帶電粒子在有界磁場中運動講義

帶電粒子在磁場中的運動問題分析一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法1．圓心確實定因為洛倫茲力F指向圓心，根據(jù)F⊥v，畫出粒子運動軌跡中任意兩點〔一般是射入和射出磁場兩點〕，先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。2．半徑確實定和計算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑〔或圓心角〕，并注意以下兩個重要的幾何特點：eq\o\ac(○,1)粒子速度的偏向角φ等于轉(zhuǎn)過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角〔弦切角〕θ的2倍，如圖2所示，即φ=α=2θ。②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補，即θ+θ′=180°。3．粒子在磁場中運動時間確實定假設(shè)要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間，那么必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°，計算出圓心角α的大小，并由表達(dá)式t=α4．帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析①穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線〔半徑、速度及延長線〕。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ=L/R求出；〔θ、L和R見圖標(biāo)〕b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2+c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由t=mθ②穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線〔半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線〕。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由tanθ2=rb、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由t=mθqB二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析1．給定直線邊界磁場中的運動【例1】

一個負(fù)離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率V垂直于屏S經(jīng)過小孔O射入存在著勻強磁場的真空室中(如圖1).磁感應(yīng)強度B的方向與離子的運動方向垂直,并垂直于圖1中紙面向里.(1)求離子進(jìn)入磁場后到達(dá)屏S上時的位置與O點的距離.OBSVθP圖1(2)如果離子進(jìn)入磁場后經(jīng)過時間t到達(dá)位置P,證明:直線OPOBSVθP圖1圖２２練習(xí)１：如圖２所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。假設(shè)粒子射出磁場時的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。圖２２2．帶電粒子在雙直線邊界磁場中的運動【例2】如圖３所示，矩形勻強磁場區(qū)域的長為L，寬為L/2。磁感應(yīng)強度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v的取值范圍？練習(xí)２長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖４所示，磁感強度為B，板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的方法是：A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4圖５【例3】.如圖〔５〕所示，一正離子,電量為q,以速度v垂直射入磁感應(yīng)強度為B、寬度為d的勻強磁場中，穿越磁場時速度方向與其原來入射方向的夾角是30°，求〔１〕該離子的質(zhì)量是多少？穿越磁場的時間又是多少？〔２〕假設(shè)要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V最小值是多大？圖５3.帶電粒子在給定的圓形磁場中運動【例4】.在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,如圖６所示.一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場,它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出.〔1〕請判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.〔2〕假設(shè)磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強度B′多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？圖６圖６【例5】如圖７所示，一個質(zhì)量為m、電量為q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞屢次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力。OOAv0B圖７O【例6】如圖８，圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個磁感強度為B、方向為垂直于紙面向里的勻強磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿OO＇方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上之P點，如下圖，求O＇P的長度和電子通過磁場所用的時間。OMMNO,LAO圖８P４、帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運動圖９【例7】、核聚變反響需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內(nèi)〔否那么不可能發(fā)生核反響〕，通常采用磁約束的方法〔托卡馬克裝置〕。如圖９所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強度B=1.0T，假設(shè)被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×C/圖９試計算〔1〕粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度?！?〕所有粒子不能穿越磁場的最大速度。5、帶電粒子在有“圓孔〞的磁場中運動abcdSo圖10【例8】如圖10所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點SabcdSo圖106、帶電粒子在相反方向的兩個有界磁場中的運動BBELdO圖11【例9】如圖11所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場。左側(cè)勻強電場的場強大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里。一個質(zhì)量為mBBELdO圖11求：〔1〕中間磁場區(qū)域的寬度d?！?〕帶電粒子從O點開始運動到第一次回到O點所用時間t.OOO3O1O2圖11.1600帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題一、確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法1、對稱法帶電粒子如果從一直線邊界進(jìn)入又從該邊界射出，那么其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱，入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等，利用這一結(jié)論可以輕松畫出粒子的軌跡?！纠?】如圖1所示，在y小于0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B，一帶正電的粒子以速度從O點射入磁場，入射速度方向為xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為，假設(shè)粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子電量與質(zhì)量之比。2、動態(tài)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射粒子時，粒子的運動軌跡是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓，用這一規(guī)律可確定粒子的運動軌跡?！纠?】如下圖，S為電子源，它在紙面360度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為，質(zhì)量為m，電量為q的電子〔q<0〕，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為mvo練習(xí)1如圖14所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。以下圖中陰影局部表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mvAA．

