專題12 不等式與線性規(guī)劃（精講）

第31頁（共33頁）專題12·不等式與線性規(guī)劃命題規(guī)律高考重點(diǎn)考查應(yīng)用基本不等式確定最大值和最小值問題、證明不等式成立、解答恒成立問題，線性規(guī)劃作為不等式的直接應(yīng)用，命題形式以選擇、填空為主，新課標(biāo)對不等式既考查基礎(chǔ)知識、基本技能、方法，還考查運(yùn)算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。題型歸納題型1不等式鏈【解題技巧】1.公式：（）．2.技巧：上式由左至右分別為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、代數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)．另外，不等式鏈可進(jìn)行平方，會得到一個新的不等式鏈也可直接適用，注意此時a,b∈R．【例1】（2022?咸陽二模）若x＞0，y＞0且x+y＝2，則下列結(jié)論中正確的是（）A．x2+y2的最小值是1 B．xy的最大值是14C．2x+1y的最小值是4【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)閤＞0，y＞0且x+y＝2，由（x+y2）2≤x2+y22得x2+y2由基本不等式可得xy≤(x+y2)2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x2x+1y=12（2x+2yx+x+yy）=12（3+2yx+xy）（x+y）2＝x+y+2xy=2+2xy≤2+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)所以x+y≤故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．【例2】（多選）（2023?玉溪模擬）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4則下列結(jié)論一定正確的有（）A．（a+2b）2≥8ab B．1aC．a(chǎn)b有最大值4 D．1a【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，且a+b＝4，A：（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2≥0，A錯誤；當(dāng)a＝b＝2時取等號，B顯然錯誤；因?yàn)閍+b＝4，所以ab≤(a+b2)2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a1a+4b=a+b4a+a+bb=54+b4a+故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式最值求解中的應(yīng)用，還考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．題型2“1”的靈活運(yùn)用【解題技巧】1.技巧：化1法流程為：=1\*GB3①條件化1，與問題相乘，=2\*GB3②將乘積式展開為四項(xiàng)，其中兩個含參，另外兩個為常數(shù)，=3\*GB3③對其適用均值定理推論進(jìn)行求最值。2.注意：要先觀察條件與問題的形式，需滿足條件與問題分別為（或可整理為）兩個含單參數(shù)的單項(xiàng)式相加的形式，且這四個單項(xiàng)式有兩個參數(shù)在分母，另外兩個參數(shù)在分子．【例1】（2022?杭州模擬）已知a＞0，b＞0，且a+1b=2，則4a【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：由a＞0，b＞0，則4a+b=12(所以4a+b的最小值是故答案為：92【點(diǎn)評】本題主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2023?撫松縣校級一模）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，則1【分析】由已知12x?1+4y?3=（12x?1+【解答】解：因?yàn)閤＞12，y＞3，且2x+y＝7，所以2x則12x?1+4y?3=（12x?1+4y?3）（2x﹣1+y﹣3）×13=13（5+y?3此時12x?1故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是乘1法的應(yīng)用，屬于中檔題．題型3積定求和、和定求積【解題技巧】1.公式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．推論：（1）若，則(2)（3）2.利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”3.技巧：觀察積與和哪個是定值，根據(jù)“和定積動，積定和動”來求解，不滿足形式的可以進(jìn)行拼湊補(bǔ)形。與函數(shù)有關(guān)的題型還會用到配系數(shù)法．【例1】（2022秋?咸陽期末）已知x＞0，y＞0，若4x+y＝1，則（4x+1）（y+1）的最大值為（）A．94 B．14 C．3【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：由題意知，x＞0，y＞0，∴4x+1＞0，y+1＞0，則(4x+1)(y+1)≤[當(dāng)且僅當(dāng)4x+1=y+14x+y=1，即x=18∴（4x+1）（y+1）的最大值為94故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了靈活解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2023?湖北模擬）已知m＞0，n＞0，直線y=1ex+m+1與曲線y＝lnx﹣nA．16 B．12 C．8 D．4【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出m，n的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案．【解答】解：對y＝lnx﹣n+2求導(dǎo)得y'=1由y'=1x=1e得x＝e，則1所以1m當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式中“1”的整體代換，屬于中檔題．