2024屆深圳市龍崗區(qū)數學高二下期末調研試題含解析

2024屆深圳市龍崗區(qū)數學高二下期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將兩枚質地均勻的骰子各擲一次，設事件{兩個點數互不相同}，{出現一個5點}，則()A． B． C． D．2．小明、小紅、小單三戶人家，每戶3人，共9個人相約去影院看《老師好》，9個人的座位在同一排且連在一起，若每戶人家坐在一起，則不同的坐法總數為（）A． B． C． D．3．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個頂點到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．4．為第三象限角，，則（）A． B． C． D．5．函數f(x)＝3sin(2x－)在區(qū)間[0，]上的值域為()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]6．如圖是“向量的線性運算”知識結構，如果要加入“三角形法則”和“平行四邊形法則”，應該放在（）A．“向量的加減法”中“運算法則”的下位B．“向量的加減法”中“運算律”的下位C．“向量的數乘”中“運算法則”的下位D．“向量的數乘”中“運算律”的下位7．已知，取值如下表：從所得的散點圖分析可知：與線性相關，且，則等于（）A． B． C． D．8．設是平面內的兩條不同直線，是平面內兩條相交直線，則的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．9．已知函數，若方程有4個不同的實數根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知直線與曲線相切，則實數k的值為（）A． B．1 C． D．11．已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則A． B． C． D．12．在三棱錐P-ABC中，，，，若過AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為______．14．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是_______.15．拋物線的準線方程是________.16．若在區(qū)間上恒成立，則實數的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，，E，F分別是BC，PC的中點．Ⅰ證明：；Ⅱ設H為線段PD上的動點，若線段EH長的最小值為，求直線PD與平面AEF所成的角的余弦值．19．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點，若，試用表示.20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點，是上的點，且，為中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，，，求三棱錐的體積.21．（12分）已知橢圓:的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于，兩點，若，求（為坐標原點）面積的最大值及此時直線的方程.22．（10分）某電視臺舉辦闖關活動，甲、乙兩人分別獨立參加該活動，每次闖關，甲成功的概率為，乙成功的概率為.（1）甲參加了次闖關，求至少有次闖關成功的概率；（2）若甲、乙兩人各進行次闖關，記兩人闖關成功的總次數為，求的分布列及數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題意事件A={兩個點數都不相同}，包含的基本事件數是36?6=30，事件B:出現一個5點，有10種，∴，本題選擇A選項.點睛：條件概率的計算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進行計算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，然后求概率值.2、C【解題分析】

分兩步，第一步，將每一個家庭的內部成員進行全排列；第二步，將這三個家庭進行排列【題目詳解】先將每一個家庭的內部成員進行全排列，有種可能然后將這三個家庭（家庭當成一個整體）進行排列，有種可能所以共有種情況故選：C【題目點撥】本題考查的是排列問題，相鄰問題常用捆綁法解決.3、C【解題分析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式可求出結果【題目詳解】解：因為焦點在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點為，漸近線方程為由雙曲線的對稱性可知，只要求出其中一個頂點到一條漸近線的距離即可不妨求點到直線的距離故選：C【題目點撥】此題考查了雙曲線的有關知識和點到直線的距離公式，屬于基礎題4、B【解題分析】分析：先由兩角和的正切公式求出，再利用同角三角函數基本關系式進行求解．詳解：由，得，由同角三角函數基本關系式，得，解得又因為為第三象限角，所以，則．點睛：1.利用兩角和差公式、二倍角公式進行三角恒等變形時，要優(yōu)先考慮用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函數基本關系式中的“”求解時，要注意利用角的范圍或所在象限進行確定符號．5、B【解題分析】

分析：由，求出的取值范圍，從而求出的范圍，從而可得的值域.詳解：，，，，即在區(qū)間上的值域為，故選B.點睛：本題考查了求三角函數在閉區(qū)間上的值域問題，意在考查解題時應考慮三角函數的單調性與最值，屬于簡單題.6、A【解題分析】

由“三角形法則”和“平行四邊形法則”是向量的加減法的運算法則，由此易得出正確選項．【題目詳解】因為“三角形法則”和“平行四邊形法則”是向量的加減法的運算法則，故應該放在“向量的加減法”中“運算法則”的下位．故選A．【題目點撥】本題考查知識結構圖，向量的加減法的運算法則，知識結構圖比較直觀地描述了知識之間的關聯，解題的關鍵是理解知識結構圖的作用及知識之間的上下位關系．7、B【解題分析】

