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第第頁北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)同步課時(shí)練習(xí)題三角形的證明1.1等腰三角形第1課時(shí)全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1全等三角形的性質(zhì)與判定1.如圖,△ABC≌△BAD.若AB=6,AC=4,BC=5,則AD的長(zhǎng)為(B)A.4B.5C.6D.以上都不對(duì)2.如圖,若能用AAS來判定△ACD≌△ABE,則需要添加的條件是(B)A.∠ADC=∠AEB,∠C=∠BB.∠ADC=∠AEB,CD=BEC.AC=AB,AD=AED.AC=AB,∠C=∠B3.(2016·成都)如圖,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,則∠B=120°.4.(2017·懷化)如圖,AC=DC,BC=EC,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:AB=DE(答案不唯一),使得△ABC≌△DEC.5.如圖,點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一條直線上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF=6.6.(2016·宜賓)如圖,已知∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC.求證:BC=AD.證明:∵∠CAB=∠DBA,∠DAC=∠CBD,∴∠DAB=∠CBA.在△ADB和△BCA中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBA=∠CAB,,AB=BA,,∠DAB=∠CBA,))∴△ADB≌△BCA(ASA).∴AD=BC.7.(2017·黃岡)已知:如圖,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,求證:∠B=∠ANM.證明:∵∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAM=∠DAC+∠NAM,∴∠BAD=∠NAM.在△BAD和△NAM中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=AN,,∠BAD=∠NAM,,AD=AM,))∴△BAD≌△NAM(SAS).∴∠B=∠ANM.知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)8.若等腰三角形的頂角為50°,則它的底角度數(shù)為(D)A.40°B.50°C.60°D.65°9.(2017·平頂山市寶豐縣期末)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4,另一邊長(zhǎng)為5,則此三角形的周長(zhǎng)為(D)A.13B.14C.15D.13或1410.(2017·江西)如圖1是一把園林剪刀,把它抽象為圖2,其中OA=OB.若剪刀張開的角為30°,則∠A=75度.11.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D.若AB=6,CD=4,則△ABC的周長(zhǎng)是20.02中檔題12.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,AD=BD=CD,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)A.AB=ACB.AD平分∠BACC.AB=BCD.∠BAC=90°13.(2017·朝陽市建平縣期末)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于15°,則這個(gè)三角形為(D)A.鈍角等腰三角形B.直角等腰三角形C.銳角等腰三角形D.鈍角等腰三角形或銳角等腰三角形14.(2016·泰安)如圖,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分別是PA,PB,AB上的點(diǎn),且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,則∠P的度數(shù)為(D)A.44°B.66°C.88°D.92°15.如圖,已知點(diǎn)A,F(xiàn),E,C在同一直線上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形;(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明.解:(1)答案不唯一,如:△ABE≌△CDF,△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一,如選擇證明△ABE≌△CDF,證明如下:∵AF=CE,∴AE=CF.∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.又∵∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(AAS).16.如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求證:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.證明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°.∴∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠ECB.在△AEF和△CEB中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEF=∠CEB,,AE=CE,,∠EAF=∠ECB,))∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴CD=BD,BC=2CD.∴AF=2CD.03綜合題17.(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E在邊AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度數(shù);(2)如圖2,在△ABC中,∠ACB=40°,點(diǎn)D,E在直線AB上,且AD=AC,BE=BC,則∠DCE=110°;(3)在△ABC中,∠ACB=n°(0<n<180),點(diǎn)D,E在直線AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度數(shù)(直接寫出答案,用含n的式子表示).解:(1)∵AD=AC,BC=BE,∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC.∴∠ACD=(180°-∠A)÷2,∠BCE=(180°-∠B)÷2.∵∠A+∠B=90°,∴∠ACD+∠BCE=180°-(∠A+∠B)÷2=180°-45°=135°.∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=135°-90°=45°.(3)①如圖1,∠DCE=90°-eq\f(1,2)n°;②如圖2,∠DCE=90°+eq\f(1,2)n°;③如圖3,∠DCE=eq\f(1,2)n°;④如圖4,∠DCE=eq\f(1,2)n°.第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形相關(guān)線段的性質(zhì)1.在△ABC中,AB=AC,BD,CE分別為邊AC,AB上的中線.若BD=5,則CE=5.2.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.解:已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于點(diǎn)E,BD⊥AC于點(diǎn)D.求證:BD=CE.證明:∵CE⊥AB于點(diǎn)E,BD⊥AC于點(diǎn)D,∴∠AEC=∠ADB=90°.又∵AC=AB,∠A=∠A,∴△ACE≌△ABD(AAS).∴CE=BD.知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)3.如圖,△ABC是等邊三角形,則∠1+∠2=(C)A.60°B.90°C.120°D.180°4.(2017·南充)如圖,等邊△OAB的邊長(zhǎng)為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(D)A.(1,1)B.(eq\r(3),1)C.(eq\r(3),eq\r(3))D.(1,eq\r(3))5.如圖,△ABC為等邊三角形,AC∥BD,則∠CBD=120°.6.如圖,等邊△ABC中,AD為高,若AB=6,則CD的長(zhǎng)度為3.7.等邊△ABC的邊長(zhǎng)如圖所示,則y=3.8.如圖,l∥m,等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上,延長(zhǎng)AC,交直線m于點(diǎn)D.若∠1=20°,求∠2的度數(shù).解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°.∴在△BCD中,∠CDB=∠ACB-∠1=60°-20°=40°.∵l∥m,∴∠2=∠CDB=40°.9.如圖,△ABC和△ADE是等邊三角形,AD是BC邊上的中線.求證:BE=BD.證明:∵△ABC和△ADE是等邊三角形,AD為BC邊上的中線,∴AE=AD,AD為∠BAC的平分線.∴∠CAD=∠BAD=30°.∴∠BAE=∠BAD=30°.在△ABE和△ABD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE=AD,,∠BAE=∠BAD,,AB=AB,))∴△ABE≌△ABD(SAS).∴BE=BD.02中檔題10.下列說法:①等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°;②等邊三角形三條邊上的高都相等;③等腰三角形兩底角的平分線相等;④等邊三角形任意一邊上的高與這條邊上的中線互相重合;⑤等腰三角形一腰上的高與這條腰上的中線互相重合.