2024屆湖南省雅禮洋湖中學數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆湖南省雅禮洋湖中學數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．2．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說:“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：乙說的是事實”.經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34．在一個6×6的表格中放3顆完全相同的白棋和3顆完全相同的黑棋，若這6顆棋子不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有A．14400種 B．518400種 C．720種 D．20種5．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若{an}和{}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a6＝()A． B． C．. D．16．某市踐行“干部村村行”活動，現(xiàn)有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉(xiāng)到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則干部甲住3個村的概率為()A． B． C． D．7．已知函數(shù),則下面對函數(shù)的描述正確的是（）A． B．C． D．8．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．510．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點（）A． B． C． D．11．設是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、分別是雙曲線的左、右焦點，若，則（）A．1或9 B．6 C．9 D．以上都不對12．已知的周長為9，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．14．在的展開式中，常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）15．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．16．拋物線上的點到的距離與到其準線距離之和的最小值是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓圓心為，定點，動點在圓上，線段的垂直平分線交線段于點．求動點的軌跡的方程；若點是曲線上一點，且，求的面積．18．（12分）已知命題：對，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）某校高二年級成立了垃圾分類宣傳志愿者小組,有7名男同學,3名女同學,在這10名學生中,1班和2班各有兩名同學,3班至8班各有一名同學,現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學,利用節(jié)假日到街道進行垃圾分類宣傳活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學是來自不同班級的概率;(2)設為選出的3名同學中女同學的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，求證：對任意，恒成立.21．（12分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長為的菱形，,是的中點.(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（10分）為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現(xiàn)對30名青少年進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：常

喝不常喝總

計肥

胖2不肥胖18總

計30已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為．（1）請將列聯(lián)表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關？獨立性檢驗臨界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中n=a+b+c+d．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【題目詳解】詳解：，將代入得，故選D．【題目點撥】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關系．2、B【解題分析】∵乙、丁兩人的觀點一致，∴乙、丁兩人的供詞應該是同真或同假；若乙、丁兩人說的是真話，則甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是罪犯的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論，矛盾；∴乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話；由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯．3、B【解題分析】

因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點【題目詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點又，，，即函數(shù)在上有一個零點答案選B【題目點撥】零點問題可根據(jù)零點存在定理進行判斷，也可采用構造函數(shù)法，根據(jù)構造的兩新函數(shù)函數(shù)交點個數(shù)來確定零點個數(shù)4、A【解題分析】根據(jù)題意，在6×6的棋盤中，第一顆棋子有6×6種放法，由于任意兩顆棋子不在同一行且不在同一列，則第二顆棋子有5×5種放法，第三顆棋子有4×4種放法，第四顆棋子有3×3種放法，第五顆棋子有2×2種放法，第六顆棋子有1種放法，又由于3顆黑子是相同的，3顆白子之間也是相同的，故6顆棋子不同的排列方法種數(shù)為種；故選A.點睛：在排列組合問題中，遇見元素相同的排列時，一般可以將兩個元素看作不同元素，排列結(jié)束后除以相同元素的全排列即可，比如有兩個元素相同即除以，如三個元素相同即除以.5、B【解題分析】

設等差數(shù)列{an}和{}的公差為d，可得an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，于是==+d，=+2d，化簡整理可得a1，d，即可得出．【題目詳解】設等差數(shù)列{an}和{}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，∴==+d，=+2d，平方化為：a1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，可得：a1=d﹣d2，代入a1+d=d2+2d，化為d（2d﹣1）=0，解得d=0或．d=0時，可得a1=0，舍去．∴，a1=．∴a6=．故答案為：B【題目點撥】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項和前n項和，意在考查學生歲這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)本題的關鍵是利用==+d，=+2d求出d.6、A【解題分析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個村的排法種數(shù)以及將三名可供選派的干部下鄉(xiāng)到個村蹲點的排法種數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率?！绢}目詳解】三名干部全部選派下鄉(xiāng)到個村蹲點，三名干部所住的村的數(shù)目可以分別是、、或、、，排法種數(shù)為，甲住個村，則乙、丙各住一個村，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A。【題目點撥】本題考查排列組合應用問題以及古典概型概率的計算，解決本題的關鍵在于將所有的基本事件數(shù)利用排列組合思想求出來，合理利用分類計數(shù)和分步計算原理，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題。7、B【解題分析】分析：首先對函數(shù)求導，可以得到其導函數(shù)是增函數(shù)，利用零點存在性定理，可以將其零點限定在某個區(qū)間上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值所滿足的條件，利用不等式的傳遞性求得結(jié)果.詳解：因為，所以，導函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，所以在上有唯一的實根，設為，且，則為的最小值點，且，即，故，故選B.點睛：該題考查的是有關函數(shù)最值的范圍，首先應用導數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時導數(shù)的零點是無法求出確切值的，應用零點存在性定理，將導數(shù)的零點限定在某個范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.8、B【解題分析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．9、D【解題分析】由題意得，根據(jù)，可得的值可以是：，共有5個值，所以集合中共有5個元素，故選D.考點：集合的概念及集合的表示.10、C【解題分析】