B．C．Ｄ．3、放縮法帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，探索出臨界點的軌跡，使問題得解?！纠?】如圖5所示，勻強磁場中磁感應(yīng)強度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強磁場射入，入射方向與邊界的夾角為，電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。4、臨界法圖１【例4】如圖１所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小B=0．60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3×106m/s，α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5．0×107C/kg圖１【例5】如右圖所示，在邊界為AA‘、DD'狹長區(qū)域內(nèi)，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域?qū)挒閐,電子槍S發(fā)射質(zhì)量為m,電量為e的電子。當(dāng)電子槍水平發(fā)射時，在DD'右側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子。當(dāng)電子槍在豎直平面內(nèi)運動到某一位置時，剛好在左側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子。試畫出電子在磁場中運動的軌跡并計算該電子在邊界AA'的射入點和射出點間的距離。〔電子入射速率均為v0〕【例6】在xOy平面內(nèi)有許多電子〔質(zhì)量為m、電量為e〕，從坐標(biāo)O不斷以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如圖8所示?，F(xiàn)加一個垂直于xOy平面向內(nèi)、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于x軸向x軸正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。圖8

圖9

圖10

圖11【例題7】如圖半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；α粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，那么α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運動的最長時間t各多少？帶電粒子在復(fù)合場中運動的應(yīng)用一、速度選擇器原理速度選擇器是近代物理學(xué)研究中常用的一種實驗工具，其功能是為了選擇某種速度的帶電粒子1．結(jié)構(gòu)：如下圖〔1〕平行金屬板M、N，將M接電源正極，N板接電源負(fù)極，M、N間形成勻強電場，設(shè)場強為E；〔2〕在兩板之間的空間加上垂直紙面向里的勻強磁場，設(shè)磁感應(yīng)強度為B；〔3〕在極板兩端加垂直極板的檔板，檔板中心開孔S1、S2，孔S1、S2水平正對。2．原理工作原理：設(shè)一束質(zhì)量、電性、帶電量、速度均不同的粒子束〔重力不計〕，從S1孔垂直磁場和電場方向進(jìn)入兩板間，當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場和磁場共存空間時，同時受到電場力和洛倫茲力作用假設(shè)即：當(dāng)粒子的速度時，粒子勻速運動，不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，可以從S2孔飛出。由此可見，盡管有一束速度不同的粒子從S1孔進(jìn)入，但能從S2孔飛出的粒子只有一種速度，而與粒子的質(zhì)量、電性、電量無關(guān)3．幾個問題〔1〕粒子受力特點——電場力F與洛侖茲力f方向相反〔2〕粒子勻速通過速度選擇器的條件——帶電粒子從小孔S1水平射入，勻速通過疊加場，并從小孔S2水平射出，電場力與洛侖茲力平衡，即;即;〔3〕使粒子勻速通過選擇器的兩種途徑:當(dāng)一定時——調(diào)節(jié)E和B的大小;當(dāng)E和B一定時——調(diào)節(jié)加速電壓U的大小;根據(jù)勻速運動的條件和功能關(guān)系，有，所以，加速電壓應(yīng)為?！?〕如何保證F和f的方向始終相反——將、E、B三者中任意兩個量的方向同時改變，但不能同時改變?nèi)齻€或者其中任意一個的方向，否那么將破壞速度選擇器的功能?！?