重難點培優(yōu)：數(shù)軸在有理數(shù)中的十大常見應用（解析版）

2/2數(shù)軸在有理數(shù)中的十大常見應用（重難點培優(yōu)提升）題型一、用數(shù)軸表示有理數(shù)1．（2024·陜西西安·模擬預測）數(shù)軸上，在原點左側且到原點距離為個單位長度的點，表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查有理數(shù)，數(shù)軸和絕對值，根據(jù)數(shù)在數(shù)軸上對應的點在原點左側，則該數(shù)是一個負數(shù)，根據(jù)該點到原點的距離為個單位長度，則這個數(shù)的絕對值是，從而求解，掌握相關知識的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵實數(shù)在數(shù)軸上對應的點在原點左側，∴該數(shù)是一個負數(shù)，∵該點到原點的距離為個單位長度，∴這個數(shù)的絕對值是，∴這個數(shù)是，故選：．2．（2024·吉林長春·二模）小明在一條東西向的跑道上先向東走了米，又向西走了米，規(guī)定向東為正，向西為負．這一過程在數(shù)軸上如圖所示，則小明現(xiàn)在的位置A表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相反意義的量，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，有理數(shù)的加減運算等知識．熟練掌握相反意義的量，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，有理數(shù)的加減運算是解題的關鍵．由題意知，，進而可得A表示的數(shù)為．【詳解】解：由題意知，，∴A表示的數(shù)為，故選：B．3．（2024·河北唐山·二模）如圖，數(shù)軸上點A，B，C，D表示四個連續(xù)的整數(shù)，分別用a，b，c，d來表示．若，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，有理數(shù)的加法，根據(jù)題意得出a、b、c的值是解題的關鍵．由題意得出，再逐項判斷即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上點A，B，C，D表示四個連續(xù)的整數(shù)，分別用a，b，c，d來表示，，∴，∴，，，故A、B、C不符合題意，D符合題意，故選：D．題型二、用數(shù)軸表示相反數(shù)4．（2024·甘肅隴南·三模）如圖，數(shù)軸上點A的相反數(shù)是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸可知點A表示的數(shù)是2，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得到答案．本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題關鍵．【詳解】由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是2，2的相反數(shù)是，故選：A．5．（2024·陜西榆林·三模）如圖，數(shù)軸的單位長度為1，若點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查數(shù)軸上數(shù)的表示及相反數(shù)，根據(jù)A、B所表示的數(shù)互為相反數(shù)可得原點的位置，然后求解C即可．【詳解】由數(shù)軸的單位長度為1，點、所表示的數(shù)互為相反數(shù)，可得數(shù)軸的原點在點A和點B的中點處，如圖所示，點C表示的數(shù)為；故答案為：．6．（2024·河北邯鄲·模擬預測）如圖，整數(shù)m，n，t在數(shù)軸上分別對應點M，N，T．

(1)若m，n互為相反數(shù)，描出原點O的位置并求t的值；(2)當點T為原點，且：時，求“□”所表示的數(shù)．【答案】(1)圖見解析，；(2)3【分析】本題考查了相反數(shù)、數(shù)軸、一元一次方程、實數(shù)的運算，考查運算能力．（1）根據(jù)相反數(shù)的定義，得到原點O的位置，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)原點的位置，確定m，n的值，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：∵m，n互為相反數(shù)，∴，即點M，N到原點的距離相等，∴原點的位置如圖所示：