其中正確的有(D)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)11.如圖,△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,垂足為D,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),且AD=AE,則∠CDE等于(C)A.30°B.20°C.15°D.10°12.如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E=15度.13.如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),CD,BE交于點(diǎn)O,則∠BOC的度數(shù)是120°.14.如圖,已知等邊△ABC紙片,點(diǎn)E在AC邊上,點(diǎn)F在AB邊上,沿EF折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置,且ED⊥BC,則∠EFD=45°.15.如圖,在等邊△ABC中,D是BC上的一點(diǎn),延長(zhǎng)AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點(diǎn)O.求∠E的度數(shù).解:∵△ABC是等邊三角形,BF是△ABC的高,∴∠ABO=eq\f(1,2)∠ABC=30°,AB=AC.∵AE=AC,∴AB=AE.∵AO為∠BAE的平分線,∴∠BAO=∠EAO.在△ABO和△AEO中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=AE,,∠BAO=∠EAO,,AO=AO,))∴△ABO≌△AEO(SAS).∴∠E=∠ABO=30°.16.如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)N是線段CA上任意一點(diǎn),且BM=CN,BN與AM相交于點(diǎn)Q.(1)求證:AM=BN;(2)求∠BQM的度數(shù).解:(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.在△AMB和△BNC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=BC,,∠ABM=∠C,,BM=CN,))∴△AMB≌△BNC(SAS).∴AM=BN.(2)∵△AMB≌△BNC,∴∠MAB=∠NBC.∴∠BQM=∠MAB+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°.03綜合題17.已知,如圖所示,P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),它到三邊AB,AC,BC的距離分別為h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,則h與h1,h2,h3有何數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想并加以證明.解:猜想:h1+h2+h3=h.證明如下:連接PA,PB,PC.∵S△PAB=eq\f(1,2)AB·h1,S△PAC=eq\f(1,2)AC·h2,S△PBC=eq\f(1,2)BC·h3,S△ABC=eq\f(1,2)BC·h,S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,∴eq\f(1,2)AB·h1+eq\f(1,2)AC·h2+eq\f(1,2)BC·h3=eq\f(1,2)BC·h.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC.∴h1+h2+h3=h.第3課時(shí)等腰三角形的判定與反證法01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的判定1.在△ABC中,已知∠B=∠C,則(B)A.AB=BCB.AB=ACC.BC=ACD.∠A=60°2.如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,且AD∥BC,則△ABC一定是(C)A.任意三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形3.如圖,AC,BD相交于點(diǎn)O,∠A=∠D,如果請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件,使得△BOC是等腰三角形,那么你補(bǔ)充的條件不能是(C)A.OA=ODB.AB=CDC.∠ABO=∠DCOD.∠ABC=∠DCB4.(易錯(cuò)題)下列能判定△ABC為等腰三角形的是(B)A.∠A=30°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周長(zhǎng)為105.如圖,已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3cm,則CD=3cm.6.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,若添加下列條件中的一個(gè):①BD=CD;②AD平分∠BAC;③AD=BD.其中能使△ABC成為等腰三角形的有①②.7.已知:如圖,AB=BC,DE∥AC,求證:△DBE是等腰三角形.證明:∵AB=BC,∴∠A=∠C.∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C.∴∠BDE=∠BED.∴BD=BE.∴△DBE是等腰三角形.知識(shí)點(diǎn)2反證法8.(2017·西安期中)用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”第一步應(yīng)假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角.9.用反證法證明:等腰三角形的底角必定是銳角.已知:等腰△ABC,AB=AC.求證:∠B,∠C必定是銳角.證明:①假設(shè)等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角,即∠B+∠C=180°,則∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾;②假設(shè)等腰三角形的底角∠B,∠C都是鈍角,即∠B+∠C>180°,則∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾.綜上所述,假設(shè)①,②錯(cuò)誤,所以∠B,∠C只能為銳角.故等腰三角形的底角必定為銳角.10.用反證法證明:已知直線a∥c,b∥c,求證:a∥b.證明:假設(shè)a與b相交于點(diǎn)M,則過M點(diǎn)有兩條直線平行于直線c,這與“過直線外一點(diǎn)平行于已知直線的直線有且只有一條”相矛盾,所以假設(shè)不成立,即a∥b.02中檔題11.(2017·鄭州月考)已知,如圖,在△ABC中,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過O作DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.若BD+CE=5,則線段DE的長(zhǎng)為(A)A.5B.6C.7D.812.已知△ABC中,AB=AC,求證:∠B<90°.若用反證法證這個(gè)結(jié)論,應(yīng)首先假設(shè)∠B≥90°.13.如圖,在一張長(zhǎng)方形紙條上任意畫一條截線AB,將紙條沿截線AB折疊,所得到△ABC的形狀一定是等腰三角形.14.某輪船由西向東航行,在A處測(cè)得小島P的方位是北偏東70°,又繼續(xù)航行7海里后,在B處測(cè)得小島P的方位是北偏東50°,則此時(shí)輪船與小島P的距離BP=7海里.15.(2017·內(nèi)江)如圖,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為點(diǎn)D,DE∥AC.求證:△BDE是等腰三角形.證明:∵DE∥AC,∴∠DAC=∠EDA.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠EAD.∴∠EAD=∠EDA.∵AD⊥BD,∴∠EAD+∠B=90°,∠EDA+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.16.如圖,在等邊△ABC中,BD平分∠ABC,延長(zhǎng)BC到E,使CE=CD,連接DE.(1)成逸同學(xué)說:BD=DE,她說得對(duì)嗎?請(qǐng)你說明理由;(2)小敏同學(xué)說:把“BD平分∠ABC”改成其他條件,也能得到同樣的結(jié)論,你認(rèn)為應(yīng)該如何改呢?解:(1)BD=DE是正確的.理由:∵△ABC為等邊三角形,BD平分∠ABC,∴∠DBC=eq\f(1,2)∠ABC=30°,∠ACB=60°.∴∠DCE=180°-∠ACB=120°.又∵CE=CD,∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E.∴BD=DE.(2)可改為:BD⊥AC(或點(diǎn)D為AC中點(diǎn)).理由:∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°.∴∠DBC=30°.由(1)可知∠E=30°,∴∠DBC=∠E.∴BD=DE.03綜合題17.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(D不與B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于點(diǎn)E.(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí),∠EDC=25°,∠DEC=115°;點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BDA逐漸變小(填“大”或“小”);(2)當(dāng)DC等于多少時(shí),△ABD≌△DCE,請(qǐng)說明理由;(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,△ADE可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)直接寫出∠BDA的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說明理由.