云南省昭通市大關縣二中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

云南省昭通市大關縣二中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列是等比數(shù)列，則“首項，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．非充分非必要條件2．函數(shù)在點處的導數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．33．已知集合，，則()A． B． C． D．4．設是可導函數(shù),且滿足,則曲線在點處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-45．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．2337．已知集合，，則從到的映射滿足，則這樣的映射共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其適當分割成棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．9．將5名報名參加運動會的同學分別安排到跳繩、接力，投籃三項比賽中（假設這些比賽都不設人數(shù)上限），每人只參加一項，則共有種不同的方案；若每項比賽至少要安排一人時，則共有種不同的方案，其中的值為（）A．543 B．425 C．393 D．27510．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．11．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)有極值點的概率為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.512．已知集合，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四面體中，，已知，，且，則四面體的體積的最大值為_______.14．已知在平面內(nèi)，點關于軸的對稱點的坐標為.根據(jù)類比推理，在空間中，點關于軸的對稱點的坐標為__________．15．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是___________．16．如果球的體積為，那么該球的表面積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）解關于x的不等式ax2+ax-1>x18．（12分）已知直線(t為參數(shù)），圓(為參數(shù)）.(1)當時，求與的交點坐標.(2)過坐標原點O作的垂線，垂足為為的中點.當變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？19．（12分）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程；(2)若點的極坐標為，是曲線上的一動點，求面積的最大值．20．（12分）我國是枇把生產(chǎn)大國，在對枇杷的長期栽培和選育中，形成了眾多的品種．成熟的枇杷味道甜美，營養(yǎng)頗豐，而且中醫(yī)認為枇杷有潤肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜愛．某果農(nóng)調(diào)查了枇杷上市時間與賣出數(shù)量的關系，統(tǒng)計如表所示：結(jié)合散點圖可知，線性相關．（Ⅰ）求關于的線性回歸方程＝（其中，用假分數(shù)表示）；（Ⅱ）計算相關系數(shù)，并說明（I）中線性回歸模型的擬合效果．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回歸直線方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：；相關系數(shù)21．（12分）已知函數(shù).（1）解關于的不等式；（2）對任意的，都有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）（1）求；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

證明由，可以得到數(shù)列單調(diào)遞增，而由數(shù)列單調(diào)遞增，不一定得到，，從而做出判斷，得到答案.【題目詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，首項，且公比，所以數(shù)列，且，所以得到數(shù)列單調(diào)遞增；因為數(shù)列單調(diào)遞增，可以得到首項，且公比，也可以得到，且公比.所以“首項，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：B.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列為遞增數(shù)列的判定和性質(zhì)，考查充分不不必要條件，屬于簡單題.2、C【解題分析】

求導后代入即可.【題目詳解】易得,故函數(shù)在點處的導數(shù)是.故選：C【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的運算,屬于基礎題.3、C【解題分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【題目詳解】則故選：C【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、D【解題分析】

由已知條件推導得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【題目詳解】由，得，∴曲線在點處的切線斜率為-4，故選：D.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義及運算，求解問題的關鍵，在于對所給極限表達式進行變形，利用導數(shù)的幾何意義求曲線上的點的切線斜率，屬于基礎題.5、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關鍵，是基礎題.6、A【解題分析】

對等式兩邊進行求導，當x＝1時，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【題目詳解】對等式兩邊進行求導，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【題目點撥】本題考查了二項式定理與導數(shù)的綜合應用問題，考查了賦值法求解二項展開式的系數(shù)和的方法，利用導數(shù)得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關鍵．7、B【解題分析】分析：根據(jù)映射的定義，結(jié)合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有兩種不同情況，進而根據(jù)分步乘法原理得到答案詳解：：若f（3）=3，則f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故這樣的映射的個數(shù)是2×2=4個，故選：B．點睛：本題考查的知識點是映射的定義，分步乘法原理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題8、C【解題分析】

