7.2.1古典概型教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第七章概率古典概型教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過實例體會古典概型的抽象過程；2.理解古典概率的兩個基本特征，掌握古典概型的概率計算公式；3.了解古典概型的重要性和應(yīng)用的廣泛性，能建立古典概率模型解決簡單的實際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重難點重點：古典概型的建立和應(yīng)用．難點：古典概型的辨析．教學(xué)過程教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入問題1.（1）在試驗“拋擲一枚均勻的骰子，觀察骰子擲出的點數(shù)”中，其樣本空間有幾個樣本點？每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等嗎？（2）在試驗“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù)”中，其樣本空間有幾個樣本點？每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等嗎？答案：（1）樣本空間為{1,2,3,4,5,6}，這是一個一維有限樣本空間，共有6個樣本點；因為骰子的幾何形狀的對稱性，所以可以認(rèn)為每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；（2）該試驗的樣本空間為二維有限樣本空間，可以通過表格的形式寫出，共有36個樣本點；每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．通過以上實例，可以歸納出這兩個試驗所對應(yīng)的樣本空間的特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點總數(shù)有限；（2）等可能性：每次試驗中，樣本空間的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．二、新知探究問題2：（1）拋擲一枚均勻的骰子，“擲出偶數(shù)點”的可能性是多少？（2）同時拋擲兩枚均勻的骰子（編號為1，2），“1號骰子擲出的點數(shù)為1”的可能性是多少？（3）同時拋擲兩枚均勻的骰子，“擲出的點數(shù)相同”的可能性是多少？針對以上3個問題，試從以下兩個方面進(jìn)行探究：（1）動手實踐，探究相關(guān)隨機事件出現(xiàn)的頻率；（2）結(jié)合有限性和等可能性，來分析并刻畫相應(yīng)隨機事件發(fā)生的可能性.答案：（1）拋擲一枚均勻的骰子，其樣本空間為{1，2，3，4，5，6}，共有6個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，均為16，而“擲出偶數(shù)點”對應(yīng)的事件為{2,4,6}，含有3個樣本點，因此，可以認(rèn)為“擲出偶數(shù)點”的可能性是36，即（2）同時拋擲兩枚均勻的骰子，其樣本空間共有36個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，均為136，而“1號骰子擲出的點數(shù)為1”對應(yīng)的事件為{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）}，共含有6個樣本點，因此其可能性為636，即（3）與（2）同理，“擲出的點數(shù)相同”對應(yīng)的事件為{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，含有6個樣本點，因此可以認(rèn)為“擲出的點數(shù)相同”的可能性是636，即1問題2：根據(jù)以上問題，我們是否可以用一個具體的數(shù)來衡量隨機試驗下某事件發(fā)生可能性的大?。看鸢福嚎梢裕畬τ谝粋€隨機事件A，我們經(jīng)常用一個數(shù)P（A）（0≤P（A）≤1）來表示該事件發(fā)生的可能性的大小，這個數(shù)就稱為隨機事件A的概率．概率度量了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，是對隨機事件統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)量刻畫．抽象概括：一般地，若試驗E具有如下特征：（1）有限性：試驗E的樣本空間Ω的樣本點總數(shù)有限，即樣本空間Ω為有限樣本空間；（2）等可能性：每次試驗中，樣本空間Ω的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕誓Ｐ停喎Q古典概型．追問1：結(jié)合前面的舉例，能否說一說古典概型之下隨機事件概率的計算方法？答案：對于古典概型來說，如果樣本空間所含的樣本點總數(shù)為n，隨機事件A包含的樣本點個數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為PA追問2：試著再舉出一些古典概型的例子吧．答案：例如，①單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案，假設(shè)考生不會做，他隨機地選擇一個答案，所以他選擇A，B，C，D哪一個選項都有可能，因此樣本點總數(shù)為4，設(shè)答對為隨機事件A，由于正確答案是唯一的，所以事件A只包含一個樣本點，所以P(A)＝14②某班級男生30人，女生20人，隨機地抽取一位學(xué)生代表，出現(xiàn)50個不同的結(jié)果，即樣本空間共有50個樣本點，設(shè)選中的代表是女生為隨機事件B，則事件B包含20個樣本點，所以PB說明：在現(xiàn)實中不存在絕對均勻的硬幣，也沒有絕對均勻的骰子，古典概率模型是從現(xiàn)實中抽象出來的一個數(shù)學(xué)模型，它有著廣泛的應(yīng)用．問題3：思考下面的問題．（1）向一條線段內(nèi)隨機地投射一個點，觀察點落在線段上的不同位置，你認(rèn)為這個情境適合用古典概型來描述嗎？為什么？（2）某同學(xué)隨機地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)，命中9環(huán)，……，命中1環(huán)和脫靶，你認(rèn)為這個情境適合用古典概型來描述嗎？為什么？（3）有人認(rèn)為，拋擲兩枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)之和可能為2，3，4，…，12，共有11種可能的情形，因此，“擲出的點數(shù)之和是5”的可能性是．這種說法對嗎？答案：第（1）個問題中，試驗的所有可能結(jié)果是線段上的所有點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，因此，盡管每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，這個試驗也不是古典概型；第（2）個問題中，試驗的所有可能結(jié)果是11個，是有限的，但是命中10環(huán)，命中9環(huán)……命中1環(huán)和脫靶的出現(xiàn)不是等可能的，因此這個試驗不是古典概型；第（3）個問題中，拋擲兩枚均勻的骰子，如果我們把兩枚骰子的點數(shù)之和作為觀察的指標(biāo)，那么共有2，3，4，…，12，共有11種可能的情形，能否就此得出“擲出的點數(shù)之和是5”的可能性是的結(jié)論呢？關(guān)鍵在于這11種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？