則；（2）解：∵點T為原點，則，∵，∴，∴．題型三、數(shù)軸與絕對值的綜合問題7．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖，數(shù)軸上有四個點A，B，C，D分別對應四個有理數(shù)，若點B，D表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最小的數(shù)的點是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，絕對值，有理數(shù)的大小比較的應用，解此題的關鍵是找出原點的位置，注意數(shù)形結合思想的運用．先根據(jù)相反數(shù)確定原點的位置，再根據(jù)點的位置確定表示絕對值最小的數(shù)的點即可．【詳解】解：因為點B，D表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，所以原點的位置在線段的中點處，∵離原點越近的點表示的數(shù)絕對值越小，∴表示絕對值最小的數(shù)的點是C點．故選：C．8．（2024·吉林白城·一模）如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)的絕對值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，求一個數(shù)的絕對值．根據(jù)數(shù)軸確定該數(shù)的絕對值在3到4之間即可判斷．【詳解】解：由題意得，遮住的數(shù)在到之間，∴遮住的數(shù)的絕對值在3到4之間，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選：C．9．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在數(shù)軸上，a，b，c對應的數(shù)如圖所示，．(1)確定符號：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；(2)化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)；；；；(2)(3)【分析】本題考查數(shù)軸判斷式子的正負，化簡絕對值，關鍵是數(shù)形結合解題．（1）通過數(shù)軸直接判斷出每個字母的正負，結合即可得出結果；（2）通過字母的正負化簡絕對值即可；（3）通過字母以及式子的正負化簡絕對值即可；．【詳解】（1）解：（1）由數(shù)軸知，，故答案為：；；；；；（2）；（3）．題型四、用數(shù)軸進行大小比較10．（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，則下列結論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查利用數(shù)軸判斷有理數(shù)的大小，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，以及數(shù)軸上的數(shù)右邊比左邊的大，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：；故選C．11．（23-24七年級下·安徽蚌埠·期末）表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列選項不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖示，可得且，，，據(jù)此逐項判斷即可．此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，不等式的性質以及數(shù)軸的特征：一般來說，當數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得且，，，，，選項A不符合題意；，，選項B不符合題意；，，，選項C符合題意；，，，選項D不符合題意．故選：C．12．（23-24七年級上·山西臨汾·階段練習）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是4．(1)在數(shù)軸上標出原點O．(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“”連接起來．，，，【答案】(1)見解析(2)見解析，【分析】本題主要考查在數(shù)軸上表示有理數(shù)以及有理數(shù)的大小比較：（1）根據(jù)點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是4找出原點即可；（2）把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，從左到右用“”連接起來即可．【詳解】（1）解：原點O如圖，