解:(2)當(dāng)DC=2時(shí),△ABD≌△DCE.理由:∵∠C=40°,∴∠DEC+∠EDC=140°.又∵∠ADE=40°,∴∠ADB+∠EDC=140°.∴∠ADB=∠DEC.又∵AB=DC=2,∴△ABD≌△DCE(AAS).(3)可以,∠BDA的度數(shù)為110°或80°.理由:當(dāng)∠BDA=110°時(shí),∠ADC=70°.∵∠C=40°,∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-70°-40°=70°.∴∠AED=180°-∠DAC-∠ADE=180°-70°-40°=70°.∴∠AED=∠DAE.∴AD=ED.∴△ADE是等腰三角形.當(dāng)∠BDA=80°時(shí),∠ADC=100°.∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°.∴∠DAE=∠ADE.∴AE=DE.∴△ADE是等腰三角形.第4課時(shí)等邊三角形的判定01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的判定1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,則△ABC是(B)A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.不能確定2.下列說法不正確的是(D)A.有兩個(gè)角分別為60°的三角形是等邊三角形B.頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形C.底角為60°的等腰三角形是等邊三角形D.有一個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形3.如圖,在△ABC中,AB=BC=6,∠B=60°,則AC等于(B)A.4B.6C.8D.104.如圖,將兩個(gè)完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,則拼接后的△ABD的形狀是等邊三角形.5.如圖,已知OA=a,P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn),∠AON=60°,當(dāng)OP=a時(shí),△AOP為等邊三角形.6.如圖,點(diǎn)D,E在線段BC上,BD=CE,∠B=∠C,∠ADB=120°,求證:△ADE為等邊三角形.證明:∵∠B=∠C,∴AB=AC.又∵BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE.又∵∠ADB=120°,∴∠ADE=60°.∴△ADE為等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)2含30°角的直角三角形的性質(zhì)7.(2017·平頂山市寶豐縣期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=9,則AB=18.8.(2017·鄭州月考)如圖,∠C=90°,∠ABC=75°,∠CDB=30°.若BC=3cm,則AD=6cm.9.如圖,這是某超市自動(dòng)扶梯的示意圖,大廳兩層之間的距離h=6.5米,自動(dòng)扶梯的傾角為30°,若自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度為v=0.5米/秒,則顧客乘自動(dòng)扶梯上一層樓的時(shí)間為26秒.10.如圖,鐵路AC與鐵路AD相交于車站A,B區(qū)在∠CAD的平分線上,且距車站A為20千米,∠DAC=60°,則B區(qū)距鐵路AC的距離為10千米.11.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于點(diǎn)D,BC=8cm,求AD的長(zhǎng).解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8cm,∴∠B=60°,AB=2BC=16cm.又∵CD⊥AB于D,∴∠BDC=90°.∴∠DCB=30°.∴DB=eq\f(1,2)BC=4cm.∴AD=AB-DB=12cm.02中檔題12.在下列三角形中:①三邊都相等的三角形;②有一個(gè)角是60°且是軸對(duì)稱圖形的三角形;③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取1個(gè)外角)都相等的三角形;④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有(D)A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④13.如圖,折疊直角三角形紙片的直角,使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處,已知CD=1,∠B=30°,則BD的長(zhǎng)是(B)A.1B.2C.eq\r(3)D.2eq\r(3)14.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,P1與P關(guān)于OB對(duì)稱,P2與P關(guān)于OA對(duì)稱,則P1,O,P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是(D)A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形15.如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P在邊OA上,OP=12,點(diǎn)M,N在邊OB上,PM=PN.若MN=2,則OM=(C)A.3B.4C.5D.616.如圖,△ABC是等邊三角形,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA邊上一點(diǎn),且AD=BE=CF,則△DEF的形狀是等邊三角形.17.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC邊的中線,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn),連接DE,DF.(1)求證:△AED是等邊三角形;(2)若AB=2,則四邊形AEDF的周長(zhǎng)是4.證明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AD是BC邊的中線,∴AD⊥BC.∴∠BAD=60°.∴AD=eq\f(1,2)AB.∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AE=eq\f(1,2)AB.∴AE=AD.∴△ADE是等邊三角形.03綜合題18.在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=60°,連接AC.(1)如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,且BE=CF.求證:①△ABE≌△ACF;②△AEF是等邊三角形;(2)若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,則在直線CD上是否存在點(diǎn)F,使△AEF是等邊三角形?請(qǐng)證明你的結(jié)論(圖2備用).解:(1)證明:①∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴AB=AC.同理,△ADC也是等邊三角形,∴∠B=∠ACF=60°.又∵BE=CF,∴△ABE≌△ACF(SAS).②∵△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠CAF+∠CAE=60°,即∠EAF=60°.∴△AEF是等邊三角形.(2)存在.證明:在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,在BC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使CF=BE,連接AE,EF,AF.與(1)①同理,可證△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF.∴∠BAE-∠CAE=∠CAF-∠CAE.∴∠BAC=∠EAF=60°.∴△AEF是等邊三角形.(注:若在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使CE=DF也可)小專題(一)等腰三角形中常見的數(shù)學(xué)思想類型1方程思想1.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度數(shù).解:設(shè)∠A=x°,∵BC=BD=ED=EA,∴∠ADE=∠A=x°.∴∠DEA=∠DBE=2x°.∴∠BDC=∠C=3x°.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=3x°.在△ABC中,∠A+∠C+∠ABC=180°,即x+3x+3x=180.∴x=eq\f(180,7).∴∠A為eq\f(180°,7).類型2分類討論思想2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直線BC或AC上取一點(diǎn)P,使得△PAB為等腰三角形,則符合條件在點(diǎn)P共有(B)A.7個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)3.若實(shí)數(shù)x,y滿足|x-5|+eq\r(y-10)=0,則以x,y的值為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為25.4.如圖,∠BOC=60°,點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),OA=10cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng).如果點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間,當(dāng)t=eq\f(10,3)或10s時(shí),△POQ是等腰三角形.5.