北師大版八年級下冊數(shù)學同步課時練習題(全冊分章節(jié)課時-含答案)

第第頁北師大版八年級下冊數(shù)學同步課時練習題三角形的證明1．1等腰三角形第1課時全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)01基礎題知識點1全等三角形的性質(zhì)與判定1．如圖，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，則AD的長為(B)A．4B．5C．6D．以上都不對2．如圖，若能用AAS來判定△ACD≌△ABE，則需要添加的條件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，則∠B＝120°．4．(2017·懷化)如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個適當?shù)臈l件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.5．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，則DF＝6．6．(2016·宜賓)如圖，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求證：BC＝AD.證明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBA＝∠CAB，,AB＝BA，,∠DAB＝∠CBA，))∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.7．(2017·黃岡)已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM.證明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，))∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知識點2等腰三角形的性質(zhì)8．若等腰三角形的頂角為50°，則它的底角度數(shù)為(D)A．40°B．50°C．60°D．65°9．(2017·平頂山市寶豐縣期末)等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，則此三角形的周長為(D)A．13B．14C．15D．13或1410．(2017·江西)如圖1是一把園林剪刀，把它抽象為圖2，其中OA＝OB.若剪刀張開的角為30°，則∠A＝75度．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D.若AB＝6，CD＝4，則△ABC的周長是20．02中檔題12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BD＝CD，則下列結論錯誤的是(C)A．AB＝ACB．AD平分∠BACC．AB＝BCD．∠BAC＝90°13．(2017·朝陽市建平縣期末)若等腰三角形的一個內(nèi)角等于15°，則這個三角形為(D)A．鈍角等腰三角形B．直角等腰三角形C．銳角等腰三角形D．鈍角等腰三角形或銳角等腰三角形14．(2016·泰安)如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為(D)A．44°B．66°C．88°D．92°15．如圖，已知點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進行證明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如選擇證明△ABE≌△CDF，證明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．16．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.證明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠CEB，,AE＝CE，,∠EAF＝∠ECB，))∴△AEF≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.03綜合題17．(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E在邊AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)；(2)如圖2，在△ABC中，∠ACB＝40°，點D，E在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，則∠DCE＝110°；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，點D，E在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)(直接寫出答案，用含n的式子表示)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如圖1，∠DCE＝90°－eq\f(1,2)n°；②如圖2，∠DCE＝90°＋eq\f(1,2)n°；③如圖3，∠DCE＝eq\f(1,2)n°；④如圖4，∠DCE＝eq\f(1,2)n°.第2課時等邊三角形的性質(zhì)01基礎題知識點1等腰三角形相關線段的性質(zhì)1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分別為邊AC，AB上的中線．若BD＝5，則CE＝5．2．證明：等腰三角形兩腰上的高相等．解：已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D.求證：BD＝CE.證明：∵CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.知識點2等邊三角形的性質(zhì)3．如圖，△ABC是等邊三角形，則∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標為(D)A．(1，1)B．(eq\r(3)，1)C．(eq\r(3)，eq\r(3))D．(1，eq\r(3))5．如圖，△ABC為等邊三角形，AC∥BD，則∠CBD＝120°．6．如圖，等邊△ABC中，AD為高，若AB＝6，則CD的長度為3．7．等邊△ABC的邊長如圖所示，則y＝3．8．如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m上，延長AC，交直線m于點D.若∠1＝20°，求∠2的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線．求證：BE＝BD.證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，∴AE＝AD，AD為∠BAC的平分線．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠BAE＝∠BAD，,AB＝AB，))∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.02中檔題10．下列說法：①等邊三角形的每一個內(nèi)角都等于60°；②等邊三角形三條邊上的高都相等；③等腰三角形兩底角的平分線相等；④等邊三角形任意一邊上的高與這條邊上的中線互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高與這條腰上的中線互相重合．其中正確的有(D)A．1個B．2個C．3個D．4個11．如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，垂足為D，點E是AC上一點，且AD＝AE，則∠CDE等于(C)A．30°B．20°C．15°D．10°12．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝15度．13．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE交于點O，則∠BOC的度數(shù)是120°．14．如圖，已知等邊△ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則∠EFD＝45°．15．如圖，在等邊△ABC中，D是BC上的一點，延長AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點O.求∠E的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO為∠BAE的平分線，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.16．