高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（40）第六章 不等式、推理與證明 第三講 簡單的線性規(guī)劃（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案40]第三講簡單的線性規(guī)劃A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,x＋y－4≤0))表示的平面區(qū)域的面積為(C)A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)[解析]平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面積為eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(8)＝2，故選C.[方法總結(jié)]求平面區(qū)域的面積的方法平面區(qū)域的面積問題主要包括兩類題型：(1)求已知約束不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積；(2)根據(jù)平面區(qū)域面積的大小及關(guān)系求未知參數(shù)，求解時(shí)需抓住兩點(diǎn)：(1)正確判斷平面區(qū)域的形狀，如果形狀不是常見的規(guī)則平面圖形，則要進(jìn)行分割；(2)求參數(shù)問題一般涉及一條動直線，因此確定其位置顯得更為關(guān)鍵，有時(shí)還要對動直線的位置進(jìn)行分類討論．2．(2020·黑龍江省大慶市模擬)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0,x≤3))，則z＝2x－3y的最小值是(B)A．－7 B．－6C．－5 D．－3[解析]作出可行域：并作出直線l0：2x－3y＝0，平移l0到經(jīng)過點(diǎn)E(3,4)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y，取得最小值為：zmin＝2×3－3×4＝－6.故選B.3．(2020·河北省唐山市模擬)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3≤0,x＋y－1≥0,x－y＋1≥0))則z＝2x＋y的最大值為(C)A．1 B．2C．7 D．8[解析]作出線性約束條件的可行域，如圖示：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0,x－y＋1＝0))，解得A(2,3)，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直線y＝－2x，顯然直線過A(2,3)時(shí)，z最大，最大值是7，故選C.4．(2020·浙江湖州、衢州、麗水三地市期中)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0,x＋y－2≥0，,y≥0))則x2＋y2的最小值是(B)A．eq\r(2) B．2C．4 D．8[解析]畫出可行域如下圖所示，x2＋y2表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，由圖可知，原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離是原點(diǎn)到直線x＋y－2＝0的距離eq\f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，其平方為2.故x2＋y2的最小值為2.故選B.5．(2018·天津，2)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(C)A．6 B．19C．21 D．45[解析]由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖陰影部分所示)．作出直線l0：3x＋5y＝0，平移直線l0，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21，故選C.6．(2020·福建龍巖質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0,x＋2y＋1≤0,3x＋y－2≤0))，則x－y的取值范圍為(B)A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－∞，2] D．[－2,2][解析]設(shè)z＝x－y，則y＝x－z，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)如圖：平移直線y＝x－z，由圖象可知當(dāng)直線y＝x－z經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)時(shí)，直線y＝x－z的截距最大，此時(shí)z最小，最小值z＝－1－0＝－1，繼續(xù)向下平移直線y＝x－z，z值越來越大，∴x－y的取值范圍為[－1，＋∞)故選B.7．(2020·河北省張家口市、滄州市聯(lián)考)若x，y變量滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2≥0,x－y＋2≥0,y＋1≥0))，則使z＝x＋2y取得最小值的最優(yōu)解為(C)A．(－3，－1) B．(－eq\f(6,7)，eq\f(8,7))C．(2，－1) D．(－eq\f(8,7)，eq\f(6,7))[解析]繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，其中z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B處取得最小值，聯(lián)立直線方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0,y＋1＝0))，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為B(2，－1)．選擇C.8．(2020·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知x、y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0,x＋y≤2,y≥0))，則|3x＋4y－12|的最小值為(A)A．5 B．12C．6 D．4[解析]根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖所示，令z＝3x＋4y－12，轉(zhuǎn)化為斜截式為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z＋12,4)，即斜率為－eq\f(3,4)的一簇平行線，eq\f(z＋12,4)是其在y軸的縱截距，直線過O(0,0)時(shí)，其縱截距最??；過B(1,1)時(shí)，其縱截距最大，即－12≤z≤－5，所以5≤|z|≤12，即|z|min＝5，故選A項(xiàng)．9．(2020·安徽黃山模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,2x－y－2≥0,x＋y－2≤0))，則eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍是(A)A．[eq\f(1,3)，eq\f(5,7)] B．[eq\f(1,3)，eq\f(1,2)]C．[eq\f(1,2)，eq\f(5,7)] D．[eq\f(1,2)，2)[解析]畫出x，y滿足的可行域，如下圖：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,y＝0))，解得B(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0,x＋y－2＝0))，解得，C(eq\f(4,3)，eq\f(2,3))，eq\f(y＋1,x＋1)可看作定點(diǎn)A(－1，－1)與動點(diǎn)P(x，y)連線的斜率，當(dāng)動點(diǎn)P在B時(shí)，eq\f(y＋1,x＋1)取最小值為eq\f(1,3)，當(dāng)動點(diǎn)P在C時(shí)，eq\f(y＋1,x＋1)取最大值為eq\f(\f(2,3)＋1,\f(4,3)＋1)＝eq\f(5,7)，故eq\f(1,3)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,7)，故答案為A.二、多選題10．若原點(diǎn)O和點(diǎn)P(1,1)在直線x＋y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值可以是(BC)A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]由題意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故選B、C.11．(2020·廣東調(diào)研改編)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x－2≤0，,x＋y－2≥0，))且z＝ax＋y的最大值為2a＋6，則a的取值可以是(ACD)A．1 B．－2C．－1 D．0[解析]作出約束條件表示的可行域，如圖所示．因?yàn)閦＝ax＋y的最大值為2a＋6，所以z＝ax＋y在點(diǎn)A(2,6)處取得最大值，則－a≤1，即a