（2）解：，各點在數(shù)軸上表示為：

∴．題型五、用數(shù)軸表示兩點間的距離13．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在數(shù)軸上表示數(shù)和2021的兩點分別為點A和點B，則A、B兩點之間的距離為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸上兩點間距離；會求數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關鍵．由數(shù)軸上表示數(shù)和2021的點到原點的距離分別為1個單位長度和2021個單位長度，且這兩個點位于原點的兩側，故這兩個點之間的距離為2022．【詳解】解：點A在原點的左側，到原點的距離是1個單位長度，點B在原點的右側，到原點的距離是2021個單位長度，B兩點之間的距離為，故選：D．14．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在一條可以折疊的數(shù)軸上，點A，B表示的數(shù)分別是，3，如圖，以點C為折點，將此數(shù)軸向右對折，若點A在點B的右邊，且，則點C表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸和數(shù)軸上兩點間的距離，解題的關鍵是求出的長度．根據(jù)圖1算出的長度13，圖2中的，用就是的長度，用兩點之間的距離公式得出點表示的數(shù)．【詳解】解：圖1：，圖，，點表示的數(shù)是：，故選：B15．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖，在數(shù)軸上有A、B、C這三個點．回答：(1)A、B、C這三個點表示的數(shù)各是多少？A：；B：；C：．(2)A、B兩點間的距離是，A、C兩點間的距離是．(3)應怎樣移動點B的位置，使點B到點A和點C的距離相等？【答案】(1)、1、4(2)7；10(3)點B向左移動2個單位【分析】本題考查了是數(shù)軸，運用數(shù)軸上點的移動和數(shù)的大小變化規(guī)律是左減右加是解答此題的關鍵．（1）本題可直接根據(jù)數(shù)軸觀察出A、B、C三點所對應的數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)軸的幾何意義，根據(jù)圖示直接回答；（3）由于，則點B到點A和點C的距離都是5，此時將點B向左移動2個單位即可．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示可知：A、B、C這三個點表示的數(shù)各是、1、4，故答案為：；1；4．（2）解：根據(jù)圖示知：的距離是；的距離是，故答案為：7；10；（3）解：∵A、C的距離是10，∴點B到點A和點C的距離都是5，∴應將點B向左移動2個單位，使點B表示的數(shù)為，．題型六、用數(shù)軸判斷式子的正負并化簡式子16．（2024·吉林長春·三模）如圖，實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點在原點兩側，下列各式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸可知，，，由此逐一判斷各選項即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，A、∵，，∴，∴，故選項A不符合題意；B、∵，，∴，∴，故選項B不符合題意；C、∵，，∴，故選項C不符合題意；D、∵，，∴，∴，故選項D符合題意；故選：D．17．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）已知：數(shù)，，在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡．【答案】【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷實數(shù)大小及去絕對值符號的能力．根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出、、的大小，判斷出和的符號，從而成功將絕對值符號去掉進行化簡，則可解決此題．【詳解】解：由圖示可知，，，，，，原式．故答案為：．18．（22-23七年級上·河南南陽·階段練習）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：(1)比較大?。ㄌ睢啊被颉啊碧枺賍_____；②______；③______；(2)化簡：．【答案】(1)；；(2)【分析】本題考查了有關實數(shù)與數(shù)軸的簡單應用，做題關鍵要掌握實數(shù)的大小比較，去絕對值．（1）根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)的特點，比較大?。?）利用絕對值的定義去絕對值，去括號，合并同類項．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，，且；∴；；；（2）解：

．故答案為：題型七、數(shù)軸與整數(shù)點的覆蓋問題19．（22-23七年級上·山東德州·階段練習）在數(shù)軸上與相距3個單位長度的點有個，長為3個單位長度的木條放在數(shù)軸上，最多能覆蓋個整數(shù)點.【答案】24【分析】根據(jù)該點可能在的左側，也可能在的右側，得出點的個數(shù)；結合數(shù)軸分析長為３個單位的長度的木條放在數(shù)軸上所能覆蓋的點數(shù)即可．【詳解】解：∵該點可能在的左側，此時該點表示的數(shù)為，也可能在的右側，此時該點表示的數(shù)為，∴在數(shù)軸上與相距3個單位長度的點有2個；長度為3個單位長的木條放在數(shù)軸上，最多能覆蓋4個表示整數(shù)的點．故答案為：2；4．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，解題的關鍵是注意進行分類討論，數(shù)軸上兩點間的距離公式．20．（23-24七年級上·江蘇·周測）用長為個單位長度的線段放在數(shù)軸上，能覆蓋個整數(shù)點．【答案】或/2021或2020【分析】本題考查了數(shù)軸的性質，畫出數(shù)軸，按照題意歸納總結，找到規(guī)律，得出答案是解答本題的關鍵．畫出一個數(shù)軸，在上面畫一個單位長度的線段，可以得到能覆蓋或個整數(shù)點；畫兩個單位長度的線段，可以得到能覆蓋或個整數(shù)點；以此類推，找到規(guī)律，由此得到答案．【詳解】解：如圖所示，當起點位于整數(shù)點之間時：

長度為個單位，其覆蓋了一個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了兩個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了三個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了四個整數(shù)點，以此類推：長為個單位長度的線段放在數(shù)軸上，能覆蓋個整數(shù)點．如圖所示，當起點位于整數(shù)點上時：