〕如果粒子從S2孔進(jìn)入時，粒子受電場力和洛倫茲力的方向相同，所以無論粒子多大的速度，所有粒子都將發(fā)生偏轉(zhuǎn)〔6〕兩個重要的功能關(guān)系——當(dāng)粒子進(jìn)入速度選擇器時速度，粒子將因側(cè)移而不能通過選擇器。如圖，設(shè)在電場方向側(cè)移后粒子速度為v，當(dāng)時:粒子向f方向側(cè)移，F(xiàn)做負(fù)功——粒子動能減少，電勢能增加，有當(dāng)時:粒子向F方向側(cè)移，F(xiàn)做正功——粒子動能增加，電勢能減少，有;二．質(zhì)譜儀質(zhì)譜儀主要用于分析同位素，測定其質(zhì)量，荷質(zhì)比和含量比，如下圖為一種常用的質(zhì)譜儀1．質(zhì)譜儀的結(jié)構(gòu)原理〔1〕離子發(fā)生器O〔O中發(fā)射出電量q、質(zhì)量m的粒子，粒子從A中小孔S飄出時速度大小不計；〕〔2〕靜電加速器C：靜電加速器兩極板M和N的中心分別開有小孔S1、S2，粒子從S1進(jìn)入后，經(jīng)電壓為U的電場加速后，從S2孔以速度v飛出；〔3〕速度選擇器D：由正交的勻強電場E0和勻強磁場B0構(gòu)成，調(diào)整E0和B0的大小可以選擇度為v0＝E0/B0的粒子通過速度選擇器，從S3孔射出；〔4〕偏轉(zhuǎn)磁場B：粒子從速度選擇器小孔S3射出后，從偏轉(zhuǎn)磁場邊界擋板上的小孔S4進(jìn)入，做半徑為r的勻速圓周運動；〔5〕感光片F(xiàn)：粒子在偏轉(zhuǎn)磁場中做半圓運動后，打在感光膠片的P點被記錄，可以測得PS4間的距離L。裝置中S、S1、S2、S3、S4五個小孔在同一條直線上2．問題討論：設(shè)粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q〔重力不計〕，粒子經(jīng)電場加速由動能定理有：①；粒子在偏轉(zhuǎn)磁場中作圓周運動有：②；聯(lián)立①②解得：另一種表達(dá)形式同位素荷質(zhì)比和質(zhì)量的測定:粒子通過加速電場，通過速度選擇器，根據(jù)勻速運動的條件:。假設(shè)測出粒子在偏轉(zhuǎn)磁場的軌道直徑為L，那么，所以同位素的荷質(zhì)比和質(zhì)量分別為。三．磁流體發(fā)電機磁流體發(fā)電就是利用等離子體來發(fā)電。1．等離子體的產(chǎn)生：在高溫條件下〔例如2000K〕氣體發(fā)生電離，電離后的氣體中含有離子、電子和局部未電離的中性粒子，因為正負(fù)電荷的密度幾乎相等，從整體看呈電中性，這種高度電離的氣體就稱為等離子體，也有人稱它為“物質(zhì)的第四態(tài)〞。2．工作原理:磁流體發(fā)電機結(jié)構(gòu)原理如圖〔1〕所示，其平面圖如圖〔2〕所示。M、N為平行板電極，極板間有垂直于紙面向里的勻強磁場，讓等離子體平行于極板從左向右高速射入極板間，由于洛倫茲力的作用，正離子將向M板偏轉(zhuǎn)，負(fù)離子將向N板偏轉(zhuǎn)，于是在M板上積累正電荷，在N板上積累負(fù)電荷。這樣在兩極板間就產(chǎn)生電勢差，形成了電場，場強方向從M指向N，以后進(jìn)入極板間的帶電粒子除受到洛倫茲力之外，還受到電場力的作用，只要，帶電粒子就繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，極板上就繼續(xù)積累電荷，使極板間的場強增加，直到帶電粒子所受的電場力與洛倫茲力大小相等為止。此后帶電粒子進(jìn)入極板間不再偏轉(zhuǎn)，極板上也就不再積累電荷而形成穩(wěn)定的電勢差3．電動勢的計算:設(shè)兩極板間距為d，根據(jù)兩極電勢差到達(dá)最大值的條件，即，那么磁流體發(fā)電機的電動勢。四．盤旋加速器1932年美國物理學(xué)家勞倫斯創(chuàng)造的盤旋加速器，是磁場和電場對運動電荷的作用規(guī)律在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用典例，也是高中物理教材中的一個難點，其中有幾個問題值得我們進(jìn)一步探討盤旋加速器是用來加速帶電粒子使之獲得高能量的裝置。1．盤旋加速器的結(jié)構(gòu)：盤旋加速器的核心局部是兩個D形金屬扁盒〔如下圖〕，在兩盒之間留有一條窄縫，在窄縫中心附近放有粒子源O。D形盒裝在真空容器中，整個裝置放在巨大的電磁鐵的兩極之間，勻強磁場方向垂直于D形盒的底面。把兩個D形盒分別接到高頻電源的兩極上。2．盤旋加速器的工作原理：如下圖，從粒子源O放射出的帶電粒子，經(jīng)兩D形盒間的電場加速后，垂直磁場方向進(jìn)入某一D形盒內(nèi)，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)半個周期后又回到窄縫。此時窄縫間的電場方向恰好改變，帶電粒子在窄縫中再一次被加速，以更大的速度進(jìn)入另一D形盒做勻速圓周運動……，這樣，帶電粒子不斷被加速，直至它在D形盒內(nèi)沿螺線軌道運動逐漸趨于盒的邊緣，當(dāng)粒子到達(dá)預(yù)期