三、填空題12．(2018·課標(biāo)全國Ⅲ，15)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))則z＝x＋eq\f(1,3)y的最大值是__3__.[解析]本題考查簡單的線性規(guī)劃．解法一：根據(jù)約束條件作出可行域，如圖所示．z＝x＋eq\f(1,3)y可化為y＝－3x＋3z.求z的最大值可轉(zhuǎn)化為求直線y＝－3x＋3z縱截距的最大值，顯然當(dāng)直線y＝－3x＋3z過A(2,3)時(shí)，縱截距最大，故zmax＝2＋eq\f(1,3)×3＝3.解法二：畫出可行域(如上圖)，由圖知可行域?yàn)槿切螀^(qū)域，易求得頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,3)，(2，－7)，(－2,1)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，可知zmax＝2＋eq\f(1,3)×3＝3.13．(2018·北京，13)若x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是__3__.[解析]由x＋1≤y≤2x作出可行域，如圖中陰影部分．設(shè)z＝2y－x，則y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝x＋1，))得A(1,2)．由圖可知，當(dāng)直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z過A(1,2)時(shí)，z取得最小值，zmin＝3.14．(2020·廣西桂林、賀州、崇左聯(lián)合調(diào)研)某校今年計(jì)劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥5，,x－y≤2，,x<6.))則該學(xué)校今年計(jì)劃招聘的教師人數(shù)最大值為__10__.[解析]設(shè)z＝x＋y，作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y>5，,x－y≤2，,x<6.))對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直線y＝－x＋z，由圖象可知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝－x＋z的截距最大，此時(shí)z最大，但此時(shí)最大值取不到，由圖象當(dāng)直線經(jīng)過整點(diǎn)E(5,5)時(shí)，z＝x＋y取得最大值，代入目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y得z＝5＋5＝10，即目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為10，故答案為10.15．(2020·海南五校模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1，))則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為__13__.[解析]畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1))表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與(3，－2)兩點(diǎn)間距離的平方，通過數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(diǎn)(1,1)時(shí)，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值為13.B組能力提升1．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2y≤0，,2x＋y≤4，))向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，則滿足a⊥b的實(shí)數(shù)m的最小值為(B)A．eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[解析]由向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y(tǒng)－2x，根據(jù)約束條件畫出可行域，將求m的最小值轉(zhuǎn)化為求y＝2x＋m在y軸上的截距的最小值，當(dāng)直線y＝2x＋m經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，m最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y＝4，))解得A(eq\f(8,5)，eq\f(4,5))，則實(shí)數(shù)m的最小值為－2×eq\f(8,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(12,5).故選B.2．(2020·廣東省中山市第一中學(xué)模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,4x＋3y≤12，))則eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是(B)A．[eq\f(2,3)，11] B．[eq\f(3,2)，11]C．[3,11] D．[1,11][解析]eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋2×eq\f(y＋1,x＋1)，表示動點(diǎn)P(x，y)，與定點(diǎn)M(－1，－1)，連線斜率k的兩倍加1，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在A(0,4)點(diǎn)處時(shí)，k最大，最大值為11；當(dāng)點(diǎn)P在B(3,0)點(diǎn)處時(shí)，k最小，最小值為eq\f(3,2)；從而eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是[eq\f(3,2)，11]．3．(2020·河北唐山一中質(zhì)檢)已知a>0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x＋y≤3))所表示的區(qū)域，作直線z＝2x＋y與直線x＝1交于點(diǎn)A(1，－1)，則點(diǎn)A必在直線y＝a(x－3)上，∴－1＝a(1－3)，∴a＝eq\f(1,2)，故選B.4．(2020·湛江模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥2，,3x－y－6≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值為eq\f(1,8).[解析]繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)．要求解目標(biāo)函數(shù)z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值，只需求解函數(shù)z′＝2x＋y的最小值，結(jié)合函數(shù)z′＝2x＋y的幾何意義可知，函數(shù)z′＝2x＋y在點(diǎn)C(1,1)處取得最小值z′min＝2＋1＝3，則目標(biāo)函數(shù)z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值為(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).5．(2020·廣東江門市模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，記eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x