解決上述疑問可以采用兩種辦法：（1）親自動手試驗；（2）計算機隨機模擬．結(jié)合前面自主探究中的經(jīng)驗分析：拋擲兩枚均勻的骰子，其樣本空間共有36個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，均為，而“擲出的點數(shù)之和為5”對應(yīng)的事件為{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）），含有4個樣本點．因此，“擲出的點數(shù)之和是5”的可能性是，即，而不是．追問：試著來總結(jié)一下判定一個概率模型是否為古典概型的方法吧．答案：概率模型是否為古典概型，依據(jù)是其是否滿足樣本點的有限性和各個樣本點出現(xiàn)的等可能性，判斷它是否滿足兩個特征得根據(jù)具體情形分析．如學(xué)生很有可能認(rèn)為第（2）個問題中命中10環(huán)和1環(huán)的可能性相等，事實上，1環(huán)的區(qū)域比10環(huán)的區(qū)域大得多，所以命中1環(huán)的概率也要大得多，而從實際來看，對有些射擊者而言，由于高強度的訓(xùn)練，命中10環(huán)的概率可能比別的大，所以這些事件發(fā)生的可能性大小不同．對第（3）個問題，如果把兩個骰子出現(xiàn)的點數(shù)的所有情況作為觀察的對象，則可以用古典概型進(jìn)行描述，而如果只考慮兩個骰子的點數(shù)和，則不滿足等可能性，不能使用古典概型的概率公式進(jìn)行計算.三、應(yīng)用舉例例1.在試驗E6“袋中有白球3個（編號為1,2,3）、黑球2個（編號為1,2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為w1，w2，w3，摸到黑球的結(jié)果分別記為b1，b2，求：（1）取到的兩球都是白球的概率；（2）取到的兩球顏色相同的概率；（3）取到的兩個球至少有一個是白球的概率.解：由題意可知Ω={w1w2,w1w3,w1b1,w1b2,w2w1,w2w3,w2b1,w2b2,w3w1,w3w2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b1b2,b2w1,b2w2,b2w3,b2b1}，共有20個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，屬于古典概型.（1）設(shè)事件A表示“取到的兩個球都是白球”，則A={w1w2,w1w3,w1w2,w1w3,w3w1,w3w2}，共含有6個樣本點，所以P(A)=620（2）設(shè)事件B表示“取到的兩個球顏色相同”，則B={w1w2,w1w3,w2w1,w2w3,w3w1,w3w2,b1b2,b2b1}，共含有8個樣本點，所以P(B)=820（3）設(shè)事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，則C={w1w2,w1w3,w1b1,w1b2,w2w1,w2w3,w2b1,w2b2,w3w1,w3w2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b2w1,b2w2,b2w3}，含有18個樣本點，所以P(C)==1820思考：你可以結(jié)合該題，規(guī)劃一下運用古典概型求概率的主要步驟嗎？答案：（1）根據(jù)問題情境判斷是否為古典概型；（2）用列舉法寫出試驗所對應(yīng)的樣本空間；（3）利用古典概型的概率公式計算概率.例2．有A、B、C、D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a、b、c、d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就坐時：(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率；(3)求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．解：將A、B、C、D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：如上圖所示，本題中的等可能基本事件共有24個．(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個基本事件，所以P(A)＝eq\f(1,24)．(2)設(shè)事件B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”，則事件B包含9個基本事件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8)．(3)設(shè)事件C為“這四個人恰有1位坐在自己席位上”，則事件C包含8個基本事件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)．例3.先后拋擲兩枚大小相同的骰子(1)求點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率；(2)求出現(xiàn)兩個4點的概率；(3)求點數(shù)之和能被3整除的概率．解：基本事件的總數(shù)共36種．(1)記“點數(shù)之和出現(xiàn)7點”為事件A，事件A包含的基本事件共6個：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．(2)記“出現(xiàn)兩個4點”為事件B，則事件B包含的基本事件只有1個，即(4,4)．故P(B)＝eq\f(1,36)．(3)記“點數(shù)之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的基本事件共12個：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)．四、課堂練習(xí)1．下列有關(guān)古典概型的四種說法：①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④已知樣本點總數(shù)為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發(fā)生的概率．其中所正確說法的序號是（）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④答案：D2．從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中，不放回地任取兩數(shù)，兩數(shù)都是奇數(shù)的概率是________答案：eq\f(3,10)解析：基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，而兩數(shù)都是奇數(shù)的有(1,3)，(1,5)，(3,5)．故所求概率P＝eq\f(3,10)．3．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表．求：(1)甲被選中的概率；(2)丁沒被選中的概率．解：(1)記甲被選中為事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6個，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3個，則P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)；(2)記丁被選中為事件B，由(1)同理可得P(B)＝eq\f(1,2)，又因丁沒被選中為丁被選中的對立事件，設(shè)為eq