2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破講義：學(xué)案 特別策劃2　微切口1　頻率分布直方圖的分析與應(yīng)用

闖關(guān)奪隘——贏在中檔題之高考微切口微切口1頻率分布直方圖的分析與應(yīng)用求中位數(shù)與百分位數(shù)例1(1)(2023·邢臺期末)《中國居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，測量他們的體重(單位：kg)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是(C)(例1(1))A．55 B．57.25C．58.75 D．60【解析】因為(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6＜0.75,0.6＋0.04×5＝0.8＞0.75，所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在[55,60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為m，則(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75．(2)作為惠民政策之一，新農(nóng)合是國家推出的一項新型農(nóng)村合作醫(yī)療保險政策，極大地解決了農(nóng)村人看病難的問題．為了檢測此項政策的落實情況，現(xiàn)對某地鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院隨機抽取100份住院記錄作出頻率分布直方圖如圖所示．(例1(2))已知該醫(yī)院報銷政策為花費400元及以下的不予報銷；花費超過400元不超過6000元的，超過400元的部分報銷65%；花費在6000元以上的報銷所花費費用的80%．下列說法中正確的是(D)A．a(chǎn)＝0.0018B．若某病人住院花費了4300元，則報銷后實際花費為2235元C．根據(jù)頻率分布直方圖可估計一個病人在該醫(yī)院報銷所花費費用為80%的概率為eq\f(3,10)D．這100份花費費用的中位數(shù)是4200元【解析】由頻率分布直方圖可得(0.00025＋a＋0.00015＋0.00012＋0.0001×2＋0.00005×2)×1000＝1，經(jīng)計算得a＝0.00018，即A錯誤；某病人住院花費了4300元，則報銷的金額為(4300－400)×65%＝2535元，所以此人實際花費為4300－2535＝1765元，即B錯誤；樣本中可報銷費用為80%的占比為0.15，即根據(jù)頻率分布直方圖可估計一個病人在該醫(yī)院報銷所花費費用為80%的概率為eq\f(3,20)，即C錯誤；樣本中花費金額小于4000元的概率為(a＋0.00012＋0.0001＋0.00005)×1000＝0.45，所以中位數(shù)應(yīng)在區(qū)間[4000，5000)內(nèi)，所以花費費用的中位數(shù)是4000＋eq\f(0.5－0.45,0.00025×1000)×1000＝4200元，即D正確．變式1(2023·岳陽二模)(多選)某學(xué)校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強學(xué)生的國防意識，組織了一次“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，對100名學(xué)生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，為進一步了解學(xué)生的答題情況，通過分層隨機抽樣，從成績在區(qū)間[70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績作分析，下列結(jié)論正確的是(AC)(變式1)A．頻率分布直方圖中的x＝0.030B．估計100名學(xué)生成績的中位數(shù)是85C．估計100名學(xué)生成績的80%分位數(shù)是95D．從6人中先后抽取2人作分析時，若先抽取的學(xué)生成績位于[70,80)，則后抽取的學(xué)生成績在[80,90)的概率是eq\f(4,15)【解析】對于A，根據(jù)學(xué)生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10×(0.005＋0.01＋0.015＋x＋0.040)＝1，解得x＝0.030，故A正確；對于B，由(0.005＋0.010＋0.015)×10＝0.3＜0.5，(0.005＋0.010＋0.015＋x)×10＝0.6＞0.5，故中位數(shù)位于[80,90)之間，中位數(shù)為80＋eq\f(0.5－0.3,0.3)×(90－80)＝eq\f(260,3)，故B錯誤；對于C,80%分位數(shù)約為90＋eq\f(0.8－0.6,0.4)×10＝95分，故C正確；對于D，在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[70,80)和[80,90)的學(xué)生人數(shù)之比為eq\f(10×0.015,10×0.030)＝eq\f(1,2)，故[70,80)中抽取了2人，[80,90)中抽取了4人，先抽取的學(xué)生成績位于[70,80)，則第二次抽取時，是在5個人中抽取，而此時學(xué)生成績在[80,90)的個數(shù)有4個，故概率為eq\f(4,5)，故D不正確．求均值與方差例2從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如圖頻率分布直方圖．