高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（70）第九章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第九講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案70]第九講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知隨機(jī)變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為(B)A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1[解析]由二項分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故選B.2．(2020·廣、深、珠三校聯(lián)考)已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)meq\f(1,27)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(B)A．eq\f(2,3) B．1C．eq\f(3,2) D．2[解析]m＝1－eq\f(8,27)－eq\f(4,9)－eq\f(1,27)＝eq\f(2,9)，∴E(X)＝1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.故選B.3．(2019·河北唐山一模)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ＝(C)A．6 B．5C．4 D．3[解析]由題意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝eq\f(6＋2,2)＝4.選C.4．(2019·廣東廣州模擬)從某班6名學(xué)生(其中男生4人，女生2人)中任選3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝(B)A．eq\f(4,5) B．1C．eq\f(7,5) D．2[解析]因為ξ＝0,1,2，所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，因此E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，選B.5．(2019·山西孝義摸底)一個攤主在一旅游景點設(shè)攤，游客向攤主支付2元進(jìn)行1次游戲．游戲規(guī)則：在一個不透明的布袋中裝入除顏色外無差別的2個白球和3個紅球，游客從布袋中隨機(jī)摸出2個小球，若摸出的小球同色，則游客獲得3元獎勵；若異色，則游客獲得1元獎勵．則攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位：元)的期望值是(A)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5[解析]攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位：元)的期望值是E(X)＝2－(3×eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＋1×eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5)))＝0.2.6．(2020·浙江寧波期末)已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Peq\f(1,3)ab若E(X)＝eq\f(11,6)，則D(X)的值是(A)A．eq\f(17,36) B．eq\f(17,18)C．eq\f(23,9) D．eq\f(23,18)[解析]由P1＋P2＋P3＝1，得a＋b＝eq\f(2,3).①由E(X)＝eq\f(1,3)＋2a＋3b＝eq\f(11,6)，②得2a＋3b＝eq\f(3,2)，聯(lián)立①②，得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,6).所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,2)＋9×eq\f(1,6)－(eq\f(11,6))2＝eq\f(17,36).故選A.7．(2020·甘肅蘭州一中月考)從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球個數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(B)A．eq\f(8,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,5)[解析]由題意知X～B(5，eq\f(3,m＋3))，∴eq\f(5×3,m＋3)＝3，解得m＝2，∴X～B(5，eq\f(3,5))，∴D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).二、多選題8．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)分別為φ1(x)和φ2(x)，其圖象如圖所示，則有(AC)A．μ1<μ2 B．μ1>μ2C．σ1<σ2 D．σ1>σ2[解析]f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\f(－x－μ2,2σ2)中x＝μ是對稱軸，故μ1<μ2；σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小曲線越“高瘦”，故σ1<σ2.故選A、C.9．某市有A，B，C，D四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為eq\f(2,3)，游覽B、C和D的概率都是eq\f(1,2)，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立．用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點的個數(shù)，下列正確的(ABD)A．游客至多游覽一個景點的概率eq\f(1,4)B．P(X＝2)＝eq\f(3,8)C．P(X＝4)＝eq\f(1,24)D．E(X)＝eq\f(13,6)[解析]記“游客游覽A、B、C、D景點”分別為事件A、B、C、D，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝P(C)＝P(D)＝eq\f(1,2)，∴P(X≤1)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＋3P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)，∴P(X＝1)＝eq\f(5,24)，P(X＝2)＝3P(ABeq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＋3P(eq\o(A,\s\up6(－))BCeq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))BCD)＋3P(Aeq\o(B,\s\up6(－))CD)＝eq\f(7,24)；P(X＝4)＝P(ABCD)＝eq\f(1,12)；∴E(X)＝eq\f(5,24)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(13,6).故選ABD.三、填空題10．(2019·太原五中統(tǒng)考)袋中有大小、質(zhì)地均相同的4個紅球與2個白球．若從中有放回地依次取出一個球，記6次取球中取出紅球的次數(shù)為ξ，則ξ的期望E(ξ)＝__4__.[解析]依題意得，ξ的可能取值分別是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球取出紅球的概率均是eq\f(4,4＋2)＝eq\f(2,3)，故ξ～B(6，eq\f(2,3))，因此E(ξ)＝6×eq\f(2,3)＝4.11．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝__2__.[解析]由題意知eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，即c＝2.12．(2019·甘肅民樂模擬)若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.1587，則σ＝__2__.[解析]∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，∴P(ξ≥μ＋σ)＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，∵ξ～N(1，σ2)，P(ξ≥1＋σ)＝0.1587＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，則σ＝2.四、解答題13．(2020·陜西漢中質(zhì)檢)某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè)，但在簽約前要對他們的某項專業(yè)技能進(jìn)行測試．在待測試的某一個小組中有男、女生共10人(其中女生人數(shù)多于男生人數(shù))，如果從中隨機(jī)選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為eq\f(8,15)；(1)求該小組中女生的人數(shù)；(2)假設(shè)此項專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言，每個女生通過的概率均為eq\f(3,4)，每個男生通過的概率均為eq\f(2,3)；現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進(jìn)行測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)該小組中有n個女生，根據(jù)題意，得eq\f(C\o\al(1,n)C\o\al(1,10－n),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)，解得n＝6或n＝4(舍去)，∴該小組中有6個女生；(2)由題意，ξ取值為0,1,2,3；P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,36)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋(eq\f(1,3))2×eq\f(3,4)＝eq\f(7,36)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋(eq\f(2,3))2×eq\f(1,4)＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝(eq\f(2,3))2×eq\f(3,4)＝eq\f(12,36)＝eq\f(3,9)；∴ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(1,36)eq\f(7,36)eq\f(4,9)eq\f(3,9)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(16,36)＋3×eq\f(12,36)＝eq\f(25,12).14．