已知O為等邊△ABD的邊BD的中點(diǎn),AB=4,E,F(xiàn)分別為射線AB,DA上一動(dòng)點(diǎn),且∠EOF=120°,若AF=1,求BE的長(zhǎng).解:當(dāng)F點(diǎn)在線段DA的延長(zhǎng)線上,如圖1,作OM∥AB交AD于M,∵O為等邊△ABD的邊BD的中點(diǎn),∴OB=2,∠D=∠ABD=60°.∴△ODM為等邊三角形.∴OM=MD=2,∠OMD=60°.∴FM=FA+AM=3,∠FMO=∠BOM=120°.∵∠EOF=120°,∴∠BOE=∠FOM.而∠EBO=180°-∠ABD=120°,∴△OMF≌△OBE(ASA).∴BE=MF=3.當(dāng)F點(diǎn)在線段AD上時(shí),如圖2,同理可證明△OMF≌△OBE,則BE=MF=AM-AF=2-1=1.類型3整體思想6.已知△ABC中,∠A=α,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在BC,AB,AC上.(1)如圖1,若BE=BD,CD=CF,則∠EDF=90°-eq\f(1,2)α;(2)如圖2,若BD=DE,DC=DF,則∠EDF=180°-2α;(3)如圖3,若BD=CF,CD=BE,AB=AC,則∠EDF=eq\f(1,2)(180°-α);(4)如圖4,若DE⊥AB,DF⊥BC,AB=AC,則∠EDF=eq\f(1,2)(180°-α).1.2直角三角形第1課時(shí)勾股定理及其逆定理01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)及其判定1.在一個(gè)直角三角形中,有一個(gè)銳角等于60°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(D)A.120°B.90°C.60°D.30°2.由下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A.∠A=37°,∠C=53°B.∠A-∠C=∠BC.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶53.(2017·安徽)直角三角板和直尺如圖放置.若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為(C)A.60°B.50°C.40°D.30°知識(shí)點(diǎn)2勾股定理及其逆定理4.(2017·西安期中)下列各組數(shù)中,以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是(D)A.2,4,5B.6,8,11C.5,12,12D.1,1,eq\r(2)5.如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊AC上,將△ABC沿BD翻折后,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合.若BC=5,CD=3,則BD的長(zhǎng)為(D)A.1B.2C.3D.46.(2017·阿壩)直角三角形斜邊長(zhǎng)是5,一直角邊的長(zhǎng)是3,則此直角三角形的面積為6.7.(2017·成都)如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是eq\r(5)-1.8.如圖,在四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AC⊥CD,求四邊形ABCD的面積.解:∵AC⊥CD,CD=12,AD=13,∴AC=eq\r(AD2-CD2)=eq\r(132-122)=5.又∵AB=3,BC=4,∴AB2+BC2=32+42=52=AC2.∴∠B=90°.∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=eq\f(1,2)AB·BC+eq\f(1,2)AC·CD=eq\f(1,2)×3×4+eq\f(1,2)×5×12=6+30=36.知識(shí)點(diǎn)3命題(逆命題)與定理(逆定理)9.下列命題中,其逆命題成立的是①④.(只填寫序號(hào))①同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;②如果兩個(gè)角是直角,那么它們相等;③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等,那么它們的平方相等;④如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c(c為最長(zhǎng)邊)滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.10.寫出下列命題的逆命題,并判斷它們是真命題還是假命題.(1)兩直線平行,同位角相等;(2)如果a是偶數(shù),b是偶數(shù),那么a+b是偶數(shù).解:(1)同位角相等,兩直線平行.真命題.(2)如果a+b是偶數(shù),那么a是偶數(shù),b是偶數(shù).假命題.02中檔題11.已知下列命題:①若a+b=0,則|a|=|b|;②等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等;③底角相等的兩個(gè)等腰三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(A)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)12.如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則△ABC的形狀為(A)A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)13.(2017·陜西)如圖,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合,點(diǎn)C′落在邊AB上,連接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,則B′C的長(zhǎng)為(A)A.3eq\r(3)B.6C.3eq\r(2)D.eq\r(21)14.(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長(zhǎng)為(D)A.2B.2eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)+1D.eq\r(3)+115.在△ABC中,AB=10,AC=2eq\r(10),BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于(C)A.10B.8C.6或10D.8或1016.如圖,圓柱形容器高為18cm,底面周長(zhǎng)為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.17.(2016·益陽)如圖,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,設(shè)BD=x,則CD=14-x.由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=eq\r(AB2-BD2)=eq\r(152-92)=12.∴S△ABC=eq\f(1,2)BC·AD=eq\f(1,2)×14×12=84.03綜合題18.觀察下列勾股數(shù)組:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;a,b,c.你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,請(qǐng)寫出:(1)當(dāng)a=19時(shí),則b,c的值是多少?(2)當(dāng)a=2n+1時(shí),求b,c的值.你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?解:(1)當(dāng)a=19時(shí),設(shè)b=k,則c=k+1,觀察有如下規(guī)律:192+k2=(k+1)2.解得k=180.故b=180,c=181.(2)當(dāng)a=2n+1時(shí),設(shè)b=k,則c=k+1,根據(jù)勾股定理a2+b2=c2得(2n+1)2+k2=(k+1)2,解得k=2n(n+1).∴b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1.證明:∵a2+b2=(2n+1)2+[2n(n+1)]2=4n4+8n3+8n2+4n+1,[2n(n+1)+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴a2+b2=c2.∴(2n+1)2+[2n(n+1)]2=[2n(n+1)+1]2.第2課時(shí)直角三角形全等的判定01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1用HL判定直角三角形全等1.如圖,點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn),PE⊥AC于點(diǎn)E,PF⊥AB于點(diǎn)F,PE=PF,則直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS2.如圖,已知AD是△ABC的邊BC上的高,下列能使△ABD≌△ACD的條件是(A)A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°3.如圖,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,則∠2=(B)A.40°B.50°C.60°D.75°4.如圖,點(diǎn)D,A,E在直線l上,AB=AC,BD⊥l于點(diǎn)D,CE⊥l于點(diǎn)E,且BD=AE.若BD=3,CE=5,則DE=8.5.如圖所示,AD⊥BE于點(diǎn)C,C是BE的中點(diǎn),AB=DE,求證:AB∥DE.證明:∵AD⊥BE,∴∠ACB=∠DCE=90°.∵C是BE的中點(diǎn),∴BC=EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=DE,,BC=EC,))∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).∴∠A=∠D.∴AB∥DE.知識(shí)點(diǎn)2用其他方法證明直角三角形全等6.