高考數(shù)學一輪復習 練案（26）第三章 三角函數(shù)、解三角形 第七講 解三角形的綜合應用（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

[練案26]第七講解三角形的綜合應用A組基礎鞏固一、選擇題1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(D)A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°[解析]由題意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因為∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故燈塔A在B的南偏西80°.2．如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為(D)A．①② B．②③C．①③ D．①②③[解析]由題意可知，在①②③三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出AB.故選D.3．如果D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于(D)A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m[解析]eq\f(AB,tan30°)－eq\f(AB,tan45°)＝10，解得AB＝5(eq\r(3)＋1)．故選D.4．(2020·廣東中山上學期期末)如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為(A)A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m[解析]由題意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故選A.5．(2020·武漢模擬)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝(D)A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，所以BC＝5eq\r(6).故選D.6．(2020·深圳模擬)一架直升飛機在200m高度處進行測繪，測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為(A)A．eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D．eq\f(200,3)m[解析]如圖所示．在Rt△ACD中可得CD＝eq\f(200\r(3),3)＝BE，在△ABE中，由正弦定理得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BE,sin60°)?AB＝eq\f(200,3)，所以DE＝BC＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3)(m)．7．(2020·云南紅河州質檢)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝(D)A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故選D.8．(2020·河北保定模擬)如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75°方向上，距離為12eq\r(6)nmile，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為8eq\r(3)nmile，游輪由A處向正北方向航行到D處時再看燈塔B，B在南偏東60°方向上，則C與D的距離為(B)A．20nmile B．8eq\r(3)nmileC．23eq\r(2)nmile D．24nmile[解析]在△ABD中，因為燈塔B在A的北偏東75°方向上，距離為12eq\r(6)nmile，貨輪由A處向正北方向航行到D處時，再看燈塔B，B在南偏東60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，可得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24nmile.在△ACD中，AD＝24nmile，AC＝8eq\r(3)nmile，∠CAD＝30°，CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×cos30°＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)，故選B.二、填空題9．(2020·佛山模擬)在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為eq\r(6)千米．[解析]∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(2,sin45°)，AC＝eq\r(6)千米．10．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°方向，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為__700__米．[解析]由題意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.11．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為eq\f(\r(21),14).[解析]由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).12．(2020·山西五校聯(lián)考)如圖，飛機的航線和山頂在同一鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經過108s后看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_6_340__m.(取eq\r(3)＝1.732)[解析]∵108s＝0.03h，∴AB＝1000×0.03＝30km，∵∠C＝75°－15°＝60°，∴eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(BC,sin15°)，∴BC＝eq\f(ABsin15°,sin60°)，∴C到AB邊的距離為h＝BCsin75°＝20eq\r(3)sin15°sin75°＝10eq\r(3)sin30°＝5eq\r(3)＝5×1.732＝8.66km，∴山頂?shù)暮０胃叨葹?15－8.66)km＝6340m.三、解答題13．已知函數(shù)f(x)＝1＋2eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－2cos2eq\f(x,2)，△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.(1)求f(A)的取值范圍；(2)若A為銳角且f(A)＝eq\r(2)，2sinA＝sinB＋eq\r(2)sinC，△ABC的面積為eq\f(3＋\r(3),4)，求b的值．[解析](1)f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2sin(x－eq\f(π,6))，∴f(A)＝2sin(A－eq\f(π,6))，由題意知，0<A<π，則A－eq\f(π,6)∈(－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))，∴sin(A－eq\f(π,6))∈(－eq\f(1,2)，1]，故f(A)的取值范圍為(－1,2]．(2)由題意知，sin(A－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)，∴A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，即A＝eq\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z，∵A為銳角，∴A＝eq\f(5π,12).由正、余弦定理及三角形的面積得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝b＋\r(2)c，,\f(1,2)bc·sin\f(5π,12)＝\f(3＋\r(3),4)，,cos\f(5π,12)＝\f(b2＋c2－a2,2bc)))解得b＝eq\r(2).B組能力提升1．(2020·河北武邑中學調研)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(A)A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里[解析]如圖，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，從而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).2．(2020·西安模擬)如圖，要測量底部不能到達的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測點．在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是(D)A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m[解析]設塔高為xm，則由已知可得BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．3．臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內的持續(xù)時間為(B)A．0.5小時 B．1小時C．1.5小時 D．2小時[解析]根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示．BE＝BF＝30km，△ABD為等腰直角三角形且AB＝40km，由勾股定理得AD＝BD＝20eq\r(2)km，由BD⊥AD，可得ED＝DF，在Rt△BED中，由勾股定理得ED＝eq\r(BE2－BD2)＝10km，所以EF＝2ED＝20km，因此B市處于危險區(qū)內的時間為20÷20＝1(h)．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝eq\f(1,4)，則BD＝__2__；三角形ABD的面積為eq\r(3)－1.[解析]在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，則BD＝2.在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，由正弦定理可得AD＝eq\f(BD·sin45°,sin105°)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝2(eq\r(3)－1)，則S△ABD＝eq\f(1,2)×2(eq\r(3)－1)×2×sin30°＝eq\r(3)－1，故BD＝2，△ABD的面積為eq\r(3)－1.5．(2020·河北衡水中學三調)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知向量m＝(coseq\f(3A,2)，sineq\f(3A,2))，n＝(coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，且滿足|m＋n|＝eq\r(3).(1)求角A的大??；(2)若b＋c＝eq\r(3)a，試判斷△ABC的形狀