題型4積和混合【解題技巧】技巧：根據(jù)和與積的關(guān)系等式，結(jié)合均值不等式可以求出積或和的最值，這樣的方法叫做“和積化歸”．1．有“和”、“積”無常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型．2．有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解．3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解．【例1】（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy（x+y）＝4，則2x+y的最小值為（）A．3 B．22 C．23 【分析】（2x+y）2＝y(tǒng)2+4x（x+y）=y【解答】解：正實(shí)數(shù)x，y滿足xy（x+y）＝4，則（2x+y）2＝y(tǒng)2+4x（x+y）=y當(dāng)且僅當(dāng)y＝2時取等號，此時x=3所以2x+y≥23故選：C．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意運(yùn)用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022?浙江模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足：x2+xy+2xy=2【分析】根據(jù)題意，將x2+xy+2xy=2，變形可得（x+y）（x+2y）＝4，則3x+2y+2【解答】解：根據(jù)題意，若x2+xy+2xy=2，則x2+xy+2xy+則3x+2y+2y=2（x+y）+（x+2y）≥22(x+y)(x+2y)=42，當(dāng)且僅當(dāng)x+故答案為：42．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式性質(zhì)以及應(yīng)用，注意x2題型5多次均值【解題技巧】連續(xù)適用均值定理要注意不等號方向的統(tǒng)一，以及取等情況的合理性．【例1】（2022秋?閔行區(qū)校級月考）若不等式a2+b22+3≥x（a+b）對于任意正數(shù)a，【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分離參數(shù)法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：∵不等式a2+b22+3≥x（a+∴x≤a2+b2∵a2當(dāng)且僅當(dāng)a=ba+b4=3a+b，即∴x≤3，故實(shí)數(shù)x的最大值為3故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題．題型6線性型:z=ax+by【解題技巧】形如z=ax+by，將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在軸截距的問題．要注意斜率正負(fù)，截距與Z的正反比例關(guān)系．【例1】（2023?九江二模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件x+2y≥1x?y≤1y?1≤0，則z＝3x﹣4A．﹣7 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)題意，作出可行域，結(jié)合圖像可知，當(dāng)l：y=34x?14【解答】解：由約束條件可得可行域的區(qū)域，如圖所示，因?yàn)閦＝3x﹣4y，可轉(zhuǎn)化為y=34x?結(jié)合圖像可得，當(dāng)直線l過點(diǎn)A時，z取得最大值，且x+2y=1x?y=1，解得x=1y=0，即點(diǎn)所以zmax＝3×1﹣0＝3．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查簡單線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2023?撫州模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x?y?2≤0，x?2y?2≥0，x≥0，則y﹣3A．?83 B．﹣2 C．﹣1【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足2x?y?2≤0，x?2y?2≥0，設(shè)z＝y(tǒng)﹣3x，平移直線y＝3x可得：當(dāng)z＝y(tǒng)﹣3x過點(diǎn)A時，z取最小值，由2x?y?2=0x?2y?2=0?x=23y=?23，即故z的最小值為：?23?故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．題型7非線性型【解題技巧】一、形如：，將問題轉(zhuǎn)化為與兩點(diǎn)間距離的平方的問題。需要注意的是，如果配方后有常數(shù)，則需要多走一步．如．距離型也可以轉(zhuǎn)化為“動圓”型來解釋。二、形如：，將問題轉(zhuǎn)化為與連線斜率的問題．1.分式型，如果是斜率型，要注意分離常數(shù)，還要注意x，y的系數(shù)要提出來．2.齊次分式型，可以同除換元，但是要注意同除時，是否要討論為0的情況．3.復(fù)雜分式型，實(shí)質(zhì)是劃歸后（主要是同除或者分離常數(shù)），可換元轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)型．【例1】（2023?貴州模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y?1≤0x?y+1≥0y≥?1，則A．2 B．338 C．1712 【分析】由不等式組作出可行域，根據(jù)t=y?3x?3的幾何意義求出t的范圍，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求出【解答】解：令t=y?3x?3，則z=t+1則A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（x，y），D（3，3），其中P在可行域內(nèi)，∴t=y?3由圖可知當(dāng)P在點(diǎn)C時，直線PD斜率最小，∴tmin當(dāng)P在B點(diǎn)時，直線PD斜率最大，∴tmax＝kDB＝4，∴z＝t+12t在t∈[23，4]，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)t∈[23又當(dāng)t=23時，z=t+12t=因?yàn)?712＜338，所以當(dāng)故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【例2】（2022?