《多元函數(shù)全微分》課件

《多元函數(shù)全微分》PPT課件2023-2026ONEKEEPVIEWREPORTING目錄CATALOGUE多元函數(shù)的基本概念全微分的概念與性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系全微分的應(yīng)用習(xí)題與答案多元函數(shù)的基本概念PART01多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義一個(gè)函數(shù)如果由一個(gè)二元組或更多個(gè)有序數(shù)組成的有序數(shù)集合上的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的一個(gè)值，則稱這個(gè)函數(shù)為多元函數(shù)。多元函數(shù)的表示多元函數(shù)通常表示為$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自變量，$z$是因變量。對(duì)于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，其圖像在平面上的表示是一條曲線。平面上的曲線對(duì)于三元函數(shù)$z=f(x,y,z)$，其圖像在空間中的表示是一個(gè)曲面。曲面多元函數(shù)的幾何意義與一元函數(shù)的極限概念類似，當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)時(shí)，多元函數(shù)的函數(shù)值趨近于一個(gè)常數(shù)。如果一個(gè)多元函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)域內(nèi)連續(xù)。多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限全微分的概念與性質(zhì)PART02全微分的定義全微分是函數(shù)在某點(diǎn)附近的小改變量，它等于各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與自變量改變量的乘積之和。全微分的幾何意義全微分在幾何上表示函數(shù)圖像在某點(diǎn)處的切線斜率。全微分的表達(dá)式若函數(shù)在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的全微分為$dz$，則$dz=frac{partialf}{partialx}dx+frac{partialf}{partialy}dy$。全微分的定義全微分的基本性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t若函數(shù)$f(u)$在點(diǎn)$u_0$處可微，而$u=g(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則復(fù)合函數(shù)$f(g(x,y))$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，且$(d(fcircg))(x_0,y_0)=f'(u_0)cdotdg(x_0,y_0)$。線性性質(zhì)若函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則對(duì)于任意常數(shù)$k$和$l$，有$d(kf+lg)=kdf+ldg$。偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則$frac{partialf}{partialx}$和$frac{partialf}{partialy}$分別表示$f$關(guān)于$x$和$y$的偏導(dǎo)數(shù)，它們具有與全微分類似的運(yùn)算法則。03導(dǎo)數(shù)計(jì)算全微分是導(dǎo)數(shù)的幾何解釋，通過(guò)全微分可以更直觀地理解導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義。01泰勒展開式利用全微分，可以將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)展開為多項(xiàng)式形式，用于近似計(jì)算。02誤差估計(jì)通過(guò)全微分，可以估計(jì)函數(shù)值改變量與自變量改變量之間的誤差大小，有助于提高近似計(jì)算的精度。全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系PART03123對(duì)于一個(gè)多元函數(shù)，在某一點(diǎn)處對(duì)某一變量的導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)在二維平面上，偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在該點(diǎn)處切線的斜率。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)全微分的定義對(duì)于多元函數(shù)，在某一點(diǎn)處所有方向的變化率之和。全微分的幾何意義全微分表示函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的小矩形面積。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系全微分等于所有偏導(dǎo)數(shù)之和乘以相應(yīng)的變量增量。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系高階偏導(dǎo)數(shù)的定義高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分對(duì)于多元函數(shù)，對(duì)某一變量的二階、三階等導(dǎo)數(shù)。高階全微分的定義高階全微分是所有高階偏導(dǎo)數(shù)之和乘以相應(yīng)的變量增量。在研究多元函數(shù)的極值、凸性、拐點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分具有重要應(yīng)用。高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分的應(yīng)用全微分的應(yīng)用PART04總結(jié)詞利用全微分求函數(shù)極值是一種常見的方法，通過(guò)計(jì)算函數(shù)的全微分，可以判斷函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況。詳細(xì)描述在多元函數(shù)中，全微分可以表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化量。通過(guò)計(jì)算全微分，我們可以確定函數(shù)在某點(diǎn)的變化方向和變化量，從而判斷該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。如果全微分為0，則該點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，需要進(jìn)一步驗(yàn)證。利用全微分求函數(shù)極值全微分可以用于求解包含多個(gè)未知數(shù)的方程組。通過(guò)對(duì)方程組中的每個(gè)方程進(jìn)行全微分，可以找到方程組的解。總結(jié)詞全微分可以表示函數(shù)值的變化量，當(dāng)函數(shù)滿足一定的條件時(shí)，全微分為0。因此，我們可以將方程組中的每個(gè)方程進(jìn)行全微分，然后令全微分為0，解出未知數(shù)的值。這種方法稱為全微分法。詳細(xì)描述利用全微分求解方程組利用全微分進(jìn)行近似計(jì)算全微分可以用于進(jìn)行近似計(jì)算，特別是在處理復(fù)雜函數(shù)時(shí)。通過(guò)計(jì)算全微分，可以得到函數(shù)在某點(diǎn)附近的近似值?？偨Y(jié)詞在處理復(fù)雜函數(shù)時(shí)，直接計(jì)算函數(shù)的值可能非常困難。利用全微分，我們可以找到函數(shù)在某點(diǎn)附近的近似值。具體來(lái)說(shuō)，我們可以將函數(shù)的值表示為泰勒級(jí)數(shù)的形式，然后利用全微分計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)的近似值。這種方法稱為泰勒展開。詳細(xì)描述習(xí)題與答案PART05習(xí)題01計(jì)算題02計(jì)算函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$的全微分。計(jì)算函數(shù)$g(x,y)=sqrt{x^2+y^2}$在點(diǎn)$(-1,1)$的全微分。03習(xí)題計(jì)算函數(shù)$h(x,y)=\ln(x^2+y^2)$在點(diǎn)$(1,0)$的全微分。010203判斷題全微分等于偏微分的和。全微分與偏微分都只與函數(shù)和自變量有關(guān)，與其他無(wú)關(guān)。習(xí)題習(xí)題全微分與偏微分都只與函數(shù)和自變量有關(guān)，與其他無(wú)關(guān)。02030401習(xí)題簡(jiǎn)答題簡(jiǎn)述全微分的定義。簡(jiǎn)述全微分與偏微分的關(guān)系。簡(jiǎn)述全微分的應(yīng)用。計(jì)算題解析對(duì)于函數(shù)$g(x,y)=sqrt{x^2+y^2}$，在點(diǎn)$(-1,1)$處，全微分為$dg=frac{partialg}{partialx}dx+frac{partialg}{partialy}dy=-2dx+2dy$。對(duì)于函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$，在點(diǎn)$(1,2)$處，全微分為$df=frac{partialf}{partialx}dx+frac{partialf}{partialy}dy=4dx+4dy$。答案與解析對(duì)于函數(shù)$h(x,y)=\ln(x^2+y^2)$，在點(diǎn)$(1,0)$處，全微分為$dh=\frac{\partialh}{\partialx}dx+\frac{\partialh}{\partialy}dy=\frac{2dx}{x^2+y^2}+\frac{2dy}{x^2+y^2}=\frac{2dx}{1}+\frac{2dy}{0}=2dx$。答案與解析答案與解析判斷題解析全微分等于偏微分的和是正確的，因?yàn)槿⒎质歉鱾€(gè)自變量偏微分的線性組合。全微分與偏微分都只與函數(shù)和自變量有關(guān)，與其他無(wú)關(guān)是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿⒎诌€與函數(shù)的值有關(guān)。答案與解析01此條與上一條重復(fù)，故不解析。02簡(jiǎn)答題解析03全微分的定義為函數(shù)在某點(diǎn)的全微分等于該函數(shù)在該點(diǎn)的各個(gè)自變量偏微分