如圖，△ABC為等邊三角形，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于點Q.(1)求證：AM＝BN；(2)求∠BQM的度數(shù)．解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABM＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.03綜合題17．已知，如圖所示，P為等邊△ABC內(nèi)的一點，它到三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，則h與h1，h2，h3有何數(shù)量關系？寫出你的猜想并加以證明．解：猜想：h1＋h2＋h3＝h.證明如下：連接PA，PB，PC.∵S△PAB＝eq\f(1,2)AB·h1，S△PAC＝eq\f(1,2)AC·h2，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·h3，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h，S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，∴eq\f(1,2)AB·h1＋eq\f(1,2)AC·h2＋eq\f(1,2)BC·h3＝eq\f(1,2)BC·h.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC.∴h1＋h2＋h3＝h.第3課時等腰三角形的判定與反證法01基礎題知識點1等腰三角形的判定1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，則(B)A．AB＝BCB．AB＝ACC．BC＝ACD．∠A＝60°2．如圖，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，則△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．如圖，AC，BD相交于點O，∠A＝∠D，如果請你再補充一個條件，使得△BOC是等腰三角形，那么你補充的條件不能是(C)A．OA＝ODB．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCOD．∠ABC＝∠DCB4．(易錯題)下列能判定△ABC為等腰三角形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周長為105．如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3cm，則CD＝3cm.6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列條件中的一個：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成為等腰三角形的有①②．7．已知：如圖，AB＝BC，DE∥AC，求證：△DBE是等腰三角形．證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知識點2反證法8．(2017·西安期中)用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個角是直角”第一步應假設一個三角形中有兩個角是直角．9．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求證：∠B，∠C必定是銳角．證明：①假設等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾；②假設等腰三角形的底角∠B，∠C都是鈍角，即∠B＋∠C＞180°，則∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾．綜上所述，假設①，②錯誤，所以∠B，∠C只能為銳角．故等腰三角形的底角必定為銳角．10．用反證法證明：已知直線a∥c，b∥c，求證：a∥b.證明：假設a與b相交于點M，則過M點有兩條直線平行于直線c，這與“過直線外一點平行于已知直線的直線有且只有一條”相矛盾，所以假設不成立，即a∥b.02中檔題11．(2017·鄭州月考)已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.若BD＋CE＝5，則線段DE的長為(A)A．5B．6C．7D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°.若用反證法證這個結論，應首先假設∠B≥90°．13．如圖，在一張長方形紙條上任意畫一條截線AB，將紙條沿截線AB折疊，所得到△ABC的形狀一定是等腰三角形．14．某輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東70°，又繼續(xù)航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東50°，則此時輪船與小島P的距離BP＝7海里．15．(2017·內(nèi)江)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．16．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，延長BC到E，使CE＝CD，連接DE.(1)成逸同學說：BD＝DE，她說得對嗎？請你說明理由；(2)小敏同學說：把“BD平分∠ABC”改成其他條件，也能得到同樣的結論，你認為應該如何改呢？解：(1)BD＝DE是正確的．理由：∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.又∵CE＝CD，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)可改為：BD⊥AC(或點D為AC中點)．理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.03綜合題17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動(D不與B，C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E.(1)當∠BDA＝115°時，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小(填“大”或“小”)；(2)當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，△ADE可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．解：(2)當DC＝2時，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度數(shù)為110°或80°.理由：當∠BDA＝110°時，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．當∠BDA＝80°時，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．第4課時等邊三角形的判定01基礎題知識點1等邊三角形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，則△ABC是(B)A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定2．下列說法不正確的是(D)A．有兩個角分別為60°的三角形是等邊三角形B．頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形C．底角為60°的等腰三角形是等邊三角形D．有一個角為60°的三角形是等邊三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，則AC等于(B)A．4B．6C．8D．104．如圖，將兩個完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，則拼接后的△ABD的形狀是等邊三角形．5．如圖，已知OA＝a，P是射線ON上一動點，∠AON＝60°，當OP＝a時，△AOP為等邊三角形．6．如圖，點D，E在線段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求證：△ADE為等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE為等邊三角形．知識點2含30°角的直角三角形的性質(zhì)7．(2017·平頂山市寶豐縣期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，則AB＝18．8．