綏化開學(xué)）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?y?1≤0，x+y?1≤0，x≥?1，則x2+y2+4A．[?72，13] B．[﹣3，13] C．[1，17] D．[2?8【分析】先作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，所求式子可化為x2+y2+4y＝x2+（y+2）2﹣4，其中x2+（y+2）2表示可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)（0，﹣2）的距離的平方，再利用數(shù)形結(jié)合法求解即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，如圖所示：x2+y2+4y＝x2+（y+2）2﹣4，其中x2+（y+2）2表示可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)（0，﹣2）的距離的平方，聯(lián)立x+y?1=0x=?1得，A（﹣1，2），∴x2+y2+4y的最大值為（﹣1）2+22點(diǎn)（0，﹣2）到直線x﹣y﹣1＝0的距離d=|0?(?2)?1|∴x2+y2+4y的最小值為d2﹣4=?72，∴x2+y2+4y的取值范圍為[故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，屬于中檔題．題型8含參型【解題技巧】不等式組含參，是“旋轉(zhuǎn)型”還是“平移型”，與參數(shù)位置有關(guān)。要隨時根據(jù)參數(shù)范圍確定不等式所對應(yīng)的范圍區(qū)域。注意區(qū)分參數(shù)所在位置而采取的不同處理方法．【例1】（2022秋?河南月考）已知不等式組x+y≤4ax?y＞5x+ay≥2，表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)（3，1）則實(shí)數(shù)A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（﹣1，+∞）【分析】利用不等式組表示平面區(qū)域，即可解出．【解答】解：由不等式組x+y≤4ax?y＞5則點(diǎn)（3，1）不滿足不等式組，∴3a﹣1≤5或3+a＜2，∴a≤2或a＜﹣1，即a∈（﹣∞，2]，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了不等式組表示平面區(qū)域，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022春?壽縣校級月考）若動直線ax﹣y+a＝0與區(qū)域x+y≥02x?y≥0x?1≤0有交點(diǎn)，則A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】由約束條件作出可行域，由直線系方程可知動直線ax﹣y+a＝0過定點(diǎn)P（﹣1，0），數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立x=12x?y=0，解得A（1，2），直線ax﹣y+a＝0過定點(diǎn)P由圖可知，使動直線ax﹣y+a＝0與區(qū)域x+y≥02x?y≥0x?1≤0有交點(diǎn)的a的最大值為k而kPA=2?0故選：C．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．題型9最優(yōu)解無數(shù)個型【解題技巧】最優(yōu)解無數(shù)，則線性目標(biāo)函數(shù)，與約束條件區(qū)域的某一條邊所在直線平行．【例1】（2022?安徽模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥2|x|?1y≤x+1，且z＝kx+y（k為常數(shù)）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則kA．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由約束條件作出可行域，由圖可知，要使z＝kx+y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則﹣k＝1，則答案可求．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，要使z＝kx+y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則﹣k＝1，即k＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．【例2】（2022?贛州二模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x?y+3≥0x+y?4≥02x?y?7≤0，若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，由題意求得a值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣ax，得y＝ax+z，∵目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，∴直線y＝ax+z與直線y＝x+3重合，即a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．題型10含絕對值型【解題技巧】注意絕對值所在的位置，采取不同的策略：1．目標(biāo)函數(shù)整體位置如．2．單個變量位置，可以數(shù)形結(jié)合，或者分類討論．3．雙絕對值位置，較少，開分類討論．【例1】（2023?江西模擬）若x，y滿足約束條件2x?y≥?2y+2≥0x+2y≤2，則z＝3|x|+A．﹣2 B．0 C．4 D．16【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．