3.1.3函數(shù)的奇偶性（第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用）課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.3函數(shù)的奇偶性第2課時(shí)

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)因?yàn)楹瘮?shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖象具有的對(duì)稱性，所以利用函數(shù)的奇偶性能簡(jiǎn)化函數(shù)性質(zhì)的研究。如果知道一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么其定義域能分成關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分，得出函數(shù)在其中一部分上的性質(zhì)和圖象，就可得出這個(gè)函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖象。嘗試與發(fā)現(xiàn)已知函數(shù)f(x)滿足f(5)=-3，分別在條件“f(x)是偶函數(shù)”與“f(x)是奇函數(shù)”下求出f(-5)的值。顯然，如果f(x)是偶函數(shù)，則f(-5)=f(5)=-3；如果f(x)是奇函數(shù)，則f(-5)=-f(5)=3.典例精析已知函數(shù)f(x)滿足f(5)＜f(3)，分別在下列各條件下比較f(-5)與f(-3)的大小:(1)f(x)是函數(shù)；(2)f(x)是函數(shù)解：(1)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=

f(x)，因此f(-5)=f(5)，f(-3)=

f(3)，從而由條件可知f(-5)<f(-3).(2)因?yàn)閒(x)

是函數(shù)，所以f(-x)=

-f(x)，因此f(-5)=

-f(5)，f(-3)=

-f(3)，又由條件可知-f(5)＞-f(3)，從而f(-5)>f(-3).說(shuō)明，當(dāng)f(x)具有奇偶性時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性會(huì)有一定規(guī)律。嘗試與發(fā)現(xiàn)已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，y=g(x)是奇函數(shù)，且它們的部分圖象如圖所示，補(bǔ)全函數(shù)圖象，并總結(jié)出當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律.不難看出，如果y=f(x)是偶函數(shù)，那么其在x>0與x＜0時(shí)的單調(diào)性相反；如果y=f(x)是奇函數(shù)，那么其在x>0與x＜0時(shí)的單調(diào)性相同。典例精析

下面研究函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上的性質(zhì)及圖象.因?yàn)閤1，x2∈(0，+∞)時(shí)，有

再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可以得出函數(shù)的圖象，如圖所示，而且函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，函數(shù)是偶函數(shù)，在(-∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是(0，+∞)。利用研究奇偶函數(shù)的類似方法還可以研究更一般的函數(shù)圖象的對(duì)稱性。嘗試與發(fā)現(xiàn)初中時(shí)，我們就在觀察圖象的基礎(chǔ)上總結(jié)出過(guò)這個(gè)結(jié)論，但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明。為了證明函數(shù)的圖象關(guān)于x=0(即y

軸)對(duì)稱，只需證明x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，那么該怎樣證明函數(shù)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱呢?如圖所示，已知數(shù)軸上的A，B

兩點(diǎn)關(guān)于-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)稱，而且點(diǎn)A的坐標(biāo)是-2+h，則點(diǎn)B

的坐標(biāo)是______________-2-h證明：任取h∈R，因?yàn)閒(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)+6=h2+2，

f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)+6=h2+2,所以f(-2+h)=f(-2-h)，這就說(shuō)明函數(shù)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱。求證：二次函數(shù)f(x)=

x2+4x+6的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱.典例精析由上題可知，要證明函數(shù)圖象關(guān)于垂直于x軸的直線對(duì)稱并不難，但怎樣才能找到對(duì)應(yīng)的對(duì)稱軸呢？以上題所示的二次函數(shù)為例，注意到f(x)=x2+4x+6=(x+2)2+2,由此就容易得到f(-2+h)=f(-2-h)，從而可知f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=-2.定義(2)_______法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱．(3)_______法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．(注：利用上述結(jié)論要注意各函數(shù)的定義域)2．F1(x)＝f(x)＋f(－x)為偶函數(shù)，F(xiàn)2(x)＝f(x)－f(－x)為奇函數(shù)．(注：F1(x)、F2(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間)3．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相_____；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相_____.圖像性質(zhì)同反基礎(chǔ)自測(cè)A

2．若函數(shù)f(x)＝x3，則函數(shù)g(x)＝f(－2x)在其定義域上是(

)A．單調(diào)遞增的偶函數(shù) B．單調(diào)遞增的奇函數(shù)C．單調(diào)遞減的偶函數(shù) D．單調(diào)遞減的奇函數(shù)解析：∵f(x)＝x3，∴g(x)＝f(－2x)＝－8x3.又g(－x)＝8x3＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)．又∵f(x)＝x3為增函數(shù)，∴g(x)＝－8x3為減函數(shù)．D

