2024屆吉林省長春市綜合實驗中學數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆吉林省長春市綜合實驗中學數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若正數(shù)滿足，則當取最小值時，的值為（）A． B． C． D．2．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．3．平面向量與的夾角為，，，則()A． B． C．0 D．24．已知分別是的內(nèi)角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形5．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為1，圓心在直線上，若圓上存在點，使得，則圓心的橫坐標的取值范圍為（）A． B． C． D．7．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．128．雙曲線的離心率為，拋物線的準線與雙曲線的漸近線交于點，（為坐標原點）的面積為4，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．9．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．10．如圖，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．1211．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設事件{兩個點數(shù)互不相同}，{出現(xiàn)一個5點}，則()A． B． C． D．12．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的最小正周期為，則當時函數(shù)的一個零點是________14．在的展開式中，項的系數(shù)為______．15．若復數(shù)，則的共軛復數(shù)的虛部為_____16．若直角坐標平面內(nèi)兩點滿足點都在函數(shù)的圖像上，且點關于原點對稱，則稱是函數(shù)一個“姊妹點對”（與可看作同一“姊妹點對”）.已知則的“姊妹點對”有_______個.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，設，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”，為了解不同年齡的人對“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的關注程度，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在20—70歲之間的100人進行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為。關注不關注合計年輕人30中老年人合計5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99﹪的把握認為關注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”是否和年齡有關？（2）現(xiàn)已經(jīng)用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進行問卷調(diào)查，若再從這6人中選取3人進行面對面詢問，記選取的3人中關注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,，是中點。(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求與平面所成角的大小。21．（12分）設函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.22．（10分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（?。┠晷麄髻Mx=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)正數(shù)滿足，利用基本不等式有，再研究等號成立的條件即可.【題目詳解】因為正數(shù)滿足，所以，所以，當且僅當，即時取等號.故選：A【題目點撥】本題主要考查基本不等式取等號的條件，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2、A【解題分析】

根據(jù)已知求出b的值，再求三角形的面積.【題目詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.【題目點撥】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解題分析】

先由，求出，再求出，進而可求出【題目詳解】因為，所以，所以，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查向量模的運算，熟記公式即可，屬于基礎題型.4、A【解題分析】

由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【題目詳解】解：是的一個內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題．5、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值即可．【題目詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，故而，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.6、D【解題分析】

設，由，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．【題目詳解】設點，由，知：，

化簡得：，

點M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，

又點M在圓C上，圓C與圓D的關系為相交或相切，

，其中，，即可得，

故選：D．【題目點撥】本題主要考查圓與圓的位置關系的判定，兩點間的距離公式，圓和圓的位置關系的判定，屬于中檔題．7、C【解題分析】分析：，利用二項展開式可證明能被11整除.詳解：.故能整除（其中）的是11.故選C.點睛：本題考查利用二項式定理證明整除問題，屬基礎題.8、C【解題分析】由題意可知該雙曲線是等軸雙曲線，故漸近線方程是，而拋物線的準線方程為，由題設可得，則，所以（為坐標原點）的面積為，應選答案C。9、D【解題分析】

將直線的參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，進而得到傾斜角?！绢}目詳解】設直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。10、C【解題分析】

以AB,AC作為基底表示出【題目詳解】∵P，N分別是∴AP=又AP=mAB+【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運算，意在考查學生的邏輯推理能力．11、A【解題分析】由題意事件A={兩個點數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30，事件B:出現(xiàn)一個5點，有10種，∴，本題選擇A選項.點睛：條件概率的計算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進行計算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值.12、D【解題分析】

根據(jù)直線方程求得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角之間的關系，即可求得傾斜角.【題目詳解】設直線的傾斜角為，故可得，又，故可得.故選：D.【題目點撥】本題考查由直線的斜率求解傾斜角，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