(2017·鄭州月考)如圖，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.若BC＝3cm，則AD＝6cm.9．如圖，這是某超市自動扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h＝6.5米，自動扶梯的傾角為30°，若自動扶梯運行速度為v＝0.5米/秒，則顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為26秒．10．如圖，鐵路AC與鐵路AD相交于車站A，B區(qū)在∠CAD的平分線上，且距車站A為20千米，∠DAC＝60°，則B區(qū)距鐵路AC的距離為10千米．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，BC＝8cm，求AD的長．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝eq\f(1,2)BC＝4cm.∴AD＝AB－DB＝12cm.02中檔題12．在下列三角形中：①三邊都相等的三角形；②有一個角是60°且是軸對稱圖形的三角形；③三個外角(每個頂點處各取1個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④13．如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在斜邊AB上的點E處，已知CD＝1，∠B＝30°，則BD的長是(B)A．1B．2C.eq\r(3)D．2eq\r(3)14．已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1，O，P2三點所構成的三角形是(D)A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形15．如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN.若MN＝2，則OM＝(C)A．3B．4C．5D．616．如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上一點，且AD＝BE＝CF，則△DEF的形狀是等邊三角形．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊的中線，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF.(1)求證：△AED是等邊三角形；(2)若AB＝2，則四邊形AEDF的周長是4．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD＝eq\f(1,2)AB.∵點E為AB的中點，∴AE＝eq\f(1,2)AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等邊三角形．03綜合題18．在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，連接AC.(1)如圖1，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝CF.求證：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等邊三角形；(2)若點E在BC的延長線上，則在直線CD上是否存在點F，使△AEF是等邊三角形？請證明你的結論(圖2備用)．解：(1)證明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等邊三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(2)存在．證明：在CD延長線上取點F，在BC延長線上取點E，使CF＝BE，連接AE，EF，AF.與(1)①同理，可證△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(注：若在CD延長線上取點F，使CE＝DF也可)小專題(一)等腰三角形中常見的數(shù)學思想類型1方程思想1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度數(shù)．解：設∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x＝eq\f(180,7).∴∠A為eq\f(180°,7).類型2分類討論思想2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件在點P共有(B)A．7個B．6個C．5個D．4個3．若實數(shù)x，y滿足|x－5|＋eq\r(y－10)＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為25．4．如圖，∠BOC＝60°，點A是BO延長線上的一點，OA＝10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間，當t＝eq\f(10,3)或10s時，△POQ是等腰三角形．5．已知O為等邊△ABD的邊BD的中點，AB＝4，E，F(xiàn)分別為射線AB，DA上一動點，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的長．解：當F點在線段DA的延長線上，如圖1，作OM∥AB交AD于M，∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM為等邊三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.當F點在線段AD上時，如圖2，同理可證明△OMF≌△OBE，則BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.類型3整體思想6．已知△ABC中，∠A＝α，點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上．(1)如圖1，若BE＝BD，CD＝CF，則∠EDF＝90°－eq\f(1,2)α；(2)如圖2，若BD＝DE，DC＝DF，則∠EDF＝180°－2α；(3)如圖3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，則∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)；(4)如圖4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，則∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)．1．2直角三角形第1課時勾股定理及其逆定理01基礎題知識點1直角三角形的性質(zhì)及其判定1．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．由下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2017·安徽)直角三角板和直尺如圖放置．若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(C)A．60°B．50°C．40°D．30°知識點2勾股定理及其逆定理4．(2017·西安期中)下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構成直角三角形的是(D)A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，eq\r(2)5．如圖，點D在△ABC的邊AC上，將△ABC沿BD翻折后，點A恰好與點C重合．若BC＝5，CD＝3，則BD的長為(D)A．1B．2C．3D．46．(2017·阿壩)直角三角形斜邊長是5，一直角邊的長是3，則此直角三角形的面積為6．7．(2017·成都)如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是eq\r(5)－1．8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四邊形ABCD的面積．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(132－122)＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝6＋30＝36.知識點3命題(逆命題)與定理(逆定理)9．下列命題中，其逆命題成立的是①④．(只填寫序號)①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長a，b，c(c為最長邊)滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．10．