3．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)＝1，則f(－2)＝(

)A．0

B．1

C．－1

D．±1解析：設(shè)x<0，則－x>0，f(－x)＝1.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝1，f(x)＝－1(x<0)．∴f(－2)＝－1.C

4．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖像如圖，則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為_(kāi)_____________________.解析：由圖像可知當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?！鄁(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，在(－∞，－1]上單調(diào)遞減。故f(x)的增區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)。[－1,0]和[1，＋∞)

5．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值。解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.典例剖析利用奇偶性求函數(shù)值(1)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx－6，且f(－2)＝8，則f(2)＝_______.(2)已知f(x)，g(x)均為R上的奇函數(shù)，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在區(qū)間(0，＋∞)上的最大值為8，則在區(qū)間(－∞，0)上的最小值為_(kāi)_____.－20

－4

思路探究：(1)可構(gòu)造g(x)＝ax3＋bx，利用g(x)的奇偶性求解。(2)因?yàn)閒(x)和g(x)的具體表達(dá)式并沒(méi)有給出，因此應(yīng)充分利用“f(x)，g(x)均為R上的奇函數(shù)”這一條件，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)來(lái)間接求解．解析：(1)方法一令g(x)＝ax3＋bx，易知g(x)是奇函數(shù)，從而g(－2)＝－g(2)．由f(x)＝g(x)－6，得f(－2)＝g(－2)－6＝8，∴g(－2)＝14，∴g(2)＝－g(－2)＝－14，∴f(2)＝g(2)－6＝－14－6＝－20.(2)由f(x)，g(x)均為R上的奇函數(shù)，知af(x)＋bg(x)為R上的奇函數(shù)．由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值為8，得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值為6.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值為－6，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值為－6＋2＝－4.歸納提升：利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值的解題思路已知f(a)求f(－a)的思路：判斷f(x)的奇偶性或構(gòu)造已知奇偶性的函數(shù)，利用奇偶性找出f(a)與f(－a)的關(guān)系，若還有其他條件，可再利用其轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出f(－a)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)＝____.解析：由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，兩式相加，解得g(1)＝3.3

典例精析含有參數(shù)的函數(shù)的奇偶性的判斷設(shè)a為實(shí)數(shù)，討論函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．思路探究：以a是否為0進(jìn)行分類討論．解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2＋|x|＋1，∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)，∴當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝2＋|1－a|，f(－1)＝2＋|1＋a|，假設(shè)f(1)＝f(－1)，則|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2，∴a＝0，這與a≠0矛盾，假設(shè)f(－1)＝－f(1)，則2＋|1＋a|＝－2－|1－a|這顯然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，∴當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)。歸納提升：判斷含參數(shù)的函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若函數(shù)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，可用特值法進(jìn)行判斷。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，∴f(－1)≠f(1)，∴f(x)不是偶函數(shù)．f(－1)＋f(1)＝2≠0，∴f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數(shù)．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．典例剖析函數(shù)奇偶性與圖像的對(duì)稱性的綜合應(yīng)用(1)定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且f(x＋2)為偶函數(shù)，則(

)A．f(－1)＜f(3)

B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3)

D．f(0)＝f(3)A

0

歸納提升：(1)解決函數(shù)奇偶性與圖像的對(duì)稱性的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意把已知函數(shù)的奇偶性按定義轉(zhuǎn)化，再判斷函數(shù)圖像的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，也可利用圖像變化關(guān)系得出函數(shù)圖像的對(duì)稱性?？傊?，要充分利用已知條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化。(2)關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)f(x)若對(duì)于任意x∈R，a是常數(shù)，①關(guān)于直線x＝a對(duì)稱：?f(a＋x)＝f(a－x)(f(2a－x)＝f(x))，②關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱：?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(f(2a－x)＋f(x)＝2b)，特別地：關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，則f(a＋h)＝－f(a－h(huán))．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練典例剖析忽略題目中的隱含條件致錯(cuò)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b是定義在區(qū)間[－2b,3b－1]上的偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)________.錯(cuò)因探究：此處易忽略函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱這一隱含條件。[1,5]

解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.又f(x)的定義域?yàn)閇－2