(2017·平頂山市寶豐縣期中)下列條件不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是(C)A.兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等B.斜邊和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等C.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等7.如圖,AC⊥BC,AD⊥DB,要使△ABC≌△BAD,還需添加條件:答案不唯一,如:∠BAC=∠ABD.(只需寫出一種情況)8.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D在邊AB上,使DB=BC,過點(diǎn)D作EF⊥AC,分別交AC于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:AB=BF.證明:∵EF⊥AC,∴∠F+∠C=90°.∵∠A+∠C=90°,∴∠A=∠F.又∵DB=BC,∠FBD=∠ABC,∴△FBD≌△ABC(AAS).∴AB=BF.知識(shí)點(diǎn)3HL在實(shí)際問題中的應(yīng)用9.如圖,點(diǎn)C是路段AB的中點(diǎn),小明和小紅兩人從C同時(shí)出發(fā),以相同的速度分別沿兩條直線行走,并同時(shí)到達(dá)D,E兩地,并且DA⊥AB于A,EB⊥AB于B.此時(shí)小明到路段AB的距離是50米,則小紅到路段AB的距離是多少米?解:∵DA⊥AB于A,EB⊥AB于B,∴△ADC和△BEC為直角三角形.∵點(diǎn)C是路段AB的中點(diǎn),∴AC=BC.∵小明和小紅同時(shí)出發(fā),以相同的速度分別沿兩條直線行走,并同時(shí)到達(dá)D,E兩地,∴CD=CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL).∴BE=AD=50米.答:小紅到路段AB的距離是50米.02中檔題10.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,則下列圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是(A)11.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于點(diǎn)D,CE⊥AB于點(diǎn)E,BD和CE交于點(diǎn)O,AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,則圖中全等的直角三角形有(D)A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)12.如圖所示,過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作直線a,過點(diǎn)A,C作a的垂線,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn).若AE=1,CF=3,則AB的長(zhǎng)度為eq\r(10).13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,線段PQ=AB,P,Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AO上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AP=5或10時(shí),△ABC和△PQA全等.14.如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度數(shù).解:(1)證明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE=CF,,AB=CB,))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°.∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.03綜合題15.如圖1,E,F(xiàn)分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,BF=DE,BD交AC于點(diǎn)M.(1)求證:AE=CF,MB=MD;(2)當(dāng)E,F(xiàn)兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖2的位置時(shí),其余條件不變,上述結(jié)論能否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.解:(1)證明:在Rt△ABF和Rt△CDE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=CD,,BF=DE,))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴AF=CE.∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEM=∠BFM=90°.在△DEM和△BFM中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM=∠BFM,,∠DME=∠BMF,,DE=BF,))∴△DEM≌△BFM(AAS).∴MD=MB.(2)AE=CF,MB=MD仍然成立.證明:在Rt△ABF和Rt△CDE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=CD,,BF=DE,))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴AF=CE.∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.在△DEM和△BFM中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM=∠BFM,,∠DME=∠BMF,,DE=BF,))∴△DEM≌△BFM(AAS).∴MD=MB.周周練(1.1~1.2)(時(shí)間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(每小題4分,共32分)1.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=65°,則∠A的度數(shù)是(C)A.70°B.55°C.50°D.40°2.若△ABC是直角三角形,且∠C=90°,則必有(D)A.∠A=2∠B=3∠CB.∠A=∠B=∠CC.∠A=∠B+∠CD.∠A+∠B=∠C3.下列命題的逆命題不正確的是(D)A.若a2=b2,則a=bB.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等D.對(duì)頂角相等4.如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC中點(diǎn),下列結(jié)論中不正確的是(D)A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BD5.(2017·平頂山市寶豐縣期中)若等邊三角形的一條高為eq\r(3),其邊長(zhǎng)為(A)A.2B.1C.3D.46.(2017·陜西西北大學(xué)附屬學(xué)校期中)如圖,△ABC中,AC=3,∠C=90°,∠B=30°,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則AP的長(zhǎng)不可能是(D)A.3.5B.4.2C.5.8D.77.(2017·西安期中)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有(D)A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)8.如圖,在Rt△ABE中,∠B=90°,延長(zhǎng)BE到C,使EC=AB,分別過點(diǎn)C,E作BC,AE的垂線,兩線相交于點(diǎn)D,連接AD.若AB=3,DC=4,則AD的長(zhǎng)是(C)A.5B.7C.5eq\r(2)D.無法確定二、填空題(每小題4分,共24分)9.如圖,在△ABC和△DFE中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜邊、直角邊(HL)”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE,則還需補(bǔ)充條件答案不唯一,如:BC=FE.10.在證明命題“一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不大于60°”成立時(shí),我們利用反證法,先假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于60°,則可推出三個(gè)內(nèi)角之和大于180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.11.如圖,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,則CE=3.12.如圖,在高3米,坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯,則地毯長(zhǎng)度至少需7米.13.如圖,△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,連接BD,則BD的長(zhǎng)為4eq\r(3).14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(8,0),若點(diǎn)P在y軸上,且△PAB是等腰三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)或(0,-4).三、解答題(共44分)15.(8分)(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)求證:△ABC≌△DCB;(2)△OBC是何種三角形?證明你的結(jié)論.解:(1)證明:∵在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,∴△ABC和△DCB都為直角三角形.