包頭市北重三中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文科）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精數(shù)學(xué)(文科）試題一、選擇題1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,且,則實(shí)數(shù)A. B。C. D。4【答案】D【解析】【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，則，故選D。2。拋物線的焦點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn),則拋物線準(zhǔn)線方程是(）A。 B。C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直線和坐標(biāo)軸的焦點(diǎn),由此求得的值，并求得準(zhǔn)線方程?！驹斀狻繏佄锞€開(kāi)口向上或者向下，焦點(diǎn)在軸上，直線與軸交點(diǎn)為，故，即拋物線的方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選D?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查已知拋物線的焦點(diǎn)求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.3。函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A。 B。C。 D.【答案】A【解析】分析】依題意,可求得,由即可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【詳解】解:,，令由圖得:，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式的能力，屬于基礎(chǔ)題．4。曲線在點(diǎn)處的切線方程為A。 B。C. D?！敬鸢浮緿【解析】由題可得,則切線的斜率為，又,所以切線方程為,故選D．5.過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，則（)A. B. C.或 D?！敬鸢浮緼【解析】【詳解】過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓的方程為,可得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，圓的半徑為可得弦長(zhǎng)為，設(shè)直線與拋物線的交橫坐標(biāo)為則，可得，故選A。6。已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段的長(zhǎng)是（）A. B. C. D。2【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，則，橢圓的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，解得或，代入直線得出或，則,所以,故選B．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)．7.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角面積為（）A.6 B. C。3 D。12【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程,最后求切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，計(jì)算面積.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，,可得在點(diǎn)處的切線斜率為:-3,即有切線的方程為。分別令,可得切線在,軸上的截距為6,2．即有圍成的三角形的面積為:．故選A．點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A。 B. C.3 D。6【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，,求出到直線的距離,由此能求出點(diǎn)到直線的距離的最小值．【詳解】解：橢圓，為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，,，到直線的距離:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的最小值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用，屬于中檔題．9。若函數(shù)y＝a(x3－x)在區(qū)間上遞減，則a的取值范圍是（)A。a＞0 B.－1＜a＜0C.a＞1 D.0＜a＜1【答案】A【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù)在區(qū)間上遞減，可得y′＜0的范圍為,即可得a的范圍．【詳解】函數(shù)y=a（x3﹣x），求導(dǎo)可得,y′=a(3x2﹣1)=3a(x﹣）（x+），由函數(shù)在區(qū)間上遞減，可得y′=a(3x2﹣1)=3a(x﹣)（x+）＜0的范圍為，所以a＞0，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍問(wèn)題,利用了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10。已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足且，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則不等式的解集為(）A。 B。C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，將不等式等價(jià)為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，則不等式等價(jià)為，設(shè),則，即在,上為減函數(shù)，（4），（4）（4)，則不等式等價(jià)為，即,在，上為減函數(shù)，,即不等式的解集為，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．11。設(shè)是雙曲線C：的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P,N，直線PO交雙曲線C于另一點(diǎn)M，若,且,則雙曲線C的離心率為（）A。3 B。2 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，則MF2PF1為平行四邊形，根據(jù)雙曲線定義可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的關(guān)系即可求出離心率．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知四邊形MF2PF1為平行四邊形．∴．設(shè)，則，∴，即．∵，又,在△MF1F2中，由余弦定理可得:，即,∴雙曲線的離心率e．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，離心率計(jì)算，利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12。已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF2||PF1｜,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為，,則的最小值為（)A.4 B。6 C。 D.8【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再設(shè)橢圓和雙曲線得方程，再利用橢圓和雙曲線的定義和離心率可得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后再用均值不等式即可求解?！驹斀狻坑深}意得:，設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，又∵.∴,∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.則的最小值為8.故答案為：8。【點(diǎn)睛】考查橢圓和雙曲的定義，焦半徑公式以及離心率，其中將化為為解題關(guān)鍵，注意取等號(hào)。二、填空題13。曲線C:x2+y2=1經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線，則曲線的方程為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】由得，代入x2+y2=1，即可得曲線的方程?！驹斀狻坑傻?代入x2+y2=1，得。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用伸縮變換求曲線的方程，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力.14。函數(shù)y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是單調(diào)函數(shù),,則a的取值范圍是________．