計算出和，即可得出回歸直線必過的點的坐標.【題目詳解】由題意可得，，因此，回歸直線必過點，故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線必過的點的坐標，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結(jié)論的應用，考查結(jié)論的應用，屬于基礎題.11、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為求出，由雙曲線的定義求出，判斷點在左支上，即求.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，.由雙曲線的定義可得，又，或.點在左支上，.故選：.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由題意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【題目詳解】由題意利用正弦定理可得三角形三邊之比為3：2：4，再根據(jù)△ABC的周長為9，可得．再由余弦定理可得cosC，故選A．【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，求得是解題的關鍵，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解題分析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個圓錐：則：，．得體積為：考點：三視圖與幾何體的體積．14、57【解題分析】

先求出的展開式中的常數(shù)項和的系數(shù)，再求的常數(shù)項.【題目詳解】由題得的通項為，令r=0得的常數(shù)項為,令-r=-2，即r=2,得的的系數(shù)為.所以的常數(shù)項為1+2×28=57.故答案為：57【題目點撥】本題主要考查二項式定理，考查二項式展開式指定項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.15、【解題分析】如下圖，連接DO交BC于點G，設D，E，F(xiàn)重合于S點，正三角形的邊長為x(x>0)，則.，，三棱錐的體積.設，x>0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.點睛:對于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進行解決，本題解決的關鍵是設好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決，當變量是高次時需要用到求導的方式進行解決.16、【解題分析】

先求出拋物線的焦點坐標，根據(jù)定義把p到準線的距離轉(zhuǎn)化為p到焦點的距離，再由拋物線的定義可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【題目詳解】解：∵拋物線y2＝4x，∴F（1，0），如圖：設p在準線上的射影A″，依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PA″|＝|PF|，則點P到點A（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案為：．【題目點撥】本題考查拋物線定義的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；.【解題分析】

由已知，故，即點軌跡是以、為焦點的橢圓，根據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因為，得出，進而求出，算出面積即可.【題目詳解】由已知，故點軌跡是以、為焦點的橢圓.設其方程為則即，又，故．點的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【題目點撥】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.18、【解題分析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到為真時，的取值范圍；根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系及基本不等式，我們可以求出為真時的取值范圍；而根據(jù)“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【題目詳解】解：當為真命題時，解得當為真命題時，在上恒成立，即對恒成立.又，當且僅當時等號成立，所以，所以.因為命題“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個為真一個為假當真假時，有解得當假真時，有解得綜上，實數(shù)的取值范圍是【題目點撥】本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，復合命題的真假，屬于中檔題.19、(1)(2)見解析【解題分析】

（1）設“選出的3名同學是來自不同班級”為事件，由題目信息可知事件A對應的基本事件有個，總的基本事件有個，利用概率公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可知隨機變量的所有可能值為，結(jié)合，分別求得的值，進而列出分布列，利用公式求得其期望.【題目詳解】（1）設“選出的3名同學是來自不同班級”為事件，則答：選出的3名同學是來自不同班級的概率為.（2）隨機變量的所有可能值為∴的分布列為0123答：選出的3名同學中女同學人數(shù)的數(shù)學期望為.【題目點撥】該題考查的是有關離散型隨機變量的問題，涉及到的知識點有古典概型概率公式，離散型隨機變量分布列及其期望，屬于簡單題目.20、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

（1）當時,求導數(shù)，將切點橫坐標帶入導數(shù)得到斜率，再計算切線方程.（2）求導，取導數(shù)為0，參數(shù)分離得到，設右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.（3）將導函數(shù)代入不等式，化簡得到，設左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.【題目詳解】（1）當時，．∴∴，又∵∴，即∴函數(shù)在點處的切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域為，，令，可得，當時，方程僅有一解，∴，∴令則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點．∵∴當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)．又∵，，且當時，∴，∴∴實數(shù)的取值范圍為．（3）∵∴要證對任意，恒成立即證成立即證成立設∴∵時，易知在上為