SA2-SO2=22,因此,底面正方形的邊長AB=2AO=4,底面積為AB2=16.該棱錐的體積為V=13AB2·SO=110.有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽,可以裝油190L,假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm,則它的深度為cm.

答案75解析設(shè)油槽的上、下底面積分別為S',S.由V=13(S+SS'+S')h,得h=3V關(guān)鍵能力提升練11.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭,令上方六尺,問亭方幾何?”大致意思為“有一個(gè)正四棱錐下底面邊長為二丈,高三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且正四棱臺(tái)的上底面邊長為六尺,問該正四棱臺(tái)的體積是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺答案B解析由題意可知,正四棱錐的高為30,所截得正四棱臺(tái)的下底面棱長為20,上底面棱長為6,設(shè)棱臺(tái)的高為OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得30-h30=6×2220×22,解得h=21,可得正四棱臺(tái)的體積為13×21×(62+20212.如圖所示,在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺(tái)中,過上底面的一邊A1B1和AC,BC的中點(diǎn)F,E作一個(gè)平面A1B1EF,記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為V1(三棱柱A1B1C1FEC),V2兩部分,那么V1∶V2=.

答案3∶4解析設(shè)三棱臺(tái)的高為h,上底面的面積是S,則下底面的面積是4S,∴V棱臺(tái)=13h(S+4S+2S)=73Sh,V1=Sh,∴13.如圖,AA1,BB1,CC1相交于點(diǎn)O,形成兩個(gè)頂點(diǎn)相對、底面水平的三棱錐容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.設(shè)三棱錐的高均為1,若上面三棱錐中裝有高度為0.5的液體,且液體能流入下面的三棱錐,則液體流下去后液面的高度為.

答案13解析液體部分的體積為三棱錐體積的18,流下去后,液體上方空出的三棱錐的體積為三棱錐體積的78.設(shè)空出的三棱錐的高為x,則x313=78,14.(2021廣東東莞期末)廣場上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)全等的四面體得到的(如圖).如果被截正方體的棱長為22,那么玩具石凳的表面積為.

答案83+24解析根據(jù)題意可知,玩具石凳的表面由8個(gè)全等的以2為邊長的等邊三角形和6個(gè)以2為邊長的全等的正方形構(gòu)成,故玩具石凳的表面積為8×12×22sin60°+6×22=83+2415.一個(gè)正三棱錐PABC的底面邊長為a,高為h.一個(gè)正三棱柱A1B1C1A0B0C0的頂點(diǎn)A1,B1,C1分別在三條棱上,A0,B0,C0分別在底面△ABC上,何時(shí)此三棱柱的側(cè)面積取到最大值?解設(shè)三棱錐的底面中心為O,連接PO,圖略,則PO為三棱錐的高,設(shè)A1,B1,C1所在的底面與PO交于O1點(diǎn),則A1B1AB=PO1PO,令A(yù)1B1=x,而于是OO1=hPO1=hhax=h1所以所求三棱柱的側(cè)面積為S=3x·h1-xa=3ha(當(dāng)x=a2時(shí),S有最大值為34ah,此時(shí)O1為PO的中點(diǎn),即A1,B1,C1學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.在正三棱臺(tái)ABCA1B1C1中,已知AB=10,棱臺(tái)一個(gè)側(cè)面梯形的面積為2033,O1,O分別為上、下底面正三角形的中心,連接A1O1,AO并延長,分別交B1C1,BC于點(diǎn)D1,D,∠D1DA=60°,解∵AB=10,∴AD=32AB=53,