2025年中考數(shù)學考點分類專題歸納之銳角三角函數(shù)和解直角三角形

年中考數(shù)學考點分類專題歸納銳角三角函數(shù)和解直角三角形知識點一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，這個比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個比叫做∠A的正切.

備注

(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關，而與所在直角三角形的大小無關.

(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示∠A三個三角函數(shù)值，書寫時習慣上省略符號“∠”，

但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

3.銳角三角函數(shù)之間的關系：

余角三角函數(shù)關系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

4.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

知識點二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關系，如圖：

角角關系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關系：勾股定理，即；

邊角關系：銳角三角函數(shù)，即

備注

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

知識點三、解直角三角形的應用

解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.1.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

2.常見應用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

2．用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：

把實際問題抽象成數(shù)學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯(lián)系轉化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關系．

借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學問題．

當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應用

用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔.

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進行代換很簡單：

∵∴

∵∴∵

∴1．（2024巴彥淖爾）南沙群島是我國固有領土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向10（1）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護航．如圖，已知C位于A處的東北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，則A和C之間的距離為（）A．10海里 B．20海里 C．20海里 D．10海里2．（2024益陽）如圖，小剛從山腳A出發(fā)，沿坡角為α的山坡向上走了300米到達B點，則小剛上升了（）A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米3．（2024蘇州）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務，當海監(jiān)船由西向東航行至A處時，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時到達B處，測得島嶼P在其北偏西30°方向，保持航向不變又航行2小時到達C處，此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離（即PC的長）為（）A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里4．（2024云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為（）A．3 B． C． D．5．（2024貴陽）如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（）A． B．1 C． D．6．（2024長春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米7．（2024宜昌）如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C，測得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米8．（2024重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達點C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i＝1：0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40米到達點E（A，B，C，D，E均在同一平面內）．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米9．（2024綿陽）一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結果保留小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：1.732，1.414）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里10．（2024金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，則竹竿AB與AD的長度之比為（）A． B． C． D．11．（2024天津）cos30°的值等于（）A． B． C．1 D．12．（2024遼陽）如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到A處測得小島C位于北偏東60°方向上，繼續(xù)向東航行10海里到達點B處，測得小島C在輪船的北偏東15°方向上，此時輪船與小島C的距離為___海里．（結果保留根號）13．（2024葫蘆島）如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿MN方向水平飛行進行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內，當無人機飛行至C處時、測得景點A的俯角為45°，景點B的俯角為30°，此時C到地面的距離CD為100米，則兩景點A、B間的距離為_________米（結果保留根號）．14．（2024大連）如圖，小明為了測量校園里旗桿AB的高度，將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，若測角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為_____m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）15．（2024北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠BAC___∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）16．（2024廣西）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是____m（結果保留根號）17．（2024黃石）如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、B在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是________米．（結果保留根號）18．（2024咸寧）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_____m（結果保留整數(shù)，1.73）．19．（2024濰坊）如圖，一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時后到達B處，此時測得島礁P在北偏東30°方向，同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60°方向．為了在臺風到來之前用最短時間到達M處，漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行_______小時即可到達．（結果保留根號）20．（2024棗莊）如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°，AB的長為12米，則大廳兩層之間的高度為_____米．（結果保留兩個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】21．（2024德州）如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的正弦值是______．22．（2024廣元）如圖，雨后初睛，李老師在公園散步，看見積水水面上出現(xiàn)梯步上方樹的倒影，于是想利用倒影與物體的對稱性測量這顆樹的高度，他的方法是：測得樹頂?shù)难鼋恰?、測量點A到水面平臺的垂直高度AB、看到倒影頂端的視線與水面交點C到AB的水半距離BC．再測得梯步斜坡的坡角∠2和長度EF，根據(jù)以下數(shù)據(jù)進行計算，如圖，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知線段ON和線段OD關于直線OB對稱．（以下結果保留根號）（1）求梯步的高度MO；（2）求樹高MN．23．（2024甘孜州）某小區(qū)為了安全起見，決定將小區(qū)內的滑滑板的傾斜角由45°調為30°，如圖，已知原滑滑板AB的長為4米，點D，B，C在同一水平地面上，調整后滑滑板會加長多少米？（結果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，2.449）24．（2024錦州）如圖，某消防隊在一居民樓前進行演習，消防員利用云梯成功救出點B處的求救者后，又發(fā)現(xiàn)點B正上方點C處還有一名求救者，在消防車上點A處測得點B和點C的仰角分別為45°和65°，點A距地面2.5米，點B距地面10.5米，為救出點C處的求救者，云梯需要繼續(xù)上升的高度BC約為多少米？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，1.4）25．（2024蘭州）如圖，斜坡BE，坡頂B到水平地面的距離AB為3米，坡底AE為18米，在B處，E處分別測得CD頂部點D的仰角為30°，60°，求CD的高度．（結果保留根號）26．（2024青海）如圖，同學們利用所學知識去測量三江源某河段某處的寬度．小宇同學在A處觀測對岸點C，測得∠CAD＝45°，小英同學在距點A處60米遠的B點測得∠CBD＝30°，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到0.01米，1.414，1.732）．27．（2024徐州）如圖，1號樓在2號樓的南側，兩樓高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為32.3°，1號樓在2號樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為55.7°，1號樓在2號樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．（1）求樓間距AB；（2）若2號樓共30層，層高均為3m，則點C位于第幾層？（參考數(shù)據(jù)：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）28．（2024撫順）如圖，BC是路邊坡角為30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內，CM∥AN）．（1）求燈桿CD的高度；（2）求AB的長度（結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）29．（2024盤錦）兩棟居民樓之間的距離CD＝30米，樓AC和BD均為10層，每層樓高3米．（1）上午某時刻，太陽光線GB與水平面的夾角為30°，此刻B樓的影子落在A樓的第幾層？（2）當太陽光線與水平面的夾角為多少度時，B樓的影子剛好落在A樓的底部？30．（2024梧州）隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時尚．為開發(fā)新的旅游項目，我市對某山區(qū)進行調查，發(fā)現(xiàn)一瀑布．為測量它的高度，測量人員在瀑布的對面山上D點處測得瀑布頂端A點的仰角是30°，測得瀑布底端B點的俯角是10°，AB與水平面垂直．又在瀑布下的水平面測得CG＝27m，GF＝17.6m（注：C、G、F三點在同一直線上，CF⊥AB于點F）．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°．求瀑布AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）31．（2024貴陽）如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關系的方法：∵sinA，sinB∴c，c∴根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關系，并寫出探究過程．32．（2024廣安）據(jù)調查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．小強用所學知識對一條筆直公路上的車輛進行測速，如圖所示，觀測點C到公路的距離CD＝200m，檢測路段的起點A位于點C的南偏東60°方向上，終點B位于點C的南偏東45°方向上．一輛轎車由東向西勻速行駛，測得此車由A處行駛到B處的時間為10s．問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度？（觀測點C離地面的距離忽略不計，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）33．（2024通遼）我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰，如圖所示，