【解答】解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件2x?y≥?2y+2≥0則A（?25，65），B（﹣2，﹣2），C目標(biāo)函數(shù)z＝3|x|+y=3x+y，x≥0當(dāng)分段函數(shù)的圖象經(jīng)過D（0，﹣2）時取得最小值，則z＝3|x|+y的最小值為﹣2，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【例2】（2022?市中區(qū)校級開學(xué)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+y?1≥02x?y+4≥04x+y?4≤0，則|3x+4A．16 B．12 C．5 D．3【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，令z=5×|3x+4y?4|5，所以z表示可行域中的點(diǎn)到直線3x+4y﹣4＝0距離的5倍，數(shù)形結(jié)合即可求出【解答】解：作出不等式所表示的可行域，如圖：令z=5×|3x+4y?4|5，所以z表示可行域中的點(diǎn)到直線3x+4由圖可知，點(diǎn)A到直線3x+4y﹣4＝0距離最大，此時z取得最大值，聯(lián)立方程2x?y+4=04x+y?4=0，解得x=0y=4，即所以zmax＝|3×0+4×4﹣4|＝12．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．最新模擬一．選擇題1．（2022春?江西期中）已知a＞0，b＞0，且a+1b=2A．92 B．2 C．9 【答案】A【題型】“1”的靈活運(yùn)用【解析】解：由題意可得4a因?yàn)閍＞0，b＞0，所以ab+4ab≥4，則4a+b≥∴4a+b的最小值是故選：A．2．（2022春?麗江期末）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y＝xy，則x+2y的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【題型】積和混合【解析】解：∵x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y＝xy，∴2x∴x+2y＝（x+2y）（2x+1y）當(dāng)且僅當(dāng)xy=4yx，即x＝4，y＝2時取等號，∴故選：C．3．（2022秋?萬州區(qū)校級月考）已知正數(shù)a，b滿足（a+5b）（2a+b）＝36，則a+2b的最小值為（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【題型】積定求和、和定求積【解析】解：因?yàn)?a+5b)(2a+b)≤[(a+5b)+(2a+b)2]2所以9(a+2b)24≥36，又a＞0，b＞0．所以a+2故選：D．4．（2023?秦都區(qū)校級模擬）設(shè)x，y滿足約束條件x+2y≤12x+y≥?1x?1≤0，則z＝4x﹣2A．﹣10 B．﹣6 C．4 D．10【答案】B【題型】線性型:z=ax+by【解析】解：由約束條件x+2y≤12x+y≥?1聯(lián)立x+2y=12x+y=?1，解得A（﹣1，1）．化目標(biāo)函數(shù)z＝4x﹣2y為y＝2x?由圖可知，當(dāng)直線y＝2x?z2過A時，直線在z有最小值為﹣6．故選：B．5．（2023?咸陽二模）若x，y滿足約束條件x≥0x+y≤2y≥x，則z＝2x+A．2027 B．2026 C．2025 D．2024【答案】B【題型】線性型:z=ax+by【解析】解：由約束條件作出可行域，如圖所示：由此可知目標(biāo)函數(shù)在B點(diǎn)處取大值，聯(lián)立y=xy=?x+2，解得x=1所以z的最大值為2+1+2023＝2026．故選：B．6．（2023?貴州模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y?1≤0x?y+1≥0y≥?1，則A．32 B．2 C．3 【答案】D【題型】非線性型【解析】解：由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，則A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（x，y），D（3，3），其中P在可行域內(nèi)，∴z=y?3由圖可知：當(dāng)P在B點(diǎn)時，直線PD斜率最大，∴zmax故選：D．7．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知x，y滿足約束條件x≥0y≥0x+y≥1，則z＝（x+3）2+yA．8 B．9 C．10 D．10【答案】C【題型】非線性型【解析】解：由題意，作出不等式組x≥0y≥0又由(x+3)2+y2表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x結(jié)合圖象可得，當(dāng)可行域內(nèi)取點(diǎn)A時，此時距離最短，聯(lián)立方程x=0x+y=1，解得x=0y=1，即A（0，1），所以|PA|所以目標(biāo)函數(shù)z＝（x+3）2+y2的最小值為|PA|2＝10．故選：C．8．（2022?金華模擬）已知x，y滿足不等式組(x+1)2?y2≤0y≤2A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a(chǎn)≤﹣1 D．a(chǎn)≥1【答案】A【題型】含參型【解析】解：不等式組(x+1)令z＝ax+y，化為y＝﹣ax+z，由圖可知，若z＝ax+y有最大值，則﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1．故選：A．9．（2022?齊齊哈爾一模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x+y?3≤0x?2y?3≤0x≥m，若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的最大值是7，則實(shí)數(shù)A．?173 B．?43 C．【答案】B【題型】含參型【解析】解：畫出不等式組x+y?3≤0x?2y?3≤0目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x可化為y＝2x+z，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時，z取得最大值，由x=mx+y?3=0，解得A（m，3﹣m所以z的最大值為zmax＝3﹣m﹣2m＝3﹣3m，令3﹣3m＝7，解得m=?4故選：B．