在Rt△ABC和Rt△DCB中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC=DB,,BC=CB,))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).(2)△OBC是等腰三角形.證明:∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC.∴OB=OC.∴△OBC是等腰三角形.16.(10分)(2017·蘇州)如圖,∠A=∠B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O.(1)求證:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù).解:(1)證明:∵AE和BD相交于點(diǎn)O,∴∠AOD=∠BOE.∵∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO.∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED,即∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A=∠B,,AE=BE,,∠AEC=∠BED,))∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°.∴∠BDE=∠C=69°.17.(12分)如圖,已知A,B,C,D四個(gè)城鎮(zhèn)(除B,C外)都有筆直的公路相接,公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間,公共汽車票價(jià)與路程成正比,已知各城鎮(zhèn)間公共汽車票價(jià)如下:為了B,C間的交通方便,打算在B,C之間建一條筆直公路,請(qǐng)按上述標(biāo)準(zhǔn)預(yù)算出B,C之間的公共汽車票價(jià).解:AD為16,AB為20,BD為12,∵122+162=202,∴∠ADB=90°.∵AC=25,AD=16,CD=9,即AC=AD+DC,∴A,D,C三個(gè)點(diǎn)在一條直線上,可知∠BDC=90°.又∵BD=12,DC=9,∴BC=eq\r(122+92)=15.故B,C之間的公共汽車票價(jià)為15元.18.(14分)如圖,在等邊△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)求證:△ODE是等邊三角形;(2)線段BD,DE,EC三者有什么數(shù)量關(guān)系?寫出你的判斷過程;(3)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要能解決問題,還要善于提出問題.結(jié)合本題,在現(xiàn)有的圖形上,請(qǐng)?zhí)岢鰞蓚€(gè)與“直角三角形”有關(guān)的問題.(只要提出問題,不需要解答)解:(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.∴△ODE是等邊三角形.(2)BD=DE=EC.理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°.∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°.∴∠OBD=∠BOD.∴DB=DO.同理,EC=EO.由(1)知,△ODE是等邊三角形,∴DE=OD=OE.∴BD=DE=EC.(3)答案不唯一,如:①連接AO,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,求證:△ABF是直角三角形;②若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,求BC邊上的高.
1.3線段的垂直平分線第1課時(shí)線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1線段的垂直平分線的性質(zhì)1.如圖,直線CD是線段AB的垂直平分線,P為直線CD上的一點(diǎn),已知線段PA=3cm,則線段PB的長(zhǎng)為(D)A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm2.如圖,AB是CD的垂直平分線,若AC=2.3cm,BD=1.6cm,則四邊形ACBD的周長(zhǎng)是(B)A.3.9cmB.7.8cmC.4cmD.4.6cm3.如圖,在四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結(jié)論不一定成立的是(C)A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC4.(2017·西安期中)如圖所示,線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D,∠A=50°,則∠BDC=(B)A.50°B.100°C.120°D.130°5.如圖,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3,則CE的長(zhǎng)為6.6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E,垂足為D.求證:∠CAB=∠AED.證明:∵DE是AB的垂直平分線,∴EA=EB.∴∠EAB=∠B.∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠AED+∠EAB=90°,∴∠CAB=∠AED.知識(shí)點(diǎn)2線段的垂直平分線的判定7.如圖,AC=AD,BC=BD,則有(A)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB與CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB8.如圖,D是△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且BD=BC+AC,則點(diǎn)C在線段AD的垂直平分線上.9.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D.求證:點(diǎn)D在AB的垂直平分線上.證明:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=90°-30°=60°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=eq\f(1,2)∠ABC=30°.∴∠A=∠ABD.∴DA=DB.∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上.02中檔題10.平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四個(gè)點(diǎn)中,在線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)是(B)A.(0,2)B.(-3,1)C.(1,2)D.(1,0)11.下列說法:①若直線PE是線段AB的垂直平分線,則EA=EB;②若PA=PB,EA=EB,則直線PE是線段AB的垂直平分線;③若EA=EB,則直線EP是線段AB的垂直平分線;④若PA=PB,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.其中正確的有(C)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)12.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,分別以A,C為圓心,大于eq\f(1,2)AC長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,連接MN,與AC,BC分別交于點(diǎn)D,E,連接AE,則:(1)∠ADE=90°;(2)AE=EC;(填“=”“>”或“<”)(3)當(dāng)AB=3,AC=5時(shí),△ABE的周長(zhǎng)=7.13.如圖,AD⊥BC于點(diǎn)D,D為BC的中點(diǎn),連接AB,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O,連接OC.若∠AOC=125°,則∠ABC=70°.14.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,將AB邊沿AD折疊,發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E正好在AC的垂直平分線上,則∠C=30°.15.(2017·朝陽市建平縣期中)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為eq\f(7,6).16.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),E是BD垂直平分線與AB的交點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)E在AF的垂直平分線上.證明:∵E是BD的垂直平分線上的一點(diǎn),∴EB=ED.∴∠B=∠D.又∵∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D.∵∠B=∠D,∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠AFE=∠A.∴EF=EA.∴點(diǎn)E在AF的垂直平分線上.03綜合題17.(1)如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N,交直線BC于點(diǎn)M,∠A=40°,求∠NMB的大??;(2)如果將(1)中的∠A的度數(shù)改為70°,其余條件不變,再求∠NMB的大??;(3)你發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律?試證明;(4)將(1)中的∠A改為鈍角,對(duì)這個(gè)問題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)是否需要修改.解:(1)∵∠B=eq\f(1,2)(180°-∠A)=70°,∴∠NMB=90°-∠B=20°.(2)同理得∠NMB=35°.