2024屆重慶市涪陵高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆重慶市涪陵高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx2．方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是A． B． C． D．或3．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．4．某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）．A． B．C． D．5．某市某校在秋季運(yùn)動(dòng)會中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4，每名同學(xué)有2次投籃機(jī)會，且各同學(xué)投籃之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個(gè)得4分，投進(jìn)一個(gè)得2分，一個(gè)未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.326．已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fA． B．C． D．7．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則A． B． C． D．8．在等比數(shù)列中，已知，則的值為（）A． B． C． D．9．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個(gè)長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．10．平面向量與的夾角為，，，則()A． B． C．0 D．211．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．0 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，若兩點(diǎn)到直線的距離分別為，則的最大值為__________.14．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續(xù)擲一枚圖釘3次，則至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率為_____________．15．如圖，在三角形中，D為邊上一點(diǎn)，且，，則為______.16．當(dāng)時(shí)，有，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，且為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.18．（12分）設(shè)曲線．（Ⅰ）若曲線表示圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．19．（12分）某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會組委會在頒獎(jiǎng)過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺抽獎(jiǎng).求或沒有上臺抽獎(jiǎng)的概率.（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率.20．（12分）隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購物者進(jìn)行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實(shí)體店．（1）若從10名購物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；（2）若從這10名購物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，為常數(shù)（Ⅰ）若時(shí)，已知在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。22．（10分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

對各選項(xiàng)逐一判斷即可，利用在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),即可判斷A選項(xiàng)不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則即可判斷B選項(xiàng)滿足題意對于C,D，由初等函數(shù)性質(zhì)，直接判斷其不滿足題意.【題目詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數(shù)，不符合題意；對于B，，所以是奇函數(shù)，令，則由，兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成又，它在上單調(diào)遞增所以既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)，符合題意，對于C，y＝x﹣1是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但它在（﹣1，1）上不是減函數(shù)，不符合題意；對于D，y＝tanx為正切函數(shù)，是奇函數(shù)，但在（﹣1，1）上是增函數(shù)，不符合題意；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則及初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。2、C【解題分析】試題分析：①時(shí)，顯然方程沒有等于零的根．若方程有兩異號實(shí)根，則；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必有．②若時(shí)，可得也適合題意．綜上知，若方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，則．反之，若，則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于的方程至少有一負(fù)的實(shí)根的充要條件是．故答案為C考點(diǎn)：充要條件，一元二次方程根的分布3、B【解題分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸常為,故選B.4、C【解題分析】幾何體是一個(gè)組合體，包括一個(gè)三棱柱和半個(gè)圓柱，三棱柱的是一個(gè)底面是腰為的等腰直角三角形，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；圓柱的底面半徑是，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；∴組合體的表面積是，本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．5、B【解題分析】

事件“第一次投進(jìn)球”和“第二次投進(jìn)球”是相互獨(dú)立的，利用對立事件和相互獨(dú)立事件可求“其中一名同學(xué)得2分”的概率.【題目詳解】設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件，“第二次投進(jìn)球”為事件，則得2分的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查對立事件、相互獨(dú)立事件，注意互斥事件、對立事件和獨(dú)立事件三者之間的區(qū)別，互斥事件指不同時(shí)發(fā)生的事件，對立事件指不同時(shí)發(fā)生的事件且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，而獨(dú)立事件指一個(gè)事件的發(fā)生與否與另一個(gè)事件沒有關(guān)系.6、D【解題分析】

根據(jù)f'x的正負(fù)與f【題目詳解】因?yàn)閒'x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f'x>0時(shí)，函數(shù)A中，直線對應(yīng)f'x，曲線對應(yīng)B中，x軸上方曲線對應(yīng)fx，x軸下方曲線對應(yīng)fC中，x軸上方曲線對應(yīng)f'x，x軸下方曲線對應(yīng)D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對應(yīng)f'x時(shí)，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個(gè)不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于?？碱}型.7、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.8、D【解題分析】

