2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破講義：配套熱練 特別策劃2　微切口1　組合體的表面積與體積計算

特別策劃2闖關(guān)奪隘——贏在中檔題之高考微切口微切口1組合體的表面積與體積計算1．若正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側(cè)面積為(A)A．32 B．48C．64 D．eq\f(32,3)【解析】如圖，正四棱錐的高為PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE．因為OE＝2，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝eq\f(OE,sin30°)＝4，所以S正四棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32．(第1題)2．(2023·福州模擬)如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且∠ABC＝eq\f(2π,3)，則該圓臺的體積為(C)(第2題)A．eq\f(14\r(,2),81)π B．eq\f(\r(,2),3)πC．eq\f(52\r(,2),81)π D．eq\f(4\r(,2),3)π【解析】設(shè)圓臺上底面圓的半徑為r1，下底面圓的半徑為r2，依題意知2πr1＝eq\f(2π,3)×1，且2πr2＝eq\f(2π,3)×3，解得r1＝eq\f(1,3)，r2＝1，而圓臺的母線長l＝AD＝3－1＝2，因此圓臺的高h＝eq\r(,l2－r2－r12)＝eq\r(,4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(4\r(,2),3)，所以圓臺的體積V＝eq\f(π,3)h(req\o\al(2,1)＋r1r2＋req\o\al(2,2))＝eq\f(π,3)×eq\f(4\r(,2),3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\f(1,3)×1＋12))＝eq\f(52\r(,2)π,81)．3．(2023·廣東一模)已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(\r(,3),3) D．eq\r(,3)【解析】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為l＝2r，則圓錐和圓柱的高為h＝eq\r(,4r2－r2)＝eq\r(,3)r，所以圓錐的側(cè)面積為S1＝eq\f(1,2)×2πr×l＝2πr2，圓柱的側(cè)面積為S2＝2πr×h＝2eq\r(,3)πr2，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(,3),3)．4．(2023·寧波二模)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)(C)A．eq\f(5,3)寸 B．2寸C．eq\f(7,3)寸 D．3寸【解析】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因為積水深9寸，所以水面半徑為eq\f(1,2)(18＋6)＝12寸，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×9×(62＋122＋6×12)＝756π(立方寸)，所以平均降雨量等于eq\f(756π,π×182)＝eq\f(7,3)(寸)．(第4題)5．(2023·茂名一模)蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個圓柱，高為2m．上半部分近似一個與下半部分同底的圓錐，其母線長為2eq\r(,3)m，軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是面積為3eq\r(,3)m2的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為(C)(第5題)A．21πm3 B．18πm3 C．(18＋3eq\r(,3))πm3 D．(20＋3eq\r(,3))πm3【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π))，因為其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是腰長為2eq\r(,3)m，面積為3eq\r(,3)m2的等腰三角形，所以eq\f(1,2)l2sinα＝eq\f(1,2)×(2eq\r(,3))2×sinα＝3eq\r(,3)，解得sinα＝eq\f(\r(,3),2)，則α＝eq\f(2π,3)或α＝eq\f(π,3)(舍去)．由α＝eq\f(2π,3)得h＝lcoseq\f(α,2)＝2eq\r(,3)×coseq\f(π,3)＝eq\r(,3)，r＝lsineq\f(α,2)＝2eq\r(,3)×sineq\f(π,3)＝3，則上半部分的體積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×32×eq\r(,3)＝3eq\r(,3)π(m3)，下半部分體積為πr2h＝18π(m3)，故蒙古包的體積為(18＋3eq\r(,3))πm3．(第5題)6．(2023·義烏調(diào)研)(多選)如圖(1)，八面體E－ABCD－F的每一個面都是邊長為2的正三角形，且4個頂點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，取各棱的中點，切割成歐氏反例(如圖(2))，則該歐氏反例(BC)圖(1)圖(2)(第6題)A．共有12個頂點 B．共有24條棱C．表面積為4＋4eq\r(,3) D．體積為eq\r(,2)【解析】對于A，以題圖(1)中平面ABCD為分界面進行數(shù)數(shù)，易知歐氏反例(即圖(2))在平面ABCD上方的頂點有5個，在平面ABCD中的頂點有4個，在平面ABCD下方的頂點有5個，共有14個頂點，故A錯誤；對于B，易知歐氏反例在平面ABCD上方的棱有12條，根據(jù)對稱性可知在平面ABCD下方的棱有12條，共有24條棱，故B正確；對于C，由題意與中位線定理易得歐氏反例的表面是由8個棱長為1，其中一個角為60°的菱形，與4個棱長為1的正方形組成，所以其表面積為S＝8×2×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＋4×12＝4eq\r(,3)＋4，故C正確；對于D，由題意可知，歐氏反例的體積可由兩個棱長為2的正四棱錐減掉四個棱長為1的正四棱錐而得，對于棱長為a的正四棱錐，其底面面積為a2，其底面對角線長為eq\r(,2)a，所以其高為h＝eq\r(,a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2)a,2)))2)＝eq\f(\r(,2)a,2)，故其體積為V＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(,2)a,2)＝eq\f(\r(,2),6)a3，所以歐氏反例的體積為2×eq\f(\r(,2),6)×23－4×eq\f(\r(,2),6)×13＝2eq\r(,2)，故D錯誤．7．(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為__28__．【解析】方法一：如圖，由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺的體積為32－4＝28．方法二：棱臺的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(,16×4))＝28．(第7題)8．棱長為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將M，N，C，D四點兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為__2eq\r(,3)__．(第8題)【解析】在原正方體紙盒上，分別將M，N，C，D四點兩兩相連，如圖所示，因為MN，MC，MD，ND，NC，CD為正方體的面對角線，所以MN＝MC＝MD＝ND＝NC＝CD＝eq\r(,2)，所以三棱錐D－MNC為正四面體，所以表面積為eq\f(\r(,3),4)×(eq\r(,2))2×4＝2eq\r(,3)．(第8題)9．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO上一點O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱體積的最大值為__eq\f(πa3,27)__．(第9題)【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由相似可得eq\f(r,\f(a,2))＝eq\f(a－h(huán),a)，即h＝a－2r．令h＞0，結(jié)合r＞0，則0＜r＜eq\f(a,2)，圓柱的體積V＝πr2h＝πr2(a－2r)＝aπr2－2πr3，V′＝2aπr－6πr2＝2πr(a－3r)，當0＜r＜eq\