2024屆牛欄山一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆牛欄山一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項活動，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知三棱錐外接球的表面積為，是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為3，則它的虛軸長是（）A． B． C．2 D．45．若函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．6．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．7．若滿足約束條件，則的最大值為（）A．9 B．5 C．11 D．38．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在直線上，若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，對于任意，且，均存在唯一實數(shù)，使得，且，若關(guān)于的方程有4個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．下列四個推理中，屬于類比推理的是（）A．因為銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電，所以一切金屬都能導(dǎo)電B．一切奇數(shù)都不能被2整除，是奇數(shù)，所以不能被2整除C．在數(shù)列中，，可以計算出，所以推出D．若雙曲線的焦距是實軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2，類似的，若橢圓的焦距是長軸長的一半，則此橢圓的離心率為12．下列等式中，錯誤的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a，b∈{0,1，2，3}，則不同的復(fù)數(shù)z=a+bi的個數(shù)是______．14．已知正三棱錐底面邊長為，側(cè)棱長為，則它的側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為________.15．設(shè),是實數(shù)集的兩個子集,對于,定義：若對任意,,則,,滿足的關(guān)系式為______.16．若曲線上在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．（1）求圓和直線l的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線l與圓相交于A，B，求的值．19．（12分）已知函數(shù)，其中均為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．20．（12分）已知.(1)若在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,求的極小值;(2)當(dāng)時,恒有,求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.2、D【解題分析】

,對應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限，故選D.3、B【解題分析】

設(shè)球心到平面的距離為，求出外接球的半徑R=,再根據(jù)求出，再根據(jù)求三棱錐的體積.【題目詳解】設(shè)球心到平面的距離為，三棱錐外接圓的表面積為，則球的半徑為，所以，故，由是的中點(diǎn)得：.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何體的外接球問題，考查錐體的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得虛軸長.【題目詳解】將點(diǎn)代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長，故本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過程中要注意：虛軸長是而不是.5、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．7、A【解題分析】

先作出不等式組所表示的可行域，然后平移直線，觀察直線在軸上的截距取最大值時對應(yīng)的最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入函數(shù)即可得出答案?！绢}目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)，它在軸上的截距取最大值，此時，取最大值，即，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，解題思路就是作出可行域，平移直線觀察在坐標(biāo)軸上的截距變化尋找最優(yōu)解，是?？碱}型，屬于中等題。8、D【解題分析】

設(shè)，由，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．【題目詳解】設(shè)點(diǎn)，由，知：，

化簡得：，

點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，

又點(diǎn)M在圓C上，圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，

，其中，，即可得，

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，圓和圓的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題．9、C【解題分析】分析：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，，，在第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點(diǎn)的概率為，故選C.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意條件概率計算公式的合理運(yùn)用，同時注意區(qū)分獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率與條件概率的區(qū)別與聯(lián)系.10、A【解題分析】

解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數(shù)t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數(shù)根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A．點(diǎn)睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點(diǎn)時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.11、D【解題分析】由推理的定義可得A,C為歸納推理，B為演繹推理，D為類比推理.本題選擇D選項.點(diǎn)睛：一是合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的．二是在進(jìn)行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤．12、C【解題分析】分析：計算每一選項的左右兩邊，檢查它們是否相等.詳解：通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,,所以選項C是錯誤的.故答案為C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列組合數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

分a=b和a≠b兩種情況討論，結(jié)合排列數(shù)公式求解．【題目詳解】當(dāng)a=b時，復(fù)數(shù)z=a+bi的個數(shù)是4個；當(dāng)a≠b時，由排列數(shù)公式可知，組成不同的復(fù)數(shù)z=a+bi的個數(shù)是A42∴不同的復(fù)數(shù)z=a+bi的個數(shù)是1個．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列及排列數(shù)公式，涉及分類討論思想，屬于中檔題．14、【解題分析】

先做出二面角的平面角，再運(yùn)用余弦定理求得二面角的余弦值．【題目詳解】取正三棱錐的底邊的中點(diǎn)，連接和,則在底面正中，，且邊長為，所以，在等腰中，邊長為，所以且，所以就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，所以在中，，故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角，屬于基礎(chǔ)題.15、或.【解題分析】

根據(jù)新定義、可以得到兩種情況,一種,另一種情況,這樣就可以確定,,滿足的關(guān)系.【題目詳解】因為對任意,,所以必有一個0,一個是1.根據(jù)定義可知：當(dāng)時,則有,當(dāng)時,則有,根據(jù)補(bǔ)集定義可知：或.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了新定義題,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了集合補(bǔ)集定義的理解.16、【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得，即為點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，由切線與直線垂直，可得，解得，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線垂直斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）3【解題分析】

（1）利用零點(diǎn)分類討論法解不等式.(2)先化成分段函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)的圖像即得其最大值.【題目詳解】⑴①當(dāng)x＜-1時，；②當(dāng)-1≤x≤2時，，；③當(dāng)時，，；綜上，不等式的解集為；⑵，由其圖知，.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查零點(diǎn)討論法解絕對值不等式，考查分段函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)分類討論是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想，要注意小分類求交，大綜合求并.18、（1）圓的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為；（2）．【解題分析】

（1）代入圓C得圓C的極坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，進(jìn)而求得直線l的極坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關(guān)于t的一元二次方程，令A(yù)，B對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，根據(jù)韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系，即可求得|PA|+|PB|的值．【題目詳解】（1）圓的直角坐標(biāo)方程為：，把代入圓得：化簡得圓的極坐標(biāo)方程為：由（為參數(shù)），得，的極坐標(biāo)方程為：.（2）由點(diǎn)的極坐標(biāo)為得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，∴直線的參數(shù)方程可寫成：（為參數(shù)）．代入圓得：化簡得：，∴，，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．一般t的絕對值表示方程中的定點(diǎn)到動點(diǎn)的距離，故，，均可用t來表示，從而轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理來解決.19、（1）當(dāng)時，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時，取得極大值，無極小值；（2）由題當(dāng)時，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當(dāng)時，取得極大值，無極小值；（2）當(dāng)時，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，∴實數(shù)的最小值為．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時的綜合應(yīng)用，屬難題.解題時要認(rèn)真研究題意，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)賓研究其性質(zhì)以達(dá)到解決問題的目的20、（1）（2）【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，再由題意可得f′（﹣1）＝0，從而求得2a＝1，從而化簡f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），從而確定極小值點(diǎn)及極小值．（2）對f（x）的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)時，可得f（x）單增，求得f（x）的最小值為0，當(dāng)a>1時，可得f（x）在（0，lna）上單減，且f（0）=0，不滿足題意，綜合可得實數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】（1）因為在上單