寫出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題．(1)兩直線平行，同位角相等；(2)如果a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，那么a＋b是偶數(shù)．解：(1)同位角相等，兩直線平行．真命題．(2)如果a＋b是偶數(shù)，那么a是偶數(shù)，b是偶數(shù)．假命題．02中檔題11．已知下列命題：①若a＋b＝0，則|a|＝|b|；②等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；③底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是(A)A．1個B．2個C．3個D．4個12．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為(A)A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對13．(2017·陜西)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(A)A．3eq\r(3)B．6C．3eq\r(2)D.eq\r(21)14．(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為(D)A．2B．2eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)＋1D.eq\r(3)＋115．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(C)A．10B．8C．6或10D．8或1016．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.17．(2016·益陽)如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設BD＝x，則CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(152－92)＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.03綜合題18．觀察下列勾股數(shù)組：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出：(1)當a＝19時，則b，c的值是多少？(2)當a＝2n＋1時，求b，c的值．你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？解：(1)當a＝19時，設b＝k，則c＝k＋1，觀察有如下規(guī)律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)當a＝2n＋1時，設b＝k，則c＝k＋1，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.證明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.第2課時直角三角形全等的判定01基礎題知識點1用HL判定直角三角形全等1．如圖，點P是∠BAC內(nèi)一點，PE⊥AC于點E，PF⊥AB于點F，PE＝PF，則直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A．HLB．ASAC．AASD．SAS2．如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是(A)A．AB＝ACB．∠BAC＝90°C．BD＝ACD．∠B＝45°3．如圖，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，則∠2＝(B)A．40°B．50°C．60°D．75°4．如圖，點D，A，E在直線l上，AB＝AC，BD⊥l于點D，CE⊥l于點E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，則DE＝8．5．如圖所示，AD⊥BE于點C，C是BE的中點，AB＝DE，求證：AB∥DE.證明：∵AD⊥BE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∵C是BE的中點，∴BC＝EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EC，))∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.知識點2用其他方法證明直角三角形全等6．(2017·平頂山市寶豐縣期中)下列條件不能判斷兩個直角三角形全等的是(C)A．兩條直角邊分別對應相等B．斜邊和一個銳角分別對應相等C．兩個銳角對應相等D．斜邊和一直角邊分別對應相等7．如圖，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，還需添加條件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需寫出一種情況)8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，使DB＝BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，交CB的延長線于點F.求證：AB＝BF.證明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知識點3HL在實際問題中的應用9．如圖，點C是路段AB的中點，小明和小紅兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此時小明到路段AB的距離是50米，則小紅到路段AB的距離是多少米？解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，∴△ADC和△BEC為直角三角形．∵點C是路段AB的中點，∴AC＝BC.∵小明和小紅同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小紅到路段AB的距離是50米．02中檔題10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，則下列圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是(A)11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD和CE交于點O，AO的延長線交BC于點F，則圖中全等的直角三角形有(D)A．3對B．4對C．5對D．6對12．如圖所示，過正方形ABCD的頂點B作直線a，過點A，C作a的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn).若AE＝1，CF＝3，則AB的長度為eq\r(10)．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，線段PQ＝AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP＝5或10時，△ABC和△PQA全等．14．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF.(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.03綜合題15．如圖1，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于點M.(1)求證：AE＝CF，MB＝MD；(2)當E，F(xiàn)兩點移動到如圖2的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．解：(1)證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.周周練(1.1～1.2)(時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(每小題4分，共32分)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，則∠A的度數(shù)是(C)A．70°B．55°C．50°D．40°2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，則必有(D)A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠C3．下列命題的逆命題不正確的是(D)A．若a2＝b2，則a＝bB．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．