(例2)(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；【解答】樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝(170×0.002＋180×0.009＋190×0.022＋200×0.033＋210×0.024＋220×0.008＋230×0.002)×10＝200，方差s2＝(170－200)2×0.002×10＋(180－200)2×0.009×10＋(190－200)2×0.022×10＋(200－200)2×0.033×10＋(210－200)2×0.024×10＋(220－200)2×0.008×10＋(230－200)2×0.002×10＝150．(2)產(chǎn)品質(zhì)量指標值在185與215之間的每個盈利200元，在175與185或215與225之間的每個虧損50元，其余的每個虧損300元．該企業(yè)共生產(chǎn)這種產(chǎn)品10000個，估計這批產(chǎn)品可獲利或虧損多少元？【解答】由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標值在[185,215)的頻率為(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79，質(zhì)量指標值在[175,185)和[215,225)的頻率為(0.009＋0.008)×10＝0.17，質(zhì)量指標值在[165,175)和[225,235]的頻率為0.002×2×10＝0.04，所以(200×0.79－50×0.17－300×0.04)×10000＝1375000(元)．故10000件產(chǎn)品獲利1375000元．頻率分布直方圖中百分位數(shù)求解步驟：(1)找出百分位數(shù)所在的矩形區(qū)間(a，b)；(2)設(shè)組距為d，k百分位數(shù)＝a＋d·eq\f(\f(k,100)－a處之前的頻率和,區(qū)間a，b的頻率)．變式2某公司新研發(fā)一種電子產(chǎn)品，準備從甲、乙兩個代加工廠中選擇一個進行生產(chǎn)，為此先讓甲、乙兩個代加工廠分別試生產(chǎn)20件產(chǎn)品，通過檢測，將甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)(單位：分)按照[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100]分組，得到頻率分布直方圖如圖所示，乙工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)分別為86,89,89,90,90,92,92,93,93,93,93,93,93,93,95,95,95,98,98,100．已知產(chǎn)品質(zhì)量越好，質(zhì)量分數(shù)越高．以頻率估計概率，以樣本估計總體．(變式2)(1)已知甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的方差為7.29，乙工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的平均數(shù)為93，判斷該公司應(yīng)該選擇哪個工廠進行生產(chǎn)，并說明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；【解答】甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的平均數(shù)為0.1×89＋0.2×91＋0.3×93＋0.2×95＋0.15×97＋0.05×99＝93.5，甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的方差為7.29．乙工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的平均數(shù)為93＋eq\f(1,20)×(－7－4－4－3－3－1－1＋2＋2＋2＋5＋5＋7)＝93，乙工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的方差為eq\f(1,20)×[(86－93)2＋2×(89－93)2＋2×(90－93)2＋2×(92－93)2＋7×(93－93)2＋3×(95－93)2＋2×(98－93)2＋(100－93)2]＝10.6．甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的平均數(shù)大于乙工廠，并且甲工廠試生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量分數(shù)的方差小于乙工廠，故選擇甲工廠．(2)現(xiàn)將質(zhì)量分數(shù)低于92分的產(chǎn)品定為二等品，質(zhì)量分數(shù)不低于92分的產(chǎn)品定為一等品，已知每生產(chǎn)一件二等品的利潤為300元，每生產(chǎn)一件一等品的利潤為400元，請估計(1)中選擇的工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤．【解答】甲工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品是二等品的概率為2×(0.05＋0.1)＝0.3，一等品的概率為1－0.3＝0.7，所以估計甲工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為300×0.3＋400×0.7＝370(元)．頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)中位數(shù)