根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列得到公比，再由數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，故得到進(jìn)而得到，則故答案為：D.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，是簡單題.9、B【解題分析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，如圖所示：設(shè)外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時(shí)考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.10、D【解題分析】

先由，求出，再求出，進(jìn)而可求出【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模的運(yùn)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、A【解題分析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.12、A【解題分析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值，然后根據(jù)判斷出中點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)轉(zhuǎn)化關(guān)系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離最大值，由此求解出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，又因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，，如下圖所示：所以，又因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，所以當(dāng)取最大值時(shí)，為過垂直于的線段與的交點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點(diǎn)到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點(diǎn)到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計(jì)算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.14、【解題分析】

至少出現(xiàn)2次針尖向上包括：出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據(jù)互斥事件概率加法公式，可得答案．【題目詳解】∵投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)2次針尖向上的概率為：0.132，出現(xiàn)3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是互斥事件概率加法公式，先求出出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上的概率，是解答的關(guān)鍵．15、【解題分析】

延長AD,過點(diǎn)C作,垂足為E,由,則,設(shè),則,可證明,則,從而求得,即的值.【題目詳解】解:如圖,延長AD,過點(diǎn)C作,垂足為E,,,設(shè),則,,,,則,,,,,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì),基礎(chǔ)知識要熟練掌握.16、1【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，復(fù)數(shù)相等的條件列式求解a值．【題目詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的分類，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由題意得，又，從而即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可運(yùn)用空間向量的方法求得答案.詳解：（1）證明：因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以.又兩兩垂直，且所以平面，則.因?yàn)?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.∵，∴可設(shè)，則，∴，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.平面的一個(gè)法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．18、(1)或.(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程的條件列不等式求出的范圍；

（Ⅱ）利用垂徑定理得出圓的半徑，從而得出的值．詳解：(Ⅰ)曲線C變形可得：，由可得或(Ⅱ)因?yàn)閍=3，所以C的方程為即，所以圓心C（3,0），半徑,因?yàn)樗訡到直線AB的距離,解得..點(diǎn)睛：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的弦長的求法，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）160；（2）；（3）【解題分析】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)知識，考查分層抽樣，考查概率的計(jì)算，確定概率的類型是關(guān)鍵．（1）根據(jù)分層抽樣可得故可求n的值；（2）求出高二代表隊(duì)6人，從中抽取2人上臺抽獎(jiǎng)的基本事件，確定a和b至少有一人上臺抽獎(jiǎng)的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上臺抽獎(jiǎng)的概率（3）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)的區(qū)域，由條件得到的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，計(jì)算面積，可求該代表中獎(jiǎng)的概率．解：（Ⅰ）由題意得，解得.…………4分（Ⅱ）從高二代表隊(duì)6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15種………6分設(shè)“高二代表隊(duì)中a和b至少有一人上臺抽獎(jiǎng)”為事件，其中事件的基本事件有9種.則.…………9分（Ⅲ）由已知，可得，點(diǎn)在如圖所示的正方形OABC內(nèi)，由條件，得到區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分.由，令得，令得.∴設(shè)“該運(yùn)動(dòng)員獲得獎(jiǎng)品”為事件則該運(yùn)動(dòng)員獲得獎(jiǎng)品的概率……………14分20、（1）（2）【解題分析】【試題分析】（1）先求事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”概率，再運(yùn)用對立事件的概率公式求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；（2）先確定隨機(jī)變量取法，分別求出對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望解：（1）設(shè)“至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A，則表示事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”，則P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）X的取值為0，1，2，1．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=1）=．E（X）=0×+1×+2×+1×=．21、（1）（2）【解題分析】分析：⑴將代入，求出的表達(dá)式，求導(dǎo)，然后綜合只有一個(gè)極值點(diǎn)即可求出結(jié)果⑵法一：將代入，求導(dǎo)后利用單調(diào)性來求解；法二：整體思想，采用放縮法進(jìn)行求解詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)有且只