等腰三角形的兩個底角相等D．對頂角相等4．如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，下列結論中不正確的是(D)A．∠B＝∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB＝2BD5．(2017·平頂山市寶豐縣期中)若等邊三角形的一條高為eq\r(3)，其邊長為(A)A．2B．1C．3D．46．(2017·陜西西北大學附屬學校期中)如圖，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP的長不可能是(D)A．3.5B．4.2C．5.8D．77．(2017·西安期中)如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有(D)A．2個B．3個C．4個D．5個8．如圖，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延長BE到C，使EC＝AB，分別過點C，E作BC，AE的垂線，兩線相交于點D，連接AD.若AB＝3，DC＝4，則AD的長是(C)A．5B．7C．5eq\r(2)D．無法確定二、填空題(每小題4分，共24分)9．如圖，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜邊、直角邊(HL)”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，則還需補充條件答案不唯一，如：BC＝FE．10．在證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角不大于60°”成立時，我們利用反證法，先假設三角形的三個內(nèi)角都大于60°，則可推出三個內(nèi)角之和大于180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．11．如圖，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，則CE＝3．12．如圖，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少需7米．13．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，則BD的長為4eq\r(3)．14．在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A(3，0)，B(8，0)，若點P在y軸上，且△PAB是等腰三角形，則點P的坐標為(0，4)或(0，－4)．三、解答題(共44分)15．(8分)(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點O.(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何種三角形？證明你的結論．解：(1)證明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．16．(10分)(2017·蘇州)如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O.(1)求證：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度數(shù)．解：(1)證明：∵AE和BD相交于點O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.17．(12分)如圖，已知A，B，C，D四個城鎮(zhèn)(除B，C外)都有筆直的公路相接，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，公共汽車票價與路程成正比，已知各城鎮(zhèn)間公共汽車票價如下：為了B，C間的交通方便，打算在B，C之間建一條筆直公路，請按上述標準預算出B，C之間的公共汽車票價．解：AD為16，AB為20，BD為12，∵122＋162＝202，∴∠ADB＝90°.∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，∴A，D，C三個點在一條直線上，可知∠BDC＝90°.又∵BD＝12，DC＝9，∴BC＝eq\r(122＋92)＝15.故B，C之間的公共汽車票價為15元．18．(14分)如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求證：△ODE是等邊三角形；(2)線段BD，DE，EC三者有什么數(shù)量關系？寫出你的判斷過程；(3)數(shù)學學習不但要能解決問題，還要善于提出問題．結合本題，在現(xiàn)有的圖形上，請?zhí)岢鰞蓚€與“直角三角形”有關的問題．(只要提出問題，不需要解答)解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等邊三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.(3)答案不唯一，如：①連接AO，并延長交BC于點F，求證：△ABF是直角三角形；②若等邊△ABC的邊長為1，求BC邊上的高．

1.3線段的垂直平分線第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理01基礎題知識點1線段的垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝3cm，則線段PB的長為(D)A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm2．如圖，AB是CD的垂直平分線，若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，則四邊形ACBD的周長是(B)A．3.9cmB．7.8cmC．4cmD．4.6cm3．如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結論不一定成立的是(C)A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC4．(2017·西安期中)如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(B)A．50°B．100°C．120°D．130°5．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，則CE的長為6．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點E，垂足為D.求證：∠CAB＝∠AED.證明：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知識點2線段的垂直平分線的判定7．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB8．如圖，D是△ABC的邊BC的延長線上一點，且BD＝BC＋AC，則點C在線段AD的垂直平分線上．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D.求證：點D在AB的垂直平分線上．證明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴點D在AB的垂直平分線上．02中檔題10．平面直角坐標系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四個點中，在線段AB的垂直平分線上的點是(B)A．(0，2)B．(－3，1)C．(1，2)D．(1，0)11．下列說法：①若直線PE是線段AB的垂直平分線，則EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE是線段AB的垂直平分線；③若EA＝EB，則直線EP是線段AB的垂直平分線；④若PA＝PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．其中正確的有(C)A．1個B．2個C．3個D．4個12．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN，與AC，BC分別交于點D，E，連接AE，則：(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)當AB＝3，AC＝5時，△ABE的周長＝7．13．如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連接OC.若∠AOC＝125°，則∠ABC＝70°．14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，將AB邊沿AD折疊，發(fā)現(xiàn)B點的對應點E正好在AC的垂直平分線上，則∠C＝30°．