10．（2022?仁壽縣校級模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x+y?2≤02y?1≥02x?y+2≥0，則z＝|3x﹣4A．45 B．20 C．654 【答案】B【題型】含絕對值型【解析】解：根據(jù)題意，作出不等式組相應(yīng)平面區(qū)域，設(shè)t＝3x﹣4y﹣12，則z＝|t|，y=3平移直線y=34x?12+t4，由圖象可知當(dāng)直線得直線y=由圖象可知當(dāng)直線得直線y=34x?12+t4由2y?1=0x+y?2=0，得x=32y=12，即B（即﹣20≤t≤?192，則192≤t≤20，則z＝|3故選：B．11．（2022?海寧市模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?y≤0x+y≤23x?y+2≥0，則z＝|x﹣2A．10 B．7 C．5 D．2【答案】B【題型】含絕對值型【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，B（0，2），聯(lián)立x?y=03x?y+2=0，解得A（﹣1，﹣1），令t＝x﹣2y由圖可知，當(dāng)直線t＝x﹣2y+6過A時，t有最大值為7，過B時，t有最小值為2．∴z＝|x﹣2y+6|的最大值是7．故選：B．二．多選題（共4小題）12．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）已知正數(shù)a，b滿足a2A．a(chǎn)b的最大值為1 B．a(chǎn)+b2的最小值為C．a(chǎn)2+b2的最大值為32【答案】AC【題型】不等式鏈【解析】解：對于A：由正數(shù)a，b滿足a2+b24=1，得1≥2a2×b2對于B：(a+b2)2=a2+ab+b24=1+ab≤2，所以a+b2≤2對于C：a2+b2=2a×122+b2≤2×a對于D：方法一：1a2+1b2=a2+b2a2b方法二：1a令t＝1+34b又49t+169t≥249t×故1a2+1b2≥94故選：AC．13．（2022秋?雨花區(qū)校級月考）下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≥2（a﹣b﹣1） B．1aC．x+9x+5≥4，（x＞﹣5） 【答案】ACD【題型】不等式鏈【解析】解：選項(xiàng)A，a2+b2﹣2（a﹣b﹣1）＝（a2﹣2a+1）+（b2+2b+1）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，且b＝﹣1時，等號成立，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），即A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)a＝b＝﹣1時，1a+1b=?2，2選項(xiàng)C，x+9x+5=x+5+4x+5=x+5+4x+5選項(xiàng)D，a+b2≤(a+b2)2故選：ACD．14．（2022?襄城區(qū)校級開學(xué)）已知x＞0，y＞0，且x+y＝3，則下列結(jié)論中正確的是（）A．lnx+lny有最大值94 B．x2C．4x+1y有最小值43【答案】BD【題型】不等式鏈【解析】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，且x+y＝3，所以xy≤（x+y2）2=94，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=32時取等號，所以lnx+lny＝ln（xy）≤由x＞0，y＞0，且x+y＝3得0＜x＜3，所以12x2+y2=4x+1y=13（4x+4yx+x+yy）=53令f（y）＝xy2＝（3﹣y）y2＝﹣y3+3y2，0＜y＜3，則f′（y）＝6y﹣3y2＝﹣3y（y﹣2），易得，當(dāng)0＜y＜2時，f′（y）＞0，函數(shù)f（y）單調(diào)遞增，當(dāng)2＜y＜3時，f′（y）＜0，函數(shù)f（y）單調(diào)遞減，故y＝2時，f（y）取得最大值f（2）＝4，此時x＝1，y＝2，D正確；故選：BD．15．（2022春?慈溪市月考）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝x+4y，則（）A．x＞4 B．4y2C．x+y的最小值為9 D．x2+y2的最小值為81【答案】AC【題型】不等式鏈【解析】解：因?yàn)閤y＝x+4y，所以（x﹣4）y＝x，即y=xx?4=11?4x，又x，y為正實(shí)數(shù)，則0＜1?因?yàn)閤y＝x+4y，所以4y2x?y=x(y?1)yx?y＝y(tǒng)2﹣2y＝（y﹣1）2﹣1，又y因?yàn)閤y＝x+4y，且x，y為正實(shí)數(shù)，即xy≠0，則1=x+4yxy=1y+4x，所以x+y＝（x+y）×（1y+4x）因?yàn)閤+y≥9，所以（x+y）2≥81，則x2+y2≥12(x+y)2=812，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，由xy＝x+4y，當(dāng)x＝y(tǒng)時，故選：AC．三．填空題16．（2022秋?遼寧期中）已知x，y均為正數(shù)，若x+2y﹣3xy＝0，則x+y的最小值．【答案】1+【題型】積和混合【解析】解：因?yàn)閤，y均為正數(shù)，若x+2y﹣3xy＝0，則1y則x+y=13（x+y）（2x+1y）=13（3故答案為：1+217．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則ab+bca2+【答案】2【題型】多次均值【解析】解：a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則a2+12b2≥2ab，12b2+c∴ab+bca2+b2+c2=∴ab+bca2+故答案為：218．（2021?