(3)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是∠NMB=eq\f(1,2)∠A.證明:設(shè)∠A=α,則有∠B=eq\f(1,2)(180°-α).∴∠NMB=90°-∠B=90°-eq\f(1,2)(180°-α)=eq\f(1,2)α=eq\f(1,2)∠A.(4)∠A改為鈍角后,∠NMB=eq\f(1,2)∠A這個(gè)規(guī)律仍成立.上述規(guī)律為:等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長(zhǎng)線相交,所成的銳角等于頂角的一半.第2課時(shí)三角形三邊的垂直平分線01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)1.三角形紙片ABC上有一點(diǎn)P,量得PA=3cm,PB=3cm,則點(diǎn)P一定(D)A.是邊AB的中點(diǎn)B.在邊AB的中線上C.在邊AB的高上D.在邊AB的垂直平分線上2.(2017·鄭州期末)在三角形的內(nèi)部,有一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形(C)A.三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)3.如圖,∠BAC=110°,若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則∠PAQ的度數(shù)是(B)A.20°B.40°C.50°D.60°4.△ABC中,AB,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,那么P點(diǎn)必定在BC的垂直平分線上,且PA=PB=PC.5.如圖,O為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn),點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離為5cm,則AO+BO+CO=15_cm.6.如圖,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D,E,BC=6cm,請(qǐng)計(jì)算出∠DAE的度數(shù)和△ADE的周長(zhǎng).解:∵AB和AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,E,∴BD=AD,CE=AE.∴∠DAB=∠B=32°,∠EAC=∠C=48°.∴∠ADE=∠B+∠DAB=64°,∠AED=∠C+∠EAC=96°.∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°,△ADE的周長(zhǎng)為AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=6cm.知識(shí)點(diǎn)2作圖7.在同一平面內(nèi),過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線,能作(A)A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條8.下列作圖語句正確的是(D)A.過點(diǎn)P作線段AB的中垂線B.在線段AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C,使AB=ACC.過直線a和直線b外一點(diǎn)P作直線MN,使MN∥a∥bD.過點(diǎn)P作直線AB的垂線9.如圖,已知線段a,h,作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,BC邊上的高AD=h.張紅的作法是:①作線段BC=a;②作線段BC的垂直平分線MN,MN與BC相交于點(diǎn)D;③在直線MN上截取線段h;④連接AB,AC,則△ABC為所求的等腰三角形.上述作法的四個(gè)步驟中,你認(rèn)為有錯(cuò)誤的一步是(C)A.①B.②C.③D.④10.為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革,準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P,使P到該鎮(zhèn)A村,B村,C村所屬的村委會(huì)所在地的距離都相等(A,B,C不在同一直線上,地理位置如圖),請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置.要求:寫出已知、求作;不寫作法,保留作圖痕跡.解:已知:A,B,C三點(diǎn)不在同一直線上.求作:作一點(diǎn)P,使PA=PB=PC.如圖所示,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn).02中檔題11.在平面內(nèi),到三點(diǎn)A,B,C距離相等的點(diǎn)(D)A.只有一個(gè)B.有兩個(gè)C.有三個(gè)或三個(gè)以上D.有一個(gè)或沒有12.等腰三角形的底角為40°,兩腰的垂直平分線交于點(diǎn)P,則(B)A.點(diǎn)P在三角形內(nèi)B.點(diǎn)P在三角形外C.點(diǎn)P在三角形底邊上D.點(diǎn)P的位置與三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)13.(2017·西安期中)如圖,已知點(diǎn)O為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn),∠BAC=80°,則∠BOC=160°.14.如圖所示,在△ABC中,∠BAC=76°,EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線,點(diǎn)E,M在BC上,則∠EAM=28°.15.如圖,由于水資源缺乏,B,C兩地不得不從黃河上的揚(yáng)水站A引水,這就需要A,B,C之間鋪設(shè)地下輸水管道,有人設(shè)計(jì)了三種鋪設(shè)方案:如圖①②③,圖中實(shí)線表示管道鋪設(shè)線路,在圖②中,AD垂直BC于點(diǎn)D;在圖③中,OA=OB=OC.為減少滲漏,節(jié)約水資源,并降低工程造價(jià),鋪設(shè)線路應(yīng)盡量縮短,已知△ABC恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形,那么通過計(jì)算,你認(rèn)為最好的鋪設(shè)方案是方案③.16.如圖所示,已知線段a,b,求作等腰三角形,使高為a,腰長(zhǎng)為b(a<b,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡).解:作法:(1)作線段AD=a;(2)過點(diǎn)D作直線MN⊥AD于點(diǎn)D;(3)以點(diǎn)A為圓心,b為半徑畫弧,交MN于B,C兩點(diǎn),連接AB,AC,△ABC即為所求,如圖所示.17.如圖,在△ABC中,DM,EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M,N兩點(diǎn),DM與EN相交于點(diǎn)F.(1)若△CMN的周長(zhǎng)為15cm,求AB的長(zhǎng);(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度數(shù).解:(1)∵DM,EN分別垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN.∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB.∵△CMN的周長(zhǎng)為15cm,∴AB=15cm.(2)∵∠MFN=70°,∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°.∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°.∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°.∵AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN.∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.03綜合題18.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,使△AMN周長(zhǎng)最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為(B)A.130°B.120°C.110°D.100°提示:作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,則A′A″的長(zhǎng)度即為△AMN周長(zhǎng)的最小值.1.4角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)1.(2017·臺(tái)州)如圖,點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn),PD⊥OB,垂足為D.若PD=2,則點(diǎn)P到邊OA的距離是(A)A.2B.3C.eq\r(3)D.42.下列各圖中,OP是∠MON的平分線,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別在射線OM,ON,OP上,則可以解釋定理“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的圖形是(D)3.(2016·懷化)如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B)A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD4.如圖,∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.若OD=8,OP=10,則PE的長(zhǎng)為(B)A.5B.6C.7D.85.如圖,OP平分∠MON,PA⊥ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若PA=2,則PQ的最小值為(B)A.1B.2C.3D.46.