湖北小池濱江高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題含解析

湖北小池濱江高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．2．若角為三角形的一個內(nèi)角，并且，則（）A． B． C． D．3．下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為A． B． C． D．5．下列判斷錯誤的是A．若隨機變量服從正態(tài)分布，則B．“R，”的否定是“R，”C．若隨機變量服從二項分布：，則D．“<”是“a<b”的必要不充分條件6．復數(shù)的實部與虛部分別為（）A．， B．， C．， D．，7．己知弧長的弧所對的圓心角為弧度，則這條弧所在的圓的半徑為（）A． B． C． D．8．有10名學生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項實踐活動則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．99．設圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．10．由曲線，圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列滿足,則()A． B． C． D．12．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，則所得圖象對應的函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從長度為、、、的四條線段中任選三條，能構(gòu)成三角形的概率為.14．數(shù)列共有13項，，，且，，滿足這種條件不同的數(shù)列個數(shù)為______15．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．16．已知函數(shù)且，則____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的最小值；（2）若存在實數(shù)，，使得，求的最小值.18．（12分）某市大力推廣純電動汽車，對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程的行業(yè)標準，予以地方財政補貼.其補貼標準如下表:2017年底隨機調(diào)査該市1000輛純電動汽車，統(tǒng)計其出廠續(xù)駛里程，得到頻率分布直方圖如圖所示.用樣本估計總體，頻率估計概率，解決如下問題：（1）求該市純電動汽車2017年地方財政補貼的均值；（2）某企業(yè)統(tǒng)計2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù)，得如下的頻數(shù)分布表：（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）2018年2月，國家出臺政策，將純電動汽車財政補貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎設施建設上來.該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補貼資金用于添置新型充電設備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購置.直流充電樁5萬元/臺，每臺每天最多可以充電30輛車，每天維護費用500元/臺；交流充電樁1萬元/臺，每臺每天最多可以充電4輛車，每天維護費用80元/臺.該企業(yè)現(xiàn)有兩種購置方案：方案一:購買100臺直流充電樁和900臺交流充電樁；方案二:購買200臺直流充電樁和400臺交流充電樁.假設車輛充電時優(yōu)先使用新設備，且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入，用2017年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分別估計該企業(yè)在兩種方案下新設備產(chǎn)生的日利潤.（日利潤日收入日維護費用）19．（12分）對任意正整數(shù)n，設表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項，表示數(shù)列的前n項和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學歸納法證明；若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．21．（12分）近日，某地普降暴雨，當?shù)匾淮笮吞釅伟l(fā)生了滲水現(xiàn)象，當發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩而每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟損失約為元，且滲水面積以每天的速度擴散．當?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補貼費為每人元，勞務費及耗材費為每人每天元．若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作．寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最?。倱p失＝因滲水造成的直接損失+部門的各項支出費用）22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若方程在上只有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】,選C.2、A【解題分析】分析：利用同角關(guān)系，由正切值得到正弦值與余弦值，進而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.詳解：∵角為三角形的一個內(nèi)角，且，∴∴故選：A點睛：本題考查了同角基本關(guān)系式，考查了二倍角余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎題.3、D【解題分析】

逐一對四個選項的函數(shù)進行判斷，選出正確答案.【題目詳解】選項A:因為底數(shù)大于1，故對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項B::因為底數(shù)大于1，故指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項C:因為指數(shù)大于零，故冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項D;反比例函數(shù)當比例系數(shù)大于零時，在每個象限內(nèi)是減函數(shù)，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故本題選D.【題目點撥】本題考查了指對冪函數(shù)的單調(diào)性問題，熟練掌握指對冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數(shù)之和為.5、D【解題分析】

根據(jù)題目可知，利用正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)逐項分析，得出答案．【題目詳解】（1）隨機變量服從正態(tài)分布，故選項正確．（2）已知原命題是全稱命題，故其否定為特稱命題，將換為，條件不變，結(jié)論否定即可，故B選項正確．（3）若隨機變量服從二項分布：，則，故C選項正確．（4）當時，“a<b”不能推出“<”，故D選項錯誤．綜上所述，故答案選D．【題目點撥】本題是一個跨章節(jié)綜合題，考查了正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)四個知識點．6、A【解題分析】分析：化簡即可得復數(shù)的實部和虛部.詳解：復數(shù)的實數(shù)與虛部分別為5，5.故選A.點睛：復數(shù)相關(guān)概念與運算的技巧(1)解決與復數(shù)的基本概念和性質(zhì)有關(guān)的問題時，應注意復數(shù)和實數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，把復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的關(guān)鍵．(2)復數(shù)相等問題一般通過實部與虛部對應相等列出方程或方程組求解．(3)復數(shù)的代數(shù)運算的基本方法是運用運算法則，但可以通過對代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運用i的冪的性質(zhì)、運算法則來優(yōu)化運算過程．7、D【解題分析】