15．(2017·朝陽市建平縣期中)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為eq\f(7,6)．16．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長線上一點，E是BD垂直平分線與AB的交點，DE交AC于點F.求證：點E在AF的垂直平分線上．證明：∵E是BD的垂直平分線上的一點，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴點E在AF的垂直平分線上．03綜合題17．(1)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交直線BC于點M，∠A＝40°，求∠NMB的大??；(2)如果將(1)中的∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大?。?3)你發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？試證明；(4)將(1)中的∠A改為鈍角，對這個問題的規(guī)律性認識是否需要修改．解：(1)∵∠B＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝70°，∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.(2)同理得∠NMB＝35°.(3)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是∠NMB＝eq\f(1,2)∠A.證明：設∠A＝α，則有∠B＝eq\f(1,2)(180°－α)．∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－eq\f(1,2)(180°－α)＝eq\f(1,2)α＝eq\f(1,2)∠A.(4)∠A改為鈍角后，∠NMB＝eq\f(1,2)∠A這個規(guī)律仍成立．上述規(guī)律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交，所成的銳角等于頂角的一半．第2課時三角形三邊的垂直平分線01基礎題知識點1三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)1．三角形紙片ABC上有一點P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，則點P一定(D)A．是邊AB的中點B．在邊AB的中線上C．在邊AB的高上D．在邊AB的垂直平分線上2．(2017·鄭州期末)在三角形的內(nèi)部，有一個點到三角形三個頂點的距離相等，則這個點一定是三角形(C)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條邊的垂直平分線的交點D．三條高的交點3．如圖，∠BAC＝110°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是(B)A．20°B．40°C．50°D．60°4．△ABC中，AB，AC的垂直平分線相交于點P，那么P點必定在BC的垂直平分線上，且PA＝PB＝PC．5．如圖，O為△ABC三邊垂直平分線的交點，點O到頂點A的距離為5cm，則AO＋BO＋CO＝15_cm．6．如圖，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，BC＝6cm，請計算出∠DAE的度數(shù)和△ADE的周長．解：∵AB和AC的垂直平分線交BC于點D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周長為AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知識點2作圖7．在同一平面內(nèi)，過直線上一點作已知直線的垂線，能作(A)A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條8．下列作圖語句正確的是(D)A．過點P作線段AB的中垂線B．在線段AB的延長線上取一點C，使AB＝ACC．過直線a和直線b外一點P作直線MN，使MN∥a∥bD．過點P作直線AB的垂線9．如圖，已知線段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC邊上的高AD＝h.張紅的作法是：①作線段BC＝a；②作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點D；③在直線MN上截取線段h；④連接AB，AC，則△ABC為所求的等腰三角形．上述作法的四個步驟中，你認為有錯誤的一步是(C)A．①B．②C．③D．④10．為了推進農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P，使P到該鎮(zhèn)A村，B村，C村所屬的村委會所在地的距離都相等(A，B，C不在同一直線上，地理位置如圖)，請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P的位置．要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡．解：已知：A，B，C三點不在同一直線上．求作：作一點P，使PA＝PB＝PC.如圖所示，點P即為所求的點．02中檔題11．在平面內(nèi)，到三點A，B，C距離相等的點(D)A．只有一個B．有兩個C．有三個或三個以上D．有一個或沒有12．等腰三角形的底角為40°，兩腰的垂直平分線交于點P，則(B)A．點P在三角形內(nèi)B．點P在三角形外C．點P在三角形底邊上D．點P的位置與三角形的邊長有關13．(2017·西安期中)如圖，已知點O為△ABC三邊垂直平分線的交點，∠BAC＝80°，則∠BOC＝160°.14．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF，MN分別是AB，AC的垂直平分線，點E，M在BC上，則∠EAM＝28°．15．如圖，由于水資源缺乏，B，C兩地不得不從黃河上的揚水站A引水，這就需要A，B，C之間鋪設地下輸水管道，有人設計了三種鋪設方案：如圖①②③，圖中實線表示管道鋪設線路，在圖②中，AD垂直BC于點D；在圖③中，OA＝OB＝OC.為減少滲漏，節(jié)約水資源，并降低工程造價，鋪設線路應盡量縮短，已知△ABC恰好是一個邊長為a的等邊三角形，那么通過計算，你認為最好的鋪設方案是方案③．16．如圖所示，已知線段a，b，求作等腰三角形，使高為a，腰長為b(a＜b，尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)．解：作法：(1)作線段AD＝a；(2)過點D作直線MN⊥AD于點D；(3)以點A為圓心，b為半徑畫弧，交MN于B，C兩點，連接AB，AC，△ABC即為所求，如圖所示．17．如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F.(1)若△CMN的周長為15cm，求AB的長；(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．解：(1)∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周長＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周長為15cm，∴AB＝15cm.(2)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.03綜合題18．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為(B)A．130°B．120°C．110°D．100°提示：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于點M，交CD于點N，則A′A″的長度即為△AMN周長的最小值．1．4角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理01基礎題知識點1角平分線的性質(zhì)1．(2017·臺州)如圖，點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D.若PD＝2，則點P到邊OA的距離是(A)A．2B．3C.eq\r(3)D．42．下列各圖中，OP是∠MON的平分線，點E，F(xiàn)，G分別在射線OM，ON，OP上，則可以解釋定理“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”的圖形是(D)3．