(2019·遼寧省大連市模擬)某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500,52)(單位：g)．(1)求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于485g的概率約為多少？(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機(jī)抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于485g，檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由．附：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(p－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9974.[解析](1)設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為Xg，由題意可知X～N(500,52)．由于485＝500－3×5，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3σ原則”可知P(X<485)＝eq\f(1,2)(1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)≈eq\f(1,2)×0.0026＝0.0013.(2)檢測員的判斷是合理的．因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于485g的概率約為0.0013×0.0013＝1.69×10－6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的．15．(2020·四省名校聯(lián)考)2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日舉行，中國女排以十一勝衛(wèi)冕女排世界杯冠軍四人進(jìn)入最佳陣容，女排精神，已經(jīng)是一種文化．為了了解某市居民對排球知識的了解情況．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100人參與排球知識問卷調(diào)查，將得分情況整理后作出的直方圖如下：(1)求圖中實數(shù)a的值，并估算平均得分(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表)；(2)得分在90分以上的稱為“鐵桿球迷”，以樣本頻率估計總體概率，從該市居民中隨機(jī)抽取4人，記這四人中“鐵桿球迷”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解析](1)因為10a所以a＝0.03，平均得分為45×0.05＋55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.1＝74.(2)以樣本頻率估計總體概率，則從該市居民中任意抽取一人，是“鐵桿球迷”的概率為eq\f(1,10)，則X～B(4，eq\f(1,10))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,10))k(eq\f(9,10))4－k，k＝0,1,2,3,4，X的分布列為X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001E(X)＝4×eq\f(1,10)＝eq\f(2,5).B組能力提升1．(2019·嘉興模擬)甲、乙兩人分別獨立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是eq\f(2,3)，則面試結(jié)束后通過的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是(A)A．eq\f(4,3) B．eq\f(11,9)C．1 D．eq\f(8,9)[解析]顯然X～B(2，eq\f(2,3))，∴E(X)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).故選A.2．(2020·山西大學(xué)附中診斷)已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值范圍為(A)A．(0，eq\f(1,2)) B．(0，eq\f(7,12))C．(eq\f(1,2)，1) D．(eq\f(7,12)，1)[解析]X的分布列如下：X123ppp(1－p)1－2p＋p2∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－2p＋p2)＝p2－3p＋3>1.75(0<p<1)，∴p2－3p＋eq\f(5,4)>0，解得0<p<eq\f(1,2)，故選A.3．(2020·北京朝陽期未)春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動．已知某種盆栽植物每株成活的概率為p，各株是否成活相互獨立．該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成活的株數(shù)，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)<P(X＝7)，則p＝__0.7__.[解析]由題意可知：X～B(10，p)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10p1－p＝2.1,PX＝3<PX＝7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100p2－100p＋21＝0,p>0.5))，∴p＝0.7.4．(2019·廣東廣州模擬)按照國家規(guī)定，某種大米每袋質(zhì)量(單位：kg)必須服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，根據(jù)檢測結(jié)果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有2000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工人數(shù)大約為__40__.[解析]∵每袋大米質(zhì)量服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，∴P(ξ<9.9)＝eq\f(1,2)[1－P(9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工人數(shù)大約為2000×0.02＝40.5．(2020·云南名校適應(yīng)性考試)某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過．已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每道題正確完成的概率都是eq\f(2,3)，且每道題正確完成與否互不影響．(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？[解析](1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù)ξ的分布列為ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為η，則η的可能取值為0,1,2,3.P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)；P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,3))1·(eq\f(1,3))2＝eq\f(6,27)；P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,3))2(eq\f(1,3))＝eq\f(12,27)；P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)η的分布列為η0123Peq\f(1,27)eq\f(6,27)eq\f(12,27)eq\f(8,27)E(η)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(6,27)＋2×eq\f(12,27)＋3×eq\f(8,27)＝2.(或因為η～B(3，eq\f(2,3))，所以E(η)＝3×eq\f(2,3)＝2)(2)因為D(ξ)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，D(η)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).所以D(ξ)<D(η)，綜上所述，從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2道題的概率考查，甲面試通過的可能性大．6．(2020·河南洛陽尖子生聯(lián)考)“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質(zhì)量指標(biāo)，檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示．(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\