利用弧長公式列出方程直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，弧長的弧所對的圓心角為2弧度，則，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了圓的半徑的求法，考查弧長公式等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．8、A【解題分析】

先求出從12人中選3人的方法數(shù)，再計算3人中有1人是老師的方法數(shù)，最后根據(jù)概率公式計算．【題目詳解】從12人中選3人的方法數(shù)為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【題目點撥】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出完成事件的方法數(shù)．9、B【解題分析】有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積．10、C【解題分析】圍成的封閉圖形的面積為，選C.11、B【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的遞推公式，推出，利用累求和與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出結(jié)果詳解：由，可得，即，累加得，又，所以，所以有，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)利用累加法求通項的問題，在求解的過程中，需要利用題中所給的遞推公式，可以轉(zhuǎn)化為相鄰兩項差的式子，而對于此類式子，就用累加法求通項，之后再將100代入求解.12、D【解題分析】分析：依據(jù)題的條件，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得到相應的函數(shù)解析式，利用誘導公式化簡，可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)，得到的函數(shù)圖像對應的解析式為，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖像對應的解析式為，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的變換問題，在求解的過程中，需要明確伸縮變換和左右平移對應的規(guī)律，影響函數(shù)解析式中哪一個參數(shù)，最后結(jié)合誘導公式化簡即可得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個，由于是任意選取的，所以每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構(gòu)成三角形”，則事件A包含2個基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點：古典概率的計算14、495【解題分析】

根據(jù)題意，先確定數(shù)列中的個數(shù)，再利用組合知識，即可得到結(jié)論．【題目詳解】，或，，設上式中有個，則有個，，解得：，這樣的數(shù)列個數(shù)有.故答案為：495【題目點撥】本題以數(shù)列遞推關(guān)系為背景，本質(zhì)考查組合知識的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意確定數(shù)列中的個數(shù)是關(guān)鍵.15、【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點：古典概型概率16、【解題分析】

分別令和代入函數(shù)解析式，對比后求得的值.【題目詳解】依題意①，②，由①得，代入②得.故填-2【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)求值，考查對數(shù)運算，考查分子有理化，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.（2）設，求出，，，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可.【題目詳解】（1），，由，解得，由，解得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，當時，的最小值為.（2）設，則.，則，即，故，，，，即，.令，則，因為和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取最小值，此時，即最小值是.【題目點撥】本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于難題.18、（1）3.95；（2）見解析【解題分析】分析：（1）由頻率分布直方圖求出補貼分別是3萬元，4萬元，4.5萬元的概率，即得概率分布列，然后可計算出平均值；（2）由頻數(shù)分布表計算出每天需要充電車輛數(shù)的分布列，分別計算出兩種方案中新設備可主觀能動性車輛數(shù)，從而得實際充電車輛數(shù)的分布列，由分布列可計算出均值，從而計算出日利潤．詳解：（1）依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為：純電動汽車2017年地方財政補貼的平均數(shù)為(萬元)（2）由充電車輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車輛數(shù)的分布列：若采用方案一，100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為(輛）可得實際充電車輛數(shù)的分布列如下表：于是方案一下新設備產(chǎn)生的日利潤均值為(元）若采用方案二，200臺直流充電樁和400臺交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為(輛）可得實際充電車輛數(shù)的分布列如下表：于是方案二下新設備產(chǎn)生的日利潤均值為(元)點睛：本題考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，如頻率分布直方圖，隨機變量的分布列，期望，分布表等，考查數(shù)據(jù)處理能力，運用數(shù)據(jù)解決實際問題的能力．19、（1），，，，；（2），見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)定義計算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學歸納法證明.【題目詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，，成立；②假設當（，）時，結(jié)論成立，即，那么當時，易知當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，.所以.所以當時，結(jié)論成立.綜合①②可知，對一切且恒成立.【題目點撥】本題考查數(shù)列中的新定義問題，利用數(shù)學歸納法證明等式，考查學生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（1）證明：因為是邊長為4的正方形，所以，又，，由線面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分別以AC，AB，為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，取，則，同理得平面的法向量，設二面角的平面角為，則.【題目點撥】本題考查了直線與平面垂直判定與證明，以及空間角的求解問題，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1）（2）應安排名民工參與搶修，才能使總損失最小【解題分析】

（1）由題意得要搶修完成必須使得搶修的面積等于滲水的面積，即可得，所以；（