【答案】（－∞,－1）∪（1，＋∞）【解析】試題分析：函數(shù)導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在R上不是單調(diào)函數(shù),所以導(dǎo)數(shù)值有正有負(fù)，即導(dǎo)函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)或考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性,在R上不是單調(diào)函數(shù),則存在極值點(diǎn)，即存在導(dǎo)數(shù)值大于零和小于零的情況15。已知,且，則的最小值______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)條件便可得到，從而根據(jù)三個(gè)數(shù)的均值不等式計(jì)算可得；【詳解】解：，，；；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”；的最小值為3．故答案為：3【點(diǎn)睛】考查基本不等式用于求最值方法，注意在應(yīng)用求最小值時(shí)，應(yīng)使得為常數(shù)，且，，，并會(huì)判斷“"成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A（1，0）,B（0，?1），P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由題意設(shè)，，則，又，所以，所以的取值范圍為.【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想【名師點(diǎn)睛】本題解答時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到的取值范圍。本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.三、解答題。17.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程是（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2）設(shè)直線θ＝與直線l交于點(diǎn)M，與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，已知|OM｜?｜OP｜?|OQ)＝10，求t的值．【答案】（1)；（2）或.【解析】【分析】(1）由曲線C的參數(shù)方程，可得曲線C的普通方程，再將其化為極坐標(biāo)方程．（2）將代入中，求得|OM|，將代入中，得,得到｜OP||OQ｜=5．再根據(jù)｜OM｜｜OP｜|OQ｜=10,解得t值即可.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程，可得曲線C的普通方程為，即．∵，,故曲線C的極坐標(biāo)方程為．（2）將代入中,得,則．∴|OM｜=．將代入中,得．設(shè)點(diǎn)P的極徑為，點(diǎn)Q的極徑為，則．所以｜OP｜|OQ｜=5．又｜OM｜|OP｜｜OQ｜=10，則5=10．∴t=或【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,考查了利用極坐標(biāo)解決長(zhǎng)度問(wèn)題,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．18。選修4—5：不等式選講已知函數(shù).（1)解不等式：；（2）已知，求證：恒成立?！敬鸢浮浚?）(2）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1)利用絕對(duì)值定義，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組,它們的并集為所求解(2）證明不等式恒成立問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，利用絕對(duì)值三角不等式易得函數(shù)最小值：，再根據(jù)，易得試題解析：（1）解:，即,①當(dāng)時(shí)，不等式為，即，是不等式的解；②當(dāng)時(shí)，不等式為，即恒成立,是不等式的解;③當(dāng)時(shí)，不等式為，即，是不等式的解．綜上所述，不等式的解集為．(2）證明：，,恒成立．考點(diǎn):絕對(duì)值定義，絕對(duì)值三角不等式【名師點(diǎn)睛】含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向．19。在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線及點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于,兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.（1）求的值；（2）若與軸不垂直，設(shè)線段中點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線，記，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1)1；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，由知拋物線所過(guò)的點(diǎn)，代入拋物線方程求得的值;（2）設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立,消去化簡(jiǎn)得關(guān)于的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的方程，再根據(jù)垂直關(guān)系求出直線的方程，由此求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò),且當(dāng)垂直于軸時(shí)，，所以拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入拋物線方程，得,解得.(2）由題意,直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為：，,.聯(lián)立消去，得，則，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則直線方程為：。因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與垂直，則直線方程為:，聯(lián)立，解得即,所以，點(diǎn)在定直線上?！军c(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與方程的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題．20。在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線C于D，E兩點(diǎn)（D在x軸上方），求的值．【答案】（1)直線的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）．【解析】【分析】(1）將點(diǎn)A的直角坐標(biāo)代入直線的參數(shù)方程,求出的值,再轉(zhuǎn)化成普通方程；在曲線方程兩邊同時(shí)乘以，即可得到答案;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,再利用參數(shù)的幾何意義，即可得到答案；【詳解】解：(1）由題意得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)A代入得，則直線的普通方程為．由得，即．故曲線C的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入得．設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．則，，且，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程、極坐標(biāo)方程的互化、直線方程中參數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21.已知函數(shù)，其中,。（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1)；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，再求出，，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程;（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【詳解】解：(1）當(dāng)時(shí),,所以,所以,，所以切線方程為：，即:(2）函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?①當(dāng)時(shí)，在上恒成立,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí),由得，由得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題。22.設(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為3。（1）求橢圓的方程;(2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍?！敬鸢浮?1)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；(2）當(dāng)矩形的一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，可求出矩形的面積；當(dāng)矩形四邊斜率都存在時(shí)，不防設(shè),所在直線斜率為，則