(2016·懷化)如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結論錯誤的是(B)A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD4．如圖，∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.若OD＝8，OP＝10，則PE的長為(B)A．5B．6C．7D．85．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA＝2，則PQ的最小值為(B)A．1B．2C．3D．46．(2017·西安期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，則D點到AB的距離是3．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的長；(2)求△ADB的面積．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(或S△ADB＝eq\f(1,2)BD·AC＝eq\f(1,2)×(8－3)×6＝15.)知識點2角平分線的判定8．如圖，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，則∠DCE為(A)A．30°B．40°C．50°D．60°9．如圖，P是∠BAC內(nèi)的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE＝AF.求證：(1)PE＝PF；(2)點P在∠BAC的平分線上．證明：(1)連接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．∴PE＝PF.(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴點P在∠BAC的平分線上．02中檔題10．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是(A)A．M點B．N點C．P點D．Q點11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于點D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于(C)A.eq\r(3)cmB．2cmC．3cmD．4cm12．(2017·朝陽市建平縣期末)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，對于結論：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一點到AB，AC的距離相等；④AD上任一點到B，C的距離相等．其中正確的是(D)A．僅①②B．僅③④C．僅①②③D．①②③④13．(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖，P是∠AOB的平分線上一點，PD⊥OB，垂足為D，PC∥OB交OA于點C.若∠AOB＝30°，PD＝2cm，則PC＝4cm.14．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求證：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求點M到AD的距離．解：(1)證明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，∴∠MAD＝eq\f(1,2)∠BAD，∠ADM＝eq\f(1,2)∠ADC.∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∴∠MAD＋∠ADM＝eq\f(1,2)(∠BAD＋∠ADC)＝90°.又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，∴∠AMD＝90°.∴AM⊥DM.(2)過M作MN⊥AD于點N.∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝90°.即BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM分別平分∠BAD，∠ADC，∴BM＝MN，MN＝MC.∴MN＝eq\f(1,2)BC＝4.∴M到AD的距離為4.15．已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD，CE相交于點O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．解：(1)證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠EOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠ACE.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)點O在∠BAC的平分線上．理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，∠COD＋∠DCO＝90°，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴點O在∠BAC的平分線上．03綜合題16．(2017·西安交大二附中期中)如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分線，AC＝eq\r(6)，若點P是AD上一動點，且作PN⊥AC于點N，則PN＋PC的最小值是eq\f(3\r(2),2)．第2課時三角形三個內(nèi)角的平分線01基礎題知識點三角形的角平分線的性質(zhì)1．(2017·西安交大二附中期中)與三角形三邊距離相等的點，是這個三角形的(B)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條高的交點D．三邊的垂直平分線的交點2．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶53．(2017·鄭州月考)如圖所示是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在(C)A．△ABC三條中線的交點B．△ABC三邊的中垂線的交點C．△ABC三條角平分線的交點D．△ABC三條高所在直線的交點4．如圖，點O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等．若∠BOC＝120°，則∠A為60°.02中檔題5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且相交于點F，則下列說法錯誤的是(D)A．BF＝CFB．點F到∠BAC兩邊的距離相等C．CE＝BDD．點F到點A，B，C三點的距離相等6．(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖，直線l，l′，l″表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(D)A．一處B．二處C．三處D．四處7．如圖，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求證：∠BPC＝90°＋eq\f(1,2)∠BAC.證明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，∴點P是△ABC三個內(nèi)角平分線的交點．∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.∴∠PCB＝eq\f(1,2)∠ACB，∠PBC＝eq\f(1,2)∠ABC.∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180°－eq\f(1,2)∠ACB－eq\f(1,2)∠ABC＝180°－eq\f(1,2)(∠ACB＋∠ABC)＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝90°＋eq\f(1,2)∠BAC.03綜合題8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一條角平分線，點O，E，F(xiàn)分別在BD，BC，AC上，且四邊形OECF是正方形．(1)求證：點O在∠BAC的平分線上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的長．解：(1)證明：過點O作OM⊥AB于點M.∵四邊形OECF為正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于點E，OF⊥AC于點F.∵BD是∠ABC的平分線，∴OE＝OM.∴OM＝OF.∴AO平分∠BAC，即點O在∠BAC