計算平均數，可得樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【題目詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過中心點(),即點(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【題目點撥】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過樣本中心點是關鍵．8、B【解題分析】試題分析：A．不能得出，所以本題條件是的不充分條件；B．，當時，不一定有故本命題正確；C．不能得出，故不滿足充分條件；D．不能得出，故不滿足充分條件；故選B.考點：平面與平面垂直的方法.9、B【解題分析】

作函數的圖像，方程有4個不同的實數根，從而得到，，，的范圍，代入化簡，再利用函數的單調性即可得到取值范圍。【題目詳解】作函數的圖像如下：由圖可知：，，，故；由在單調遞減，所以的范圍是，即的取值范圍是；故答案選B【題目點撥】本題考查分段函數的運用，主要考查函數單調性的運用，運用數形結合的思想方法是解題的關鍵。10、D【解題分析】由得，設切點為，則，，，，對比，，，故選D.11、D【解題分析】

，選D.12、A【解題分析】

由題構建圖像，由，想到取PC中點構建平面ABD，易證得平面ABD，所以PA與平面所成角即為，利用正弦函數定義，得答案.【題目詳解】如圖所示，取PC中點為D連接AD，BD，因為過AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，所以即為平面ABD；又因為，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA與平面所成角即為，因為，所以，所以．故選：A【題目點撥】本題考查立體幾何中求線面角，應優(yōu)先作圖，找到或證明到線面垂直，即可表示線面角，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯系，這樣可得三角形面積為.14、1【解題分析】

利用列舉法先求出不超過30的所有素數，利用古典概型的概率公式進行計算即可．【題目詳解】在不超過30的素數中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數有C102和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應的概率P=3故答案為：1【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率和組合數的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15、【解題分析】分析：利用拋物線的準線方程為，可得拋物線的準線方程.詳解：因為拋物線的準線方程為，所以拋物線的準線方程為，故答案為.點睛：本題考查拋物線的準線方程和簡單性質，意在考查對基本性質的掌握情況，屬于簡單題.16、【解題分析】分析：利用換元法簡化不等式，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，22x+2﹣2x=t2+2，整理可得a≥﹣（t+），t∈[，]根據函數y=t+的單調性求出最大值即可．詳解：a（2x﹣2﹣x）+≥0在x∈[1，2]時恒成立，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，∴22x+2﹣2x=t2+2，∴a≥﹣（t+），t∈[，]，顯然當t=是，右式取得最大值為﹣，∴a≥﹣．故答案為[﹣，+∞）．點睛：考查了換元法的應用和恒成立問題的轉化思想應用．恒成立的問題的解決方法：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解題分析】

（1）把三個不同的小球分別放入5個不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，即可求得答案.（2）因為3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，所以一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，即可求得答案.【題目詳解】（1）把3個不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，共有種結果，共有：方法．（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，由分步乘法計數原理，放法共有種共有：放法．【題目點撥】本題的求解按照分步計數原理可先將球分組，選擇盒子，再將球排列到選定的盒子里，這種先選后排的方法是最常用的思路，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據正三角形性質得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根據PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解得平面AEF一個法向量，由向量數量積得向量夾角，最后根據向量夾角與線面角互余關系得結果.【題目詳解】（1）連接AC，因為底面ABCD為菱形，所以三角形ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，則又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）過A作AH⊥PD于H，連HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直線PD與平面AEF所成的角的余弦值為【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定和性質及利用空間向量求線面角，屬中等難度題．19、(1)(2)【解題分析】

（1）由題意列方程組，求解方程組即可得解；（2）由直線和橢圓聯立，利用弦長公式結合韋達定理求表示即可.【題目詳解】（1）由題意解得故橢圓C的方程為．（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8＝0，所以，．因為|AB|＝4|，所以，所以，整理得k2(4-m2)＝m2-2，顯然m2≠4，又k＞0，所以．故．【題目點撥】本題主要考查了直線與橢圓相交的弦長問題，屬于基礎題.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）通過證明，證得線面垂直；（2）求出點到平面的距離，利用錐體體積公式即可得解.【題目詳解】（1）因為平面，平面，所以，又因為為中邊上的高，所以，，平面，平面，所以平面.（2），因為是中點，平面，所以點到平面的距離為，于是.【題目點撥】此題考查證明線面垂直和求錐體的體積，關鍵在于熟練掌握線面垂直的判定定理，準確求出點到平面的距離，根據公式計算