全國Ⅰ卷模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?y≥0x+y?4≥0x≤4，若z＝ax﹣y取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實(shí)數(shù)a的值為【答案】﹣1【題型】最優(yōu)解無數(shù)個型【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，由z＝ax﹣y，得y＝ax﹣z，由圖知，要使z＝ax﹣y取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a＜0且y＝ax﹣z與直線y＝﹣x+4重合，則a＝﹣1．故答案為：﹣1．真題在線一．選擇題1．（2022?乙卷）若x，y滿足約束條件x+y≥2，x+2y≤4，y≥0，則z＝2x﹣A．﹣2 B．4 C．8 D．12【答案】C【題型】線性型:z=ax+by【解析】解：作出可行域如圖陰影部分所示，由圖知，當(dāng)（x，y）取點(diǎn)C（4，0）時，目標(biāo)函數(shù)z＝2x﹣y取得最大值，且最大為8．故選：C．2．（2021?乙卷）若x，y滿足約束條件x+y≥4，x?y≤2，y≤3，則z＝3x+A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【題型】線性型:z=ax+by【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立y=3x+y=4，解得A由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3×1+3＝6．故選：C．3．（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【答案】C【題型】積定求和、和定求積【解析】解：對于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函數(shù)的最小值為3，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，因?yàn)?＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4|sinx|≥2|sinx|?4|sinx|=4，當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=4|sinx|，即|sinx|＝2時取等號，因?yàn)閨sinx對于C，因?yàn)?x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2x+42x≥2對于D，因?yàn)楫?dāng)x=1e時，y=ln1故選：C．4．（2020?全國）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，則ab的最大值為（）A．16 B．36 C．13【答案】C【題型】積定求和、和定求積【解析】解：方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得到4a+3b＝4，令a＞0，b＞0．則4a+3b≥24a?3b，即ab≤33，∴ab≤13，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝3故選：C．方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得4a+3b＝4，則a=1?34b，令y∴y=?34b2+b=?34(b?23故選：C．5．（2019?浙江）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?3y+4≥0，3x?y?4≤0，x+y≥0，則z＝3x+2A．﹣1 B．1 C．10 D．12【答案】C【題型】線性型:z=ax+by【解析】解：由實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?3y+4≥03x?y?4≤0聯(lián)立x?3y+4=03x?y?4=0，解得A（2，2），化目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y為y=?32x由圖可知，當(dāng)直線y=?32x+12z過z有最大值：10．故選：C．6．（2016?山東）若變量x，y滿足x+y≤22x?3y≤9x≥0，則x2+yA．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【題型】非線性型【解析】解：由約束條件x+y≤22x?3y≤9∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，聯(lián)立x+y=22x?3y=9，解得B∵|OB|2=(32+(?1)故選：C．7．（2015?上海）已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，則（）A．a(chǎn)2+b2有最小值 B．a(chǎn)b有最小值 C．1a+1b有最大值【答案】A【題型】積定求和、和定求積【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥16﹣2（a+b2）2故選：A．二．多選題8．（2022?新高考Ⅱ）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【答案】BC【題型】積和混合【解析】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x?y2）2+(32y)2=1，令x?y2=cosθ32y=sinθ，則x=∵x2+y2=(33sinθ+cosθ)故C對，D錯，方法二：對于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y2)∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯，B對，對于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，∴x2∵﹣xy≤x2+y22，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2故選：BC．9．（2020?山東）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a(chǎn)【答案】ABD【題型】不等式鏈【解析】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2