(2017·西安期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AD=5,AC=4,則D點(diǎn)到AB的距離是3.7.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于點(diǎn)E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的長(zhǎng);(2)求△ADB的面積.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴DE=CD.又∵CD=3,∴DE=3.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=eq\r(AC2+BC2)=eq\r(62+82)=10.∴S△ADB=eq\f(1,2)AB·DE=eq\f(1,2)×10×3=15.(或S△ADB=eq\f(1,2)BD·AC=eq\f(1,2)×(8-3)×6=15.)知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定8.如圖,DA⊥AC,DE⊥BC,若AD=5cm,DE=5cm,∠ACD=30°,則∠DCE為(A)A.30°B.40°C.50°D.60°9.如圖,P是∠BAC內(nèi)的一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),AE=AF.求證:(1)PE=PF;(2)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.證明:(1)連接AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠AEP=∠AFP=90°.又∵AE=AF,AP=AP,∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL).∴PE=PF.(2)∵PE=PF,且PE⊥AB,PF⊥AC,∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.02中檔題10.在正方形網(wǎng)格中,∠AOB的位置如圖所示,到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是(A)A.M點(diǎn)B.N點(diǎn)C.P點(diǎn)D.Q點(diǎn)11.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于點(diǎn)D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于(C)A.eq\r(3)cmB.2cmC.3cmD.4cm12.(2017·朝陽市建平縣期末)如圖,△ABC中,AB=AC,AD是角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F(xiàn)為垂足,對(duì)于結(jié)論:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任一點(diǎn)到AB,AC的距離相等;④AD上任一點(diǎn)到B,C的距離相等.其中正確的是(D)A.僅①②B.僅③④C.僅①②③D.①②③④13.(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖,P是∠AOB的平分線上一點(diǎn),PD⊥OB,垂足為D,PC∥OB交OA于點(diǎn)C.若∠AOB=30°,PD=2cm,則PC=4cm.14.如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M為BC邊上的一點(diǎn),且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.(1)求證:AM⊥DM;(2)若BC=8,求點(diǎn)M到AD的距離.解:(1)證明:∵AM平分∠BAD,OM平分∠ADC,∴∠MAD=eq\f(1,2)∠BAD,∠ADM=eq\f(1,2)∠ADC.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∴∠MAD+∠ADM=eq\f(1,2)(∠BAD+∠ADC)=90°.又∵∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°,∴∠AMD=90°.∴AM⊥DM.(2)過M作MN⊥AD于點(diǎn)N.∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=90°.即BM⊥AB,MC⊥DC.又∵AM,DM分別平分∠BAD,∠ADC,∴BM=MN,MN=MC.∴MN=eq\f(1,2)BC=4.∴M到AD的距離為4.15.已知:如圖,銳角△ABC的兩條高BD,CE相交于點(diǎn)O,且OB=OC.(1)求證:△ABC是等腰三角形;(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上,并說明理由.解:(1)證明:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.又∵∠EOB=∠DOC,∴∠ABD=∠ACE.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.(2)點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.理由:∵∠BOE=∠COD,∠BOE+∠EBO=90°,∠COD+∠DCO=90°,∴∠EBO=∠DCO.又∵∠BEO=∠CDO=90°,OB=OC,∴△BOE≌△COD(AAS).∴OE=OD.又∵OD⊥AC,OE⊥AB,∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.03綜合題16.(2017·西安交大二附中期中)如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分線,AC=eq\r(6),若點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn),且作PN⊥AC于點(diǎn)N,則PN+PC的最小值是eq\f(3\r(2),2).第2課時(shí)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線的性質(zhì)1.(2017·西安交大二附中期中)與三角形三邊距離相等的點(diǎn),是這個(gè)三角形的(B)A.三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2.如圖,△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)分別是20,30,40,其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶53.(2017·鄭州月考)如圖所示是一塊三角形的草坪,現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪三條邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在(C)A.△ABC三條中線的交點(diǎn)B.△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)C.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)D.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)4.如圖,點(diǎn)O在△ABC內(nèi),且到三邊的距離相等.若∠BOC=120°,則∠A為60°.02中檔題5.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,且相交于點(diǎn)F,則下列說法錯(cuò)誤的是(D)A.BF=CFB.點(diǎn)F到∠BAC兩邊的距離相等C.CE=BDD.點(diǎn)F到點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的距離相等6.(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖,直線l,l′,l″表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)加油站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有(D)A.一處B.二處C.三處D.四處7.如圖,在△ABC中,PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,求證:∠BPC=90°+eq\f(1,2)∠BAC.證明:∵PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,∴點(diǎn)P是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn).∴CP平分∠ACB,BP平分∠ABC.∴∠PCB=eq\f(1,2)∠ACB,∠PBC=eq\f(1,2)∠ABC.∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°-eq\f(1,2)∠ACB-eq\f(1,2)∠ABC=180°-eq\f(1,2)(∠ACB+∠ABC)=180°-eq\f(1,2)(180°-∠BAC)=90°+eq\f(1,2)∠BAC.03綜合題8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一條角平分線,點(diǎn)O,E,F(xiàn)分別在BD,BC,AC上,且四邊形OECF是正方形.(1)求證:點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的長(zhǎng).解:(1)證明:過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M.∵四邊形OECF為正方形,∴OE=EC=CF=OF,OE⊥BC于點(diǎn)E,OF⊥AC于點(diǎn)F.∵BD是∠ABC的平分線,∴OE=OM.∴OM=OF.∴AO平分∠BAC,即點(diǎn)O在∠BAC
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