本題可以先對函數(shù)進行化簡，然后通過最小正周期得出的值，最后得出零點?！绢}目詳解】因為最小正周期為所以所以當時函數(shù)的一個零點是?！绢}目點撥】本題的計算是要注意未知數(shù)的取值范圍以及題目給出的定義域。14、【解題分析】

利用二項式展開式的通項公式，求得項的系數(shù).【題目詳解】二項式，展開式中含項為，所以項的系數(shù)為.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.15、7【解題分析】

利用復數(shù)乘法運算化簡為的形式，由此求得共軛復數(shù)，進而求得共軛復數(shù)的虛部.【題目詳解】，，故虛部為.【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)乘法運算，考查共軛復數(shù)的概念，考查復數(shù)虛部的知識.16、2.【解題分析】

根據(jù)題意可知，只需作出函數(shù)y=x2+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可．【題目詳解】根據(jù)題意可知，“友好點對”滿足兩點：都在函數(shù)圖象上，且關于坐標原點對稱.可作出函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可.如圖所示：當時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故答案為：2.【題目點撥】本題考查函數(shù)的新定義問題，根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為零點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合畫出圖像即可求解，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）.【解題分析】

（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，故可得方程，從而可得的值，然后再對的值進行驗證；（2）根據(jù)導數(shù)可求出函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故將不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的定義域建立出不等式組，從而得出的取值范圍．【題目詳解】解：（1）是定義在的奇函數(shù)，，當m=1時，，.（2）,且，當且僅當時，取“=”，在恒成立，在單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，,.【題目點撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運用能力，解題的關鍵是要能夠準確地求出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的常見判斷方法是定義法、特殊值法等，函數(shù)單調(diào)性常見的判斷方法是定義法、導數(shù)法等．18、（1）詳見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）由可得,則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為2.可得數(shù)列的通項公式.并將代入用對數(shù)的運算法則將其化簡.再證為常數(shù).（2）數(shù)列是一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列，用錯位相減法求數(shù)列的前項和.試題解析：（1）由已知可得，，2分3分4分為等差數(shù)列，其中．6分（2）①7分②8分①-②得∴12分考點：1等比數(shù)列的定義和通項公式;2等差數(shù)列的定義和通項公式;3錯位想減法求數(shù)列的和.【方法點睛】本題涉及等差數(shù)列，等比數(shù)列，以及求和的方法，屬于基礎題型，數(shù)列求和的方法主要包括：（1）分組求和法，把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列和的形式；（2）裂項相消法：將數(shù)列寫成的形式，包括，，等形式；（3）錯位相減法：一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列的數(shù)列，采用錯位相減法求和；（4）倒序相加法求和：如果一個數(shù)列與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和時，可采用倒序相加法；（5）其他法，形如型數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求和,或有些數(shù)列具有周期性，可利用函數(shù)的周期性求和.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

(1)首先將列聯(lián)表填寫完整，根據(jù)公式計算，再與臨界值表作比較得到答案.(2)首先計算關注人數(shù)的概率，再寫出分布列，計算數(shù)學期望.【題目詳解】解：關注不關注合計年輕人103040中老年人402060合計5050100其中代入公式的≈，故有﹪的把握認為關注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”和年齡有關.（2）抽取的6位中老年人中有4人關注，2人不關注，則可能取的值有所以的分布列為123P【題目點撥】本題考查了列聯(lián)表的計算，分布列和數(shù)學期望的計算，意在考查學生的計算能力.20、(1)(2)【解題分析】

（1）推導出PA⊥AB，PA⊥AD．以A為原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出異面直線DP與CQ所成角的余弦值．(2)設平面法向量，與平面所成角,由得出，代入即可得解.【題目詳解】（1）以A為原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，，設與所成角是所以與所成角是.（2）設平面法向量，與平面所成角令,所以與平面所成角.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值、線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．21、（1）（2）見解析（3），見解析【解題分析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點，由此根據(jù)極值點對應的導數(shù)值為求解出的值，并注意驗證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對進行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，