由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結(jié)果，所以所求概率為．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答根據(jù)幾何體的結(jié)構特征，得出基本事件的總數(shù)和所求事件所包含基本事件的個數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．9、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，易得5名同學中每人有3種報名方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．第二種先分組再排列，問題得以解決．詳解：5名同學報名參加跳繩、接力，投籃三項比賽，每人限報一項，每人有3種報名方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，x==243種，當每項比賽至少要安排一人時，先分組有（+）=25種，再排列有=6種，所以y=25×6=150種，所以x+y=1．故選：C．點睛：排列組合的綜合應用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏．10、D【解題分析】

構造函數(shù)，對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調(diào)性，進而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進而求解.【題目詳解】根據(jù)題意，設，則導數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.11、C【解題分析】分析：函數(shù)有極值點，則有解，可得的取值范圍，再根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，可得曲線關于直線對稱，從而可得結(jié)論.詳解：函數(shù)有極值點，有解，，，隨機變量服從正態(tài)分布，若，.故選：C.點睛：本題考查函數(shù)的極值點，考查正態(tài)分布曲線的對稱性，同時考查運算求解的能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

作與，連接，說明與都在以為焦點的橢球上，且都垂直與焦距，，取BC的中點F，推出當是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可.【題目詳解】解：作與，連接，則平面，，由題意，與都在以為焦點的橢球上，且都垂直與焦距且垂足為同一點E，顯然與全等，所以，取BC的中點F，，要四面體ABCD的體積最大，因為AD是定值，只需三角形EBC面積最大，因為BC是定值，所以只需EF最大即可，當是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，，，，所以幾何體的體積為：,故答案為：.【題目點撥】本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力以及計算能力，是中檔題.14、【解題分析】

在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).【題目詳解】在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).點關于軸的對稱點的坐標為故答案為：【題目點撥】本題考查了空間的對稱問題，意在考查學生的空間想象能力.15、【解題分析】

變換得到，設，求導得到單調(diào)性，畫出圖像得到答案.【題目詳解】由題可知函數(shù)的定義域為函數(shù)有零點，等價于有實數(shù)根，即，設，則.則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，畫出圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知.故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究零點，參數(shù)分離畫出圖像是解題的關鍵.16、【解題分析】

根據(jù)球的體積公式：求出球的半徑，然后由表面積公式：即可求解?！绢}目詳解】，又因為，所以故答案為：【題目點撥】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析.【解題分析】分析：對a分五種情況討論，分別利用一元一次不等式與一元二次不等式的解法求解即可.詳解：①當a=0時，x<-1；②當a≠0時：1°a>0，ax2故等式左邊因式分解得：ax-1x+12°當-1<a<0時，-ax+13°當a=-1時，x4°當a<-1時，-ax+1點睛：本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想的應用.屬于中檔題.分類討論思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用與解題當中.18、（1）(1，0)，（2）＋y2＝.故P點軌跡是圓心為，半徑為的圓【解題分析】(1)當α＝時，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點為(1，0)，.(2)C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.A點坐標為(sin2α，－cosαsinα)，故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．P點軌跡的普通方程為＋y2＝.故P點軌跡是圓心為，半徑為的圓19、(1);(2).【解題分析】分析：（1）消去參數(shù)可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標方程；（2）解法一：極坐標法.設動點極坐標為，由正弦定理得的表達式，確定最大值.解法二：幾何法.過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點.以為底邊計算，將最大值，轉(zhuǎn)化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質(zhì)，易得當點M與點P重合時，高時取得最大值，由銳角的三角函數(shù)得，，，即可求出面積的最大值．解法三：與解法二相同，最大值時，由勾股定理求得.解法四：與解法二相同，最大值時，由圓心到之間距離計算.詳解：解：（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴消去參數(shù)得，即∵，，∴曲線的極坐標方程為即.（2）解法一：設點的極坐標為且，∴當且僅當即時，的最大值為（2）解法二：∵點、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點則如圖所示,（2）解法三：∵點、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點則下同解法二（2）解法四：∵點、在圓上∴過圓心作直線的垂線交圓于、兩點，交于點∵直線的方程為：∴點到直線的距離下同解法二點睛：本題