長度為個單位，其覆蓋了兩個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了三個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了四個整數(shù)點；長度為個單位，其覆蓋了五個整數(shù)點，以此類推：長為個單位長度的線段放在數(shù)軸上，能覆蓋個整數(shù)點．綜上：長為個單位長度的線段放在數(shù)軸上，能覆蓋或個整數(shù)點．故答案為：或．21．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）定義：數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點．在數(shù)軸上隨意畫出一條長為2020的線段．(1)某數(shù)軸的單位長度是1，求蓋住的整點的個數(shù)；(2)若將數(shù)軸的單位長度改為2，求蓋住的整點的個數(shù)．【答案】(1)2021或2020個(2)1011或1010個【分析】本題主要考查了數(shù)軸的應用．對于多解問題要注意分類討論．（1）以線段的端點與數(shù)軸上的整點是否重合進行討論可得結論．（2）先用，得出相當于多少個單位，再進行分類討論即可得出結論．【詳解】（1）∵數(shù)軸的單位長度是1，，∴若點A與一整點重合，則B點也與一整點重合，兩點之間有2019個整點．∴線段共蓋住了2021個整點．若點A不與整點重合，則點B也不與整點重合，兩點之間有2020個整點．綜上，線段蓋住的整點的個數(shù)為2021或2020個．（2）（個單位），∴若點A與一整點重合，則B點也與一整點重合，兩點之間有1009個整點．∴線段共蓋住了1011個整點．若點A不與整點重合，則點B也不與整點重合，兩點之間有1010個整點．綜上，線段蓋住的整點的個數(shù)為1011或1010個．題型八、用數(shù)軸表示實際問題22．（23-24七年級下·海南儋州·階段練習）某公路養(yǎng)護小組乘車沿一條東西方向的公路巡視維護．某天早晨從A地出發(fā)，最后收工時到達B地．約定向東為正方向，當天的行駛記錄如下（單位:千米）：，，，，，，，．(1)求B地在A地的哪個方向?它們相距多少千米?(2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么該養(yǎng)護小組當天乘車耗油多少升？花費多少油錢？【答案】(1)B地在A地的西面，相距3千米(2)該維修隊耗油升，花費153元油費【分析】本題主要考查正負數(shù)得意義和有理數(shù)得加減法，關鍵是要牢記有理數(shù)的加減法法則．（1）根據(jù)正負數(shù)的意義，將每天的行程相加即可；（2）將每天的行駛路程相加，再乘以，再計算總費用，即可得出答案．【詳解】（1）解：將每天的行駛記錄相加得：千米，向東為正方向，向西為負方向，在地的西邊，相距3千米處；（2）解：==，（升），（元），該維修隊耗油升，花費153元油費．23．（23-24七年級上·湖北隨州·期中）如圖為武漢市地鐵2號線地圖的一部分，學生小王某天參加志愿者服務活動，從洪山廣場站出發(fā)，到從A站出站時，本次志愿者服務活動結束．如果規(guī)定向東為正，向西為負，當天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下：，，，，，，，．(1)請通過計算說明A站是哪一站？(2)若相鄰兩站之間的平均距離為千米，求這次小王志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是多少千米？【答案】(1)A站是洪山廣場站(2)小王志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是千米【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應用，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據(jù)按照正、負數(shù)表示的意義，相加計算即可得到答案．（2）利用正、負數(shù)表示站數(shù)的意義，相加得出總站數(shù)，再乘以平均距離即可得出答案．【詳解】（1）解：．∴A站是洪山廣場站．（2）解：，（千米）．∴小王志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是千米．24．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）剛剛閉幕的第33屆“哈洽會”，于2024年5月16日至21日在哈爾濱市舉辦，中外賓客齊聚冰城．為確保全市道路交通安全有序，哈爾濱市公安交通管理局在開幕式當日對會展中心周邊區(qū)域，以及部分道路進行交通管制和誘導分流．蕭蕭作為哈市青年當日也貢獻了自己的一份力量．如圖是某一條東西方向直線上的公交線路的部分路段，西起A站，東至L站，途中共設12個上下車站點，“哈洽會”開幕式當日，蕭蕭參加該線路上的志愿者服務活動，從C站出發(fā)，最后在某站結束服務活動，如果規(guī)定向東為正，向西為負，當天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：．(1)請通過計算說明結束服務的“某站”是哪一站？(2)若相鄰兩站之間的平均距離約為2.5千米，求這次蕭蕭志愿服務期間乘坐公交車行進的總路程約是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于的油量才能保證汽車安全行駛，若蕭蕭開始志愿服務活動時該汽車油量占油箱總量的，每行駛1千米耗油0.2升，活動結束時油量恰好能保證汽車安全行駛，則該汽車油箱能存儲油多少升？【答案】(1)結束服務的“某站”是E站(2)總路程約是90千米(3)該汽車油箱能存儲油315升【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)及絕對值，解題的關鍵是掌握這些知識點．（1）用原點表示起點位置，再利用有理數(shù)的和求解；（2）先用絕對值求出共幾個站，再求里程；（3）設該汽車油箱能存儲油x升，根據(jù)題意得，進行計算即可得．【詳解】（1）解：（站），即結束服務的“某站”是E站．（2）解：（站），（千米），即這次小明志愿服務期間乘坐公交車行進的總路程約是90千米．（3）解：設該汽車油箱能存儲油x升，，解得，，即該汽車油箱能存儲油315升．題型九、數(shù)軸與動點的壓軸問題25．（2023·河北邯鄲·模擬預測）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上有A，B兩點，它們表示的數(shù)分別為和2．

(1)求線段的長度．(2)A點沿數(shù)軸正方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒．①求5秒后A點表示的數(shù)．②求t為何值時，線段的長度為2．【答案】(1)9(2)①，②或11【分析】（1）用點B表示的數(shù)減去點A表示的數(shù)即可求解；（2）①用點A表示的數(shù)加上點A所走的路程即可求解；②根據(jù)題意進行分類討論：當點A運動到點B左邊時，當點A運動到點B右邊時．【詳解】（1）解：．（2）解：①，∴5秒后A點表示的數(shù)為；②當點A運動到點B左邊時，，解得：；當點A運動到點B右邊時，，解得：；綜上：或11．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點表示數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，解一元一次方程，解題的關鍵是掌握數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊大于左邊．26．（21-22七年級上·河北邢臺·階段練習）如圖，在數(shù)軸上，點P從表示－40的點出發(fā)，沿水平向右的方向以每秒3個單位長度的速度運動，同時點Q從表示20的點出發(fā)，沿水平向左的方向以每秒2個單位長度的速度運動．（1）當點Q運動到原點O時，點P的位置表示的數(shù)是多少？（2）當P、Q兩點間的距離為30個單位長度時，問兩點運動的時間是多少？【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒【分析】（1）求出點Q運動到原點O時所用時間，再求出點P所走的距離，求出點P表示的數(shù)即可；（2）設兩點運動的時間是x秒時，兩點間的距離為30個單位長度，分兩種情況列出方程，求解即可．【詳解】解：（1）當點Q運動到原點O時，點Q運動的距離為20，運動時間為20÷2=10（秒），此時，點P所走的距離為：3×10=30，點P表示的數(shù)為-40+30=-10；（2）設兩點運動的時間是x秒時，兩點間的距離為30個單位長度，當點P在點Q左側時，[20-（-40）]-3x-2x=30，解得，x=6，當點P在點Q右側時，3x+2x-[20-（-40）]=30，解得，x=18，答：設兩點運動的時間是6秒或18秒時，P、Q兩點間的距離為30個單位長度．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點的距離和一元一次方程的應用，解題關鍵是準確理解題意，列出方程，注意分類討論．題型十、數(shù)軸與新定義綜合問題27．（23-24六年級下·上海·期末）數(shù)軸上點P、點A、點B表示的數(shù)分別記